1、赤峰二中2017级高二上学期第二次月考文科数学试题一、选择题（每小题5分)1.某城市有学校700所.其中大学20所,中学200所,小学480所,现用分层抽样方法从抽取一个容量为70的样本,则应抽取中学数为( )A. 70 B. 20 C. 48 D. 2【答案】B【解析】【分析】根据所给的总体数和样本容量求出每个个体被抽到的概率，根据中学所有的数目求出要抽取的数目【详解】某城市有学校700所，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为70的样本，每个学校被抽到的概率是，中学200所，要抽取200=20故选：B【点睛】本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，这是解题的
2、依据2.如图给出的是计算的值的一个程序框图，则判断框内可以填入的条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】第一次循环:；第二次循环: ；第三次循环: ；依此类推，第1009次循环: ,满足题意，退出循环.故其中判断框内应填入的条件是: (或).选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.3.某班有学生60人，现将所有学生按1，2， 3，60随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本（等距
3、抽样），已知编号为3, 33, 48号学生在样本中，则样本中另一个学生的编号为（ ）A. 28 B. 23 C. 18 D. 13【答案】C【解析】高三某班有学生60人，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，样本组距为604=15，则3+15=18，即样本中还有一个学生的编号为18，故选：C4.甲、乙两位歌手在“中国好声音”选拔赛中，5位评委评分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为、，则下列判断正确的是（ ）A. ，甲比乙成绩稳定 B. ，乙比甲成绩稳定C. ，甲比乙成绩稳定 D. ，乙比甲成绩稳定【答案】B【解析】【分析】根据茎叶图的数据，利用平均值和数值分布情况进行判断即可【
4、详解】由茎叶图知，甲的得分情况为17，16，28，30，34；乙的得分情况为15，28，26，28，33，因此可知甲的平均分为，乙的平均分为=86，故可知，排除C、D，同时根据茎叶图数据的分布情况可知，乙的数据主要集中在8左右，甲的数据比较分散，乙比甲更为集中，故乙比甲成绩稳定，选B故选：B【点睛】本题主要考查茎叶图的应用，以及平均数的求法要求熟练掌握相应的概念和公式，考查学生的计算能力5.某市要对2000多名出租车司机的年龄进行调査,现从中随机抽出100名司机,已知该市的司机年龄都在20,45之间,根据调査结果得出司机的年龄情况的频率分布直方图如图所示,估计该市出租车司机年龄在频率是( )A
5、. 0.02 B. 0.04 C. 0.2 D. 0.84【答案】C【解析】【分析】根据题意补全频率直方图，即可求出结果【详解】根据频率分布直方图知，在20，30）岁之间的频率为1（0.01+0.07+0.06+0.02）5=0.2，故选：C【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题，是基础题6.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是()A. B. C. 1 D. 【答案】B【解析】抛物线y24x的焦点坐标为F(1，0)，双曲线x21的渐近线为xy0，故点F到xy0的距离d选B7.如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（ ）A. B. C. D
6、. 【答案】D【解析】试题分析：由椭圆与双曲线的定义可知，|AF2|AF1|4，|AF2|AF1|2a(其中2a为双曲线的长轴长)，|AF2|a2，|AF1|2a，又四边形AF1BF2是矩形，|AF1|2|AF2|2|F1F2|2(2)2，a，e.考点：椭圆的几何性质【此处有视频，请去附件查看】8.已知函数是定义在上的函数，且满足，其中为的导数，设，则、的大小关系是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意得到0, 函数F（x）是单调递增函数，则F（1）F(ln2)F(0),化简后得到结果.【详解】函数是定义在上的函数，且满足,设0,故函数F（x）是单调递增函数，则F（1）F(
7、ln2)F(0),.故答案为：A.【点睛】本题考查了函数单调性的应用，解抽象函数不等式问题，通常需要借助于函数的单调性和奇偶性和周期性，或者需要构造函数再求导,两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.9.在以下所给函数中,存在极值点的函数是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出导数，利用极值的定义即可得出结论【详解】对于A，y=ex+11，函数单调递增，无极值点；对于B，y=0（x0），函数单调递增，无极值点；对于C，y=3x20，函数单调递减，无极值点；对于D，y
