1、北京市海淀实验中学2020-2021学年高一数学12月月考试题（含解析）一、选择题（共10小题；共40分）1. 已知集合，则、间的关系是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据公式解出集合A，再根据一元二次不等式的解法求出集合B，即可判断两集合的关系详解】由，解得，即，由解得，或，即，所以，故选D.【点睛】本题主要考查集合间的基本关系应用以及绝对值不等式和一元二次不等式的解法2. 已知命题：，总有，则为（ ）A. ，使得B. ，使得C. ，总有D. ，使得【答案】B【解析】【分析】本题可直接利用全称命题的否定是特称命题来得出结果.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，命题：，
2、总有，所以：，使得，故选：B.【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，考查推理能力，是简单题.3. 如果函数的图像与函数的图像关于直线对称，那么的解析式是（ ）.A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】，则，计算反函数得到答案.【详解】函数的图像与函数的图像关于直线对称，即为的反函数，则，故.故选：B.【点睛】本题考查了求函数的反函数，属于简单题.4. 已知，则下列不等式中恒成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】对于A：根据在R上为增函数即可判断；对于B：根据在上为增函数即可判断；对于C：根据在R上为增函
3、数即可判断；对于D：根据在上为减函数即可判断.【详解】对于A：要判断是否成立，根据在R上为增函数，所以，即，故A错误；对于B：要判断是否成立，根据在上为增函数，故B错误；对于C：要判断是否成立，根据在R上为增函数，所以，即，故C错误；对于D：要判断是否成立，根据在上为减函数，所以，即，故D正确.故选：D【点睛】结构相同的式子比较大小，可以根据式子结构构造函数，利用函数的单调性比较大小.5. 某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表所示：现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ ）一年级二年级三年级女生373380y男生377370zA. 12B. 16C.
4、 18D. 24【答案】B【解析】【分析】先计算高三人数为和各年级人数比例，再根据分层抽样公式计算得到答案.【详解】依题意可知，高一年级人数人，高二年级人数为人，故高三年级学生人数为人，即总体中各年级的人数比例为，故用分层随机抽样抽取高三年级学生人数为.故选：B.6. 若为实数，且，且的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据基本不等式可知，结合条件求解出的最小值.【详解】因为，取等号时，所以的最小值为，故选：B.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值
5、，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.7. 已知函数，则“”是“对任意的，都有”成立的（ ）A. 充要条件B. 既不充分又不必要条件C. 充分不必要条件D. 必要不充分条件【答案】C【解析】【分析】由推导出函数为减函数，可求得实数的取值范围，再结合集合的包含关系判断可得出结论.【详解】对任意的，都有，可设，则，所以，函数为上的减函数，所以，.，因此，“”是“对任意的，都有”成立的充分不必要条件.故选：C.8. 某
6、城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A. 月接待游客量逐月增加B. 年接待游客量逐年增加C. 各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A【解析】【分析】观察折线图可知月接待游客量每年7，8月份明显高于12月份，且折线图呈现增长趋势，高峰都出现在7、8月份，1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月波动性更小.【详解】对于选项A，由图易知月接待游客量每年7，8月
7、份明显高于12月份，故A错；对于选项B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B正确；对于选项C，D，由图可知显然正确.故选A.【点睛】本题考查折线图，考查考生的识图能力，属于基础题.9. 已知函数，若存在2个零点，则a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先令得到，即等价于与有两个交点，然后画出函数图象，根据图象即可求解.【详解】解：令，即有两个根，即与有两个交点，分别画出与的图象，如下所示：由图可知：当纵截距时，即时，与有两个交点，故.故选：D.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到
8、方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.10. 对于函数若集合中恰有个元素，则称函数是“阶准偶函数”.若函数是“阶准偶函数”，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据“阶准偶函数”定义，分，三种情况分析即可得答案.【详解】解：根据题意，函数是“阶准偶函数”，则集合中恰有个元素.当时，函数有一段部分为，注意的函数本身具有偶函数性质，故集合中不止有两个元素，矛盾，当时，根据“阶准偶函数”
9、定义得的可能取值为或，为，故当，该方程无解，当，解得或，故要使得集合中恰有个元素，则需要满足，即；当时，函数，的取值为，为，根据题意得满足恰有两个元素，故满足条件.综上，实数的取值范围是.故选：B【点睛】本题解题的关键是根据新定义的“阶准偶函数”，将问题转化为研究函数，可能取何值，进而根据方程有两个解或求解.考查运算求解能力与综合分析能力，是中档题.二、填空题（共5小题；共20分）11. 函数的定义域为_【答案】x|且【解析】【分析】直接根据函数解析式，列出不等式组，解得定义域.【详解】要使函数有意义，只需满足，解得：且即函数的定义域为x|且故答案为：x|且【点睛】求函数的定义域应该考虑以下方
