1、9.2直线、圆的位置关系专题检测1.(2019黑龙江哈尔滨第六中学高三12月月考,5)过点(1,0)且倾斜角为30的直线被圆(x-2)2+y2=1所截得的弦长为()A.32B.1C.3D.23答案C直线方程为y=33(x-1),即3x-3y-3=0,圆心(2,0)到直线的距离d=|23-3|12=12,直线被圆截得的弦长l=21-14=3.故选C.2.(2019浙江高考模拟试卷(二),3)已知圆M:(x-2)2+y2=1和直线l:y=kx,则“k=33”是“直线l与圆M相切”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A直线l:y=33xx-3y=0,
2、则圆心(2,0)到直线l的距离d=1,直线l与圆M相切,充分性成立;反之,当圆M:(x-2)2+y2=1和直线l相切时,k=33,必要性不成立.“k=33”是直线l与圆M相切的充分不必要条件.故选A.3.(2018浙江新高考调研卷三(杭州二中),6)已知直线ax+y-2=0与圆x2+y2=b总有2个不同的交点,则b的取值范围是()A.(2,+)B.(4,+)C.(0,+)D.(2,+)答案B直线ax+y-2=0过定点(0,2),要使直线与圆总有2个不同的交点,定点(0,2)必须在圆内,从而02+224.故选B.4.(2018天津十二区县二模,4)已知m为实数,直线l1:mx+y-1=0,l2:
3、(3m-2)x+my-2=0,则“m=1”是“l1l2”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案A当m=1时,两直线方程分别为直线l1:x+y-1=0,l2:x+y-2=0,满足l1l2,即充分性成立.当m=0时,两直线方程分别为y-1=0,-2x-2=0,不满足条件;当m0时,则l1l23m-2m=m1-2-1,由3m-2m=m1得m2-3m+2=0,解得m=1或m=2,由m1-2-1得m2,则m=1,即必要性成立.故“m=1”是“l1l2”的充要条件.5.(2018北京通州一模,6)已知抛物线y2=8x的准线与圆心为C的圆x2+y2+2x-8=0交
4、于A,B两点,则|CA-CB|等于()A.2B.22C.25D.42答案D易知抛物线的准线方程为x=-2,圆C的圆心坐标为(-1,0),半径为3,则|CA-CB|=|BA|=232-1-(-2)2=42,故选D.6.(2018湖北四地七校3月联考,8)若圆O1:x2+y2=5与圆O2:(x+m)2+y2=20相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是()A.3B.4C.23D.8答案B连接O1A、O2A,由于O1与O2在点A处的切线互相垂直,因此O1AO2A,所以O1O22=O1A2+O2A2,即m2=5+20=25,设AB交x轴于点C.在RtO1AO2中,sinAO2
5、O1=55,在RtACO2中,AC=AO2sinAO2O1=2555=2,AB=2AC=4.故选B.7.(2018北京顺义二模,8)已知点A(-1,-1).若曲线上存在两点B,C,使ABC为正三角形,则称为“正三角形”曲线.给定下列三条曲线:x+y-3=0(0x3);x2+y2=2(-2x0);y=-1x(x0).其中,“正三角形”曲线的个数是()A.0B.1C.2D.3答案C点A不在x+y-3=0(0x3)上,线段与坐标轴的交点为M(0,3),N(3,0),此时|MN|=32,|AM|=17,|AN|=17.因为|AM|60,可知三角形AMN不可能是正三角形,所以不是“正三角形”曲线.利用数
6、形结合思想,以A为圆心作圆,由图象可知当圆与曲线y=-1x(x0)相交时,存在B,C,使ABC为正三角形,所以为“正三角形”曲线.故选C.8. (2017东北三省四市联考,9)已知圆C:(x-3)2+(y-1)2=1和两点A(-t,0),B(t,0)(t0),若圆C上存在点P,使得APB=90,则当t取得最大值时,点P的坐标是()A.32,322B.322,32C.32,332D.332,32答案D解法一:设P的坐标为(a,b),由题意知,APBP=0,即(a+t)(a-t)+b2=0,a2-t2+b2=0,所以t2=a2+b2=|OP|2,|OP|max=(3)2+12+1=3,即t的最大值
7、为3,此时kOP=33,所以OP所在直线的倾斜角为30,所以点P的纵坐标为312=32,横坐标为332=332,即P332,32.解法二:设点P的坐标为(3+cos,1+sin)(0,2),由题意知APBP=0,所以(3+cos+t)(3+cos-t)+(1+sin)2=0,得t2=5+23cos+2sin=5+4sin+3,当+3=2,即=6时,t取得最大值,此时P332,32.9.(2018河北衡水中学期中考试,10)在平面直角坐标系xOy中,在以(-2,0)为圆心且与直线(3m+1)x+(1-2m)y-5=0(mR)相切的所有圆中,面积最大的圆的标准方程是()A.(x+2)2+y2=16