8、=cosx=0，x=k+，易知其两侧导数符号改变，有极值点故选：D【点睛】本题考查极值的定义，考查学生求导数的能力，正确理解极值的定义是关键10.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】解析：因，故由题设可得，即，令，则当时，所以，故应选答案A。11.若x=3是函数f（x）=（x2+ax+1）ex的极值点，则f（x）的极大值为（）A. 2e B. -2 C. 22 D. 6e1【答案】D【解析】【分析】求得f（x）的导数，由题意可得得f（3）=（16+4a）e3=0，解得a，再由单调区间，可得f（x）的极大值【详解】函数f（x）=（x2+ax+1
9、）ex的导数为f（x）=（x2+ax+1+2x+a）ex，由x=3是函数f（x）=（x2+ax+1）ex的极值点，可得f（3）=（16+4a）e3=0，解得a=4，可得f（x）=（x22x3）ex，则1x3时，f（x）递减；x3或x1时，f（x）递增，可得f（x）的极大值为f（1）=6e1，故选：D【点睛】求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.12.已知
10、,若在上恒成立，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：在上恒成立，即在上恒成立，设，则，令，则或，由于，因此（否则是的极小值点，即），所以，选B.考点：不等式恒成立问题，导数与函数的单调性、函数的极值.二、填空题(每小题5分）13.下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的分别为14,20，则输出的 .【答案】2【解析】试题分析： 输出考点：1、程序框图14.某脑科研究机构对髙中学生的记忆力和判断力进行统计分析,得到下表数据 6 8 10 12 2 3 5 6 由散点图可以看出x与y具有线性关系,若回归直线方
11、程为,则_.【答案】【解析】【分析】利用回归直线方程经过样本中心点坐标，然后求出即可【详解】回归直线方程经过样本中心点坐标，=9；=4，样本中心（9，4）回归直线方程为=x2.3可得4=92.3解得=0.7故答案为：0.7【点睛】本题考查了线性回归方程系数的求法，在线性回归分析中样本中心点（ ，）在回归直线上15.函数有三个相异的零点，则a的取值范围为_【答案】【解析】【分析】求出函数的导数，运用导数判断出极值，根据图象求解出a的范围即可【详解】函数y=x33xa，y=3x23，y=3x23=0，x=1，y=3x230，x1，x1，y=3x230，1x1，函数在（1，1）单调递减，（1，+）（
12、，1）单调递增，f（x）极大值=f（1）=2a，f（x）极小值=f（2）=2a使得函数f（x）=x33xa有三个零点，必须：，解得a（2，2）故答案为：（2，2）【点睛】（1）函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数（2）本题将方程实根个数的问题转化为两函数图象交点的问题解决，解题时注意换元法的应用，以便将复杂的问题转化为简单的问题处理。16.已知直线与曲线相切,其中为自然对数的底数,则实数的值为_【答案】【解析】【分析】先设出切点坐标，根据导数的几何意义求出在切点处的导数，再根据切
13、点既在曲线y=aex+x的图象上又在直线2xy+1=0上，从而求出切点横坐标，即可求出a的值【详解】设切点坐标为（m，n），y|x=m=aem+1=2，2mn+1=0，n=aem+m，解得，m=0，n=1，切点（0，1），而切点（0，1）又在曲线y=aex+x上，a=1，故答案为：1【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基本知识的考查三、 解答题17.设函数过点（1）求函数的单调区间和极值；（2）求函数在上的最大值和最小值.【答案】（1）增区间，减区间，极大值，极小值（2）最大值，最小值【解析】【分析】（1）将点代入函数解
14、析式即可求得a，对函数求导，分析导函数的正负，确定单调区间及极值；（2）分析函数在此区间上的单调性，由极值、端点值确定最值.【详解】（1）点在函数的图象上,解得,当或时, ,单调递增;当时, ,单调递减.当时, 有极大值,且极大值为,当时, 有极小值,且极小值为（2）由1可得:函数在区间上单调递减,在区间上单调递增. ,又, 【点睛】本题考查函数单调区间、极值和最值的求法，求极值与单调区间都要分析导函数的零点，但是注意导函数的零点并非一定是极值点，要结合零点两侧的单调性进行判断.18.从某企业生产的产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频数分布表: 质量指标值分组
15、75,85) 85,95) 95,105) 105,115) 115,125) 频数 6 26 38 22 8 （1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图;（2）求这些数据的众数和中位数（3）估计这种产品质量指标的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);【答案】（1）详见解析；（2）众数，中位数；（3）【解析】【分析】（1）由已知作出频率分布表，由此能作出这些数据的频率分布直方图；（2）由频率分布直方图能求出质量指标值的样本众数、中位数；（3）由频率分布直方图能求出质量指标值的样本平均数.【详解】（1）由已知作出频率分布表为： 质量指标值分组75，85）85，95）95，105）10
