1、2.5 相交弦定理课时过关能力提升1.如图所示,CD 是O 的直径,ABCD,垂足为 P,AP=4,PD=2,则 PO 等于()A.2B.3C.5D.7解析:设O 的半径为 r.APPB=CPPD,AP=PB=4,PD=2,42=(2r-2)2.r=5.PO=r-2=3.答案:B2.如图所示,AB 是O 的直径,弦 CD 与 AB 交于点 P,PA=2,PC=6,PD=4,则 AB 等于()A.3B.8C.12D.14解析:要求 AB 的长,需求出 PB 的长,由相交弦定理知 PAPB=PCPD,所以 PB 故AB=PA+PB=2+12=14.答案:D3.如图所示,已知O 的弦 AB 过弦 C
2、D 的三等分点 M,AM 和 BM 是方程 3x2+2mx+18=0 的两个根,则CD 的长为()A C.解析:AM 和 BM 是 3x2+2mx+18=0 的两根,AMBM 又 AB 和 CD 相交于点 M,CMMD=AMBM=6.CD=答案:C4.如图所示,已知 O 为O上一点,O 与O相交于 A,B 两点,CD 是O 的直径,交 AB 于点 F,DC 的延长线交O于点 E,且 CF=4,OF=2,则 CE 的长为()A.12B.8C.6D.4解析:在O 中,OF=2,CF=4,OC=OD=6.AFFB=CFFD=4(2+6)=32.在O中,EFOF=AFFB=32.EF 即EF=EC+C
3、F=EC+4=16.EC=12.答案:A5.如图所示,已知ABC 是O 的内接等边三角形,弦 EF 经过 BC 的中点 D,且 EFAB,若 AB=2,则 DE的长是()A -C 解析:如图所示,过点 C 作 CNAB 于点 N,交 EF 于点 M,则 CMEF,根据圆和等边三角形的性质可知 CN 必过圆心 O.EFAB,D 是 BC 的中点,DG 是ABC 的中位线,即 DG 易知CGD 是等边三角形,由 CMDG,知 DM=MG.由 OMEF,知 EM=MF,故 DE=GF.BC 与 EF 相交于点 D,BDDC=DEDF,即 DE(DE+1)=1,解得 DE -答案:B6.如图所示,AB
4、,CD 是半径为 a 的O 的两条弦,它们相交于 AB 的中点 P,CP 连接 AOP=60,则 PD=.解析:因为 P 是 AB 的中点,所以 OPAB.又AOP=60,OA=a,所以 AP 所以 BP=AP 又因为 APPB=CPPD,所以 PD,解得 PD 答案:7.如图所示,ABC 是O 的内接三角形,PA 是O 的切线,A 为切点,PB 交 AC 于点 E,交O 于点 D.若PA=PE,ABC=60,PD=1,PB=9,则 PA=,EC=.解析:PA 与O 相切,A 为切点,PA2=PDPB.又 PD=1,PB=9,PA2=19=9,PA=3.又PAE=ABC=60,PA=PE,PA
5、E 是等边三角形,PE=AE=PA=3.DE=PE-PD=3-1=2,BE=PB-PE=9-3=6.又 AC 与 BD 交于点 E,BEED=AEEC,62=3EC,EC=4.答案:3 48.如图所示,已知等腰三角形 ABC 内接于O,B=ACB=30,弦 AD 交 BC 于点 E,AE=2,ED=4,求O 的半径.解如图所示,连接 OA,OC,OA 交 BC 于点 F,则 OA=OC.AB=AC,B=D=30.O=2D=60.OAC 为等边三角形.ACO=60.FCO=ACO-ACB=30,FCO=ACB.CF 为等边三角形 OAC 的角平分线.CFOA,即 AFBC.AB=AC,AF=AF
6、,RtABFRtACF,BF=CF.在 RtABF 和 RtAEF 中,由勾股定理,得 BF2=AB2-AF2,AF2+EF2=AE2.由相交弦定理,得 BECE=AEED=8.BECE=(BF+EF)(CF-EF)=(BF+EF)(BF-EF)=BF2-EF2=AB2-AF2-EF2=AB2-AE2=AB2-4=8.AB2=12.OA=AC=AB=O 的半径等于 9.(拔高题)如图所示,已知O1与O2相交于 A,B 两点,过点 A 作O1的切线交O2于点 C,过点 B 作两圆的割线,分别交O1,O2于点 D,E,DE 与 AC 相交于点 P.(1)求证:ADEC;(2)若 AD 是O2的切线
7、,且 PA=6,PC=2,BD=9,求 AD 的长.分析(1)转化为证明ADB=BEC;(2)先利用 PA2=PBPD 求出 PB 的长,再利用相交弦定理求出 PE的长,再由 AD2=DBDE 求出 AD 的长.(1)证明连接 AB,如图所示.AC 与O1相切,BAC=ADB.又BAC=BEC,ADB=BEC,ADEC.(2)解PA 与O1相切,PA2=PBPD.又 PD=PB+BD=PB+9,62=PB(PB+9),解得 PB=3.又 BE 与 AC 交于点 P,BPPE=APPC,3PE=62,PE=4,DE=DB+BP+PE=9+3+4=16.又 DA 与O2相切,DA2=DBDE=916=144.AD=12.