8、B.(x+2)2+y2=20C.(x+2)2+y2=25D.(x+2)2+y2=36答案C根据题意,记圆心为P(-2,0),对于直线(3m+1)x+(1-2m)y-5=0,变形可得m(3x-2y)+(x+y-5)=0,易知直线过定点M(2,3).故在以点(-2,0)为圆心且与直线(3m+1)x+(1-2m)y-5=0相切的圆中,面积最大的圆的半径r=|MP|,则r2=|MP|2=25,故其标准方程为(x+2)2+y2=25.故选C.10.(2019浙江高考模拟试卷(二),9)如图,已知F1,F2为椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的两个焦点,P为椭圆上一点,过F2作直线PF1的垂线交椭圆于P
9、,Q两点,设椭圆的离心率为e,若圆x2+y2=1与直线PF1相切,且|QF1|=6,则e2等于()A.134B.5-12C.5-217D.23-5174答案D设切点为M,连接OM,由题意得OM=1,OMPF2,O为F1F2的中点,|PF2|=2,|PF1|=2a-2,又|QF1|=6,|QF1|+|QF2|=2a,|QF2|=2a-6,|PQ|=2a-4,在PF1F2中,由勾股定理得(2a-2)2+22=4c2,在PF1Q中,由勾股定理得(2a-2)2+(2a-4)2=62,由得a=3+172a2=26+6174,c2=22+2174.e2=23-5174.故选D.11.(2018天津部分区县
10、期末,13)以点(0,b)为圆心的圆与直线y=2x+1相切于点(1,3),则该圆的方程为.答案x2+y-722=54解析以点(0,b)为圆心的圆与直线y=2x+1相切于点(1,3),两点(0,b)和(1,3)所在直线与直线y=2x+1垂直,b-30-1=-12,解得b=72,圆心坐标为0,72,圆的半径r=(0-1)2+72-32=52,圆的方程为x2+y-722=54.12.(201953原创冲刺卷八,15)在平面直角坐标系中,已知A(-1,0),B(1,0),圆C:x2+y2-2x-6y+2=0,动直线l与圆C相交于M,N两点,且CMN的面积为4.若P为线段MN的中点,则PAB的面积的最大
11、值为.答案5解析由题易知圆C:(x-1)2+(y-3)2=8,且CP垂直于MN,设CP=d(d0),则d2|MN|=d228-d2=4,解得d=2,即P的轨迹是以C为圆心,2为半径的圆.又|AB|=2,P到x轴的距离的最大值为3+2=5,所以PAB的面积的最大值为252=5.13.(2017江苏南通、扬州、泰州三模,13)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,-2),点B(1,-1),P为圆x2+y2=2上一动点,则|PB|PA|的最大值是.答案2解析设P(x,y),则由已知可得|PB|2|PA|2=(x-1)2+(y+1)2x2+(y+2)2=x2+y2-2x+2y+2x2+y2+4y+4
12、,P(x,y)在圆x2+y2=2上,|PB|2|PA|2=2-2x+2y+22+4y+4=2-x+y3+2y.令2-x+y3+2y=t,则x+(2t-1)y+3t-2=0,圆心到直线x+(2t-1)y+3t-2=0的距离应满足|3t-2|1+(2t-1)22,解得0t4,故|PB|2|PA|24,|PB|PA|的最大值为2.14.(2018苏锡常镇四市高三教学情况调研(一),13)已知直线l:x-y+2=0与x轴交于点A,点P在直线l上,圆C:(x-2)2+y2=2上有且仅有一个点B满足ABBP,则点P的横坐标的取值集合为.答案13,5解析设P(t,t+2),B(x,y),则BP=(t-x,t
13、+2-y),直线l:x-y+2=0与x轴交于点A,A(-2,0),AB=(x+2,y),ABBP,ABBP=0,即(x+2)(t-x)+y(t+2-y)=0.整理得x2-(t-2)x+y2-(t+2)y=2t,x-t-222+y-t+222=(t+2)22,又B(x,y)在圆(x-2)2+y2=2上,点B可理解为圆x-t-222+y-t+222=(t+2)22与圆(x-2)2+y2=2的交点,易得(x-2)2+y2=2的圆心C(2,0),半径r1=2,设x-t-222+y-t+222=(t+2)22的圆心Nt-22,t+22,半径r2=22|t+2|,由题意得圆C与圆N相切,外切时:CN=r1
14、+r2,2-t-222+0-t+222=2+22|t+2|.整理得t2-4t+20=2+|t+2|.(i)若t-2,则|t+2|=t+2,t2-4t+20=t+4,t2-4t+20=t2+8t+16.t=13.(ii)若t-2,则|t+2|=-t-2.t2-4t+20=-t.t2-4t+20=t2,t=5(舍).内切时:CN=r2-r1,2-t-222+0-t+222=22|t+2|-2.整理得t2-4t+20=|t+2|-2.(i)若t-2,则|t+2|=t+2,t2-4t+20=t,t2-4t+20=t2,t=5.(ii)若t-2,则|t+2|=-t-2.t2-4t+20=-t-4.t2-4t+20=t2+8t+16,t=13(舍).综上:t13,5.