16、5，115）115，125） 频数 6 26 38 22 8 频率 0.06 0.26 0.38 0.22 0.08由频率分布表作出这些数据的频率分布直方图为：（2）小矩形高度最高的位于区间95，105），众数10075，95）内频率为：0.06+0.26=0.32，中位数位于95，105）内，设中位数为x，则x=95+99.7，中位数为99.7众数100，中位数99.7（3）质量指标值的样本平均数为：=800.06+900.26+1000.38+1100.22+1200.08=100【点睛】利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者在频率分布直方图中：(1)最高的小
17、长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和19.已知函数.（1）若,求函数在处的切线方程;（2）若 的导数为，g(x)=,求g(x)的单调区间【答案】（1）；（2）详见解析【解析】【分析】(1) 当a=时， f（x）=lnxx，f（1）=，f（1）=1，利用点斜式即可得出；(2)求出导函数，对a分类讨论，解不等式得到单调区间.【详解】解：（1）,切线方程为即（2），,即g(x)=,a0,增区间，a0,增区间，减区间【点睛】求曲线的切线方程是导数的
18、重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为20. 我市某高中的一个综合实践研究小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：日 期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日昼夜温差(C)1011131286就诊人数(个)222529261612 该综合实践研究小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再
19、用被选取的2组数据进行检验.（1）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出关于的线性回归方程（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想?参考数据：；.【答案】(1) .(2) 该小组所得线性回归方程是理想的【解析】试题分析：（1）由所给数据，先分别计算，可进一步求得，那么可得线性回归方程；（2）当时,；当时,，由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，可知求得的线性回归方程是理想的.解：（1）， 2分， .4分， .5
20、分. .6分， 8分.10分于是得到y关于x的回归直线方程. .11分(2)当时,； .12分同样, 当时,. .13分所以，该小组所得线性回归方程是理想的. 14分考点：线性回归分析.21.椭圆C：+=1（ab0）的短轴两端点为B1（0，1）、B2（0，1），离心率e=，点P是椭圆C上不在坐标轴上的任意一点，直线B1P和B2P分别与x轴相交于M，N两点，（1）求椭圆的方程和的值;（2）若点坐标为（1，0），过点的直线与椭圆相交于两点,试求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由b=1，离心率e，结合a2b2=c2，求得a和b的值，可得椭圆方程，设点P（x0，y0），则直
21、线B1P方程为y=x1，y=0，得xM=，同理可得xN=，即可得解；（2）设直线AB的方程为x=ty+1，代入椭圆方程，由韦达定理求得丨y1y2丨=，S=丨MN丨丨y1y2丨，由函数的单调性即可求得ABN面积的最大值【详解】解：（1）由 、,知,又,所以,则,所以椭圆的方程为, 设点,则直线方程为,令得,同理可得,.（2）当点 坐标为时,点,设直线的方程为,代入方程得,则 , ,因为,所以, 因此当,即直线的方程为时,面积的最大值是.【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能
22、体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围22.设函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若对任意恒成立,求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f（1），由点斜式可求切线方程；（2）g（x）=f（x）+x2a，求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数g（x）的单调性，求出g（x）的最小值，从而求出a的范围即可【详解】解：（1）当时, ,所以曲线在点处的切线方程为即.（2）设则当时, 在上单调递增,所以,对任意,有,所以当时, 在上单调递减,在上单调递增,所以,由条件知, ,即设则所以在上单调递减,又,所以与条件矛盾.综上可知,实数的取值范围为【点睛】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题