10、面：（1）偶次根式时，被开方数不小于0(即0)；（2）分式要保证分母不为0;当分母是偶次根式时，被开方数大于0；（3）在指数式中，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0；（4）对数式中，真数大于0；（5）当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集；（6）分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集.12. ，用“”号连接a，b，c为_【答案】【解析】【分析】判断a、b、c与0、1的大小关系进行大小比较.【详解】，即；，即；，即.故答案为：【点睛】指、对数比较大小：（1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小；
11、（2）结构不同，寻找“中间桥梁”，通常与0、1比较.13. 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各名工人某日的产量数据（单位：件）.若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则_.【答案】【解析】【分析】根据中位数相等得到，再根据平均值相等得到答案.【详解】甲组的中位数为，乙组的中位数也是，故.乙组的平均值为：，故，故.故答案为：.【点睛】本题考查了中位数和平均数，意在考查学生的计算能力.14. 不等式在区间上有解，则a的取值范围是_【答案】【解析】【分析】利用参数分离将不等式转化为，求得最小值得到答案.【详解】不等式在区间上有解设，易知单调递减故答案为【点睛】本题考查了不等式的参数问题，利用参数
12、分离可以简化运算，也可以利用讨论的方法得到答案.15. 函数的定义域为D，若对于任意，当时，都有，则称函数在D上为非减函数设函数在上为非减函数，且满足以下三个条件：；则_，_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据函数新定义，结合已知条件利用赋值法，即可求得结果.【详解】由，令x0，可得，由，令x1，可得f(1).令x，可得，由结合，令，则，由，令x，可得，因为且函数f(x)在0,1上为非减函数，所以，即，故，所以.故答案为：，.三、解答题（共5小题；16题5分，17题5分，18、19、20各10分，共40分）16. 已知集合，.（）求，；（）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2
13、）或.【解析】【详解】试题分析：（）由交并补集定义可得；（），说明有公共元素，由这两个集合的形式，知或即可.试题解析：（），又，；（）若，则需或，解得或.17. 化简与求值：；【答案】-5.【解析】【分析】先利用对数的运算性质把底数相同的在一起计算，然后化简求值即可.【详解】【点睛】对数运算技巧：(1)应用常用对数值；(2)灵活应用对数的运算性质；(3) 逆用法则、公式；(4) 应用换底公式，化为同底结构18. 某社区组织了垃圾分类知识竞赛活动，从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照，分组，绘成频率分布直方图（如图）（1）求x的值；（2）分别求出抽取的20人中得分落在组和内的人数；（
14、3）估计所有参赛选手得分的平均数、中位数【答案】(1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）由频率分布直方图的性质能求出（2）由频率分布直方图性质能求出得分落在内的人数和得分落在内的人数（3）由频率分布直方图的性质得能估计所有参赛选手得分的平均数、中位数和所有参赛选手得分的众数【详解】（1）由频率分布直方图的性质得：，解得；（2）由频率分布直方图能求出：得分落在内的人数为：，得分落在内的人数为：；（3）估计所有参赛选手得分的平均数为：设所有的参赛选手得分的中位数为，则，解得，则所有参赛选手得分的众数估计值为：【点睛】熟练掌握频率分布直方图及平均数、中位数和众数的求法是解题关键.19. 已知函数
15、（是常数），且，.（1）求的值；（2）当时，判断的单调性并证明；（3）若不等式成立，求实数的取值范围.【答案】（1）(2) 在区间上是增函数,证明见解析(3) 【解析】【详解】试题分析：（1）根据条件得到参数的两个方程，解方程组得到本题结论；（2）利用函数单调定义加以证明，得到本题结论；（3）利用函数的单调性，得到相应的自变量的大小关系，解不等式得到本题结论试题解析：（1）由题意知，.将上式联立方程组解得.(2)在区间上是增函数.证明如下：设，则 .，即，在区间上是增函数.(3)，解得或.故的取值范围是.点睛：本题主要考查抽象函数的定义域、函数的单调性及利用单调性函数解不等式，属于难题. 利用
16、单调性函数解不等式应注意以下三点：（1）一定注意函数的定义域（这一点是同学们容易疏忽的地方，不能掉以轻心）；（2）注意应用函数的奇偶性（往往需要先证明是奇函数还是偶函数）；（3）化成 后再利用单调性和定义域列不等式组.20. 对于定义域为的函数，若果存在区间,同时满足下列条件：在区间上是单调的；当定义域是时，的值域也是.则称是函数的一个“优美区间”.（1）证明：函数不存在“优美区间”.（2）已知函数在上存在“优美区间”，请求出他的“优美区间”.（3）如果是函数的一个“优美区间”，求的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）.（3）【解析】【分析】(1)根据优美区间的定义证明即可;(2)记是函数的
17、一个“优美区间”,则方程有两个不同的解,求出即可;(3)由=在和上均为增函数, 得出是方程的两个同号的实数根,等价于方程有两个同号的实数根,因此由判别式大于零解得或,再由根与系数的关系得出=,根据二次函数的性质求出范围即可.【详解】（1）由为上的增函数，假设存在“优美区间”， 则有即方程有两个不同的解而得，易知该方程无实数解，所以函数不存“优美区间”.（2）记是函数的一个“优美区间”，由，值域，可知，而其图像对称轴为那么在上必为增函数，同（1）的分析，有方程有有两个的解解之则得故该函数有唯一一个“优美区间”.（3）由在上均为增函数，已知在“优美区间”上单调，所以或且在“优美区间”上单调递增，则同理可得即是方程的两个同号的实数根，等价于方程有两个同号的实数根，并注意到则只要，解得或，而由韦达定理知，所以其中或，所以时，取得最大值.【点睛】本题主要考查新定义问题、考查了一元二次方程根的分布，同时考查了转化思想的应用，属于难题. 转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将“优美区间”问题转化为方程根的存在问题是解题的关键.