1、考点41 空间点、直线、平面之间的位置关系1下列四个命题:(1)存在与两条异面直线都平行的平面;(2)过空间一点,一定能作一个平面与两条异面直线都平行;(3)过平面外一点可作无数条直线与该平面平行;(4)过直线外一点可作无数个平面与该直线平行.其中正确的命题的个数是A B C D 【答案】C【解析】(1)将一个平面内的两条相交直线平移到平面外,且平移后不相交,则这两条直线异面且与该平面平行,故正确;(2)当过该点的平面过其中一条直线时,这个平面与两条异面直线都平行是错误的,故不正确;(3)显然正确;(4)显然正确.故答案为C.2设直线m、n和平面、，下列四个命题中，正确的是( )A 若m，n，
2、则mnB 若m，n，m，n，则C 若，m，则mD 若，m，m，则m【答案】D3如图，在中， ，是斜边的中点，将沿直线翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得，则的取值范围是（ ）A B C D 【答案】DCBD=BCD=B1CD=30，A=60，BC=ACtan60，此时 ， 综上，x的取值范围为.故选：D4在正方体中，直线与平面所成角的正弦值为A B C D 【答案】D5设，是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A 若，则 B 若，则C 若，则 D 若，则【答案】C6为顶点的正四面体的底面积为，为的中点，则与所成角的余弦值为A B C D 【答案】C【解析】取SA的中点E,连接D
3、E,则AC|DE,所以DE和BD所成的角或补角就是与所成角，设正四面体的边长为a,则.所以与所成角的余弦值为.故答案为：C7已知直线m，n和平面，满足mn，m，则A n B n C n或n D n或n【答案】D【解析】根据条件，画出示意图反例如下图可分别排除A、B、C 所以选D8设,是两条不同的直线, ,是三个不同的平面有下列四个命题：若，则； 若，则； 若，则； 若，则其中错误命题的序号是A B C D 【答案】B故答案为：B9如图，在梯形ABCD中，平面平面ABCD，四边形ACFE是矩形，点M在线段EF上（）求证：平面ACFE；（）当EM为何值时，平面？证明你的结论；（）求二面角的平面角的
4、余弦值【答案】（）见解析（）（）10如图所示，四棱锥中，底面，为的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析； （2）.设为平面的法向量，则，即设，则，即平面的一个法向量为，所以所以直线与平面所成角的正弦值为.11如图，四棱锥中，底面为菱形，为等边三角形（1）求证：（2）若，求二面角的余弦值【答案】（1）见解析（2）0因为，所以面，如图建立空间直角坐标系，12如图，在长方形ABCD中，为线段AB的三等分点，G、H为线段DC的三等分点将长方形ABCD卷成以AD为母线的圆柱W的半个侧面，AB、CD分别为圆柱W上、下底面的直径(1)证明：平面平面BCHF；(2)求
5、二面角的余弦值【答案】（1）见解析;（2）.所以，所以平面的法向量 设平面的法向量因为，所以，所以平面的法向量 所以二面角的余弦值为13在四棱锥中,平面平面，,四边形是边长为的菱形，,是的中点.(1)求证: 平面；(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）得一个，同理可得平面的一个法向量为，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.14在直角三角形中，为的中点，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且.（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）. 15如图，四边形ABCD是矩形，AB=2BC，E为CD中点，以BE为折痕将折起，使C到的位
6、置，且平面平面(1)求证：；(2)求二面角的余弦值【答案】(1)见解析；（2）16如图甲，设正方形的边长为3，点、分别在、上，且满足，如图乙，将直角梯形沿折到的位置，使得点在平面上的射影恰好在上（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成二面角的余弦值【答案】(1)见解析（2），所以，平面与平面, 所成二面角的余弦值为17如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，ABC60，为正三角形，且侧面PAB底面ABCD，为线段的中点，在线段上.（I）当是线段的中点时，求证：PB / 平面ACM；（II）是否存在点，使二面角的大小为60，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【答案】（I）见
7、解析（II）存在 18如图，在三棱锥S一ABC中，SAABACBCSBSC，O为BC的中点（1）求证：SO平面ABC（2）在线段AB上是否存在一点E，使二面角BSCE的平面角的余弦值为？若存在，求的值，若不存在，试说明理由【答案】（1）见解析（2） 由，得，故可取易得平面SBC的一个法向量为所以，解得或（舍）所以，当时，二面角的余弦值为 19如图，四棱锥的底面为矩形，且， （）平面与平面是否垂直？并说明理由； （）求直线与平面所成角的正弦值【答案】（I）见解析 （）20如图所示，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点(1)当的值等于何值时，BC1平面AB1D1；(
8、2)若平面BC1D平面AB1D1，求的值【答案】（1）1； （2）1.21如图，已知平面，平面，为等边三角形，为的中点（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值的大小【答案】（1）见解析（2）故二面角的余弦值为 22如图，正方形与等边三角形所在的平面互相垂直，分别是的中点.（1）证明：平面；（2）求锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2). 23在如图所示的几何体中，平面,四边形为等腰梯形， （1）证明：；（2）求二面角的余弦值【答案】（1）见解析；（2）24如图，在梯形中，.，且平面，点为上任意一点.求证：；.点在线段上运动（包括两端点），若平面与平面所成的锐二面角为，试确定点的位置.【答案】.见解析；. 点与点重合. 25如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，B = 900，D为棱BB1上一点，且面DA1 C面AA1C1C.(1)求证：D点为棱BB1的中点；(2)若二面角A A1D C的平面角为600，求的值。【答案】（1）见解析；（2） .故，取，由，所以，故即.