1、2015-2016学年北京市海淀区中关村中学高三（上）10月月考数学试卷（理科）一、选择题1已知集合A=x|x1，B=x|xm，且AB=R，那么m的值可以是（）A1B0C1D22命题“x0，都有x2x0”的否定是（）Ax0，使得x2x0Bx0，使得x2x0Cx0，都有x2x0Dx0，都有x2x03已知等差数列an中，a5+a9a7=10，记Sn=a1+a2+an，则S13的值（）A130B260C156D1684下列函数中，是奇函数且在区间（0，1）内单调递减的函数是（）ABCy=x3Dy=tanx5在平面直角坐标系xoy中，已知O（0，0），A（0，1），则的值为（）A1BCD6“t0”是“
2、函数f（x）=x2+txt在（，+）内存在零点”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7要得到函数y=sinxcosx的图象，只需将函数y=cosxsinx的图象（）A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向右平移个单位长度D向左平移个单位长度8已知集合M=（x，y）|y=f（x），若对于任意（x1，y1）M，存在（x2，y2）M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“好集合”给出下列3个集合：M=（x，y）|y=cosxM=（x，y）|y=ex2其中所有“好集合”的序号是（）ABCD二、填空题：9 cosxdx=10已知a=log25，2b=
3、3，c=log32，则a，b，c的大小关系为11已知ABC是正三角形，若与向量的夹角大于90，则实数的取值范围是12函数f（x）=lnx2x的极值点为13如图（1）是反映某条公共汽车线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）y与乘客量x之间关系的图象由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图（2）（3）所示给出下说法：图（2）的建议是：提高成本，并提高票价；图（2）的建议是：降低成本，并保持票价不变；图（3）的建议是：提高票价，并保持成本不变；图（3）的建议是：提高票价，并降低成本其中所有说法正确的序号是14数列2n1的前n项1，3，7，2n1组成集合An=1，3，
4、7，2n1（nN*），从集合An中任取k（k=1，2，3，n）个数，其所有可能的k个数的乘积的和为Tk（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记Sn=T1+T2+Tn，例如当n=1时，A1=1，T1=1，S1=1；当n=2时，A2=1，2，T2=1+3，S2=1+3+13=7则当n=3时，S3=；试写出Sn=三、解答题15已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x，（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）当时，求函数f（x）的最大值，并写出x的相应的取值16在ABC中，A=60，3b=2c，SABC=（）求b的值；（）求sinB的值17在等比数列an中，an0（nN*），且a1a3=
5、4，a3+1是a2和a4的等差中项（）求数列an的通项公式；（）若数列bn满足bn=an+1+log2an（n=1，2，3），求数列bn的前n项和Sn18已知函数f（x）=ax3+bx2+4x的极小值为8，其导函数y=f（x）的图象经过点（2，0），如图所示（1）求f（x）的解析式；（2）若函数y=f（x）k在区间3，2上有两个不同的零点，求实数k的取值范围19已知函数f（x）=lnx+ax2+bx（其中a，b）为常数且a0）在x=1处取得极值（）当a=1时，求f（x）的单调区间；（）若f（x）在（0，e上的最大值为1，求a的值20已知函数f（x）=其中P，M是非空数集，且PM=，设f（P）=
6、y|y=f（x），xP，f（M）=y|y=f（x），xM（I）若P=（，0），M=0，4，求f（P）f（M）；（II）是否存在实数a3，使得PM=3，a，且f（P）f（M）=3，2a3？若存在，请求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由；（III）若PM=R，且0M，IP，f（x）是单调递增函数，求集合P，M2015-2016学年北京市海淀区中关村中学高三（上）10月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1已知集合A=x|x1，B=x|xm，且AB=R，那么m的值可以是（）A1B0C1D2【考点】并集及其运算【分析】根据题意，做出集合A，由并集的定义分析可得，若AB=R，必有m1，
7、分析选项，即可得答案【解答】解：根据题意，若集合A=x|x1，B=x|xm，且AB=R，必有m1，分析选项可得，D符合；故选D2命题“x0，都有x2x0”的否定是（）Ax0，使得x2x0Bx0，使得x2x0Cx0，都有x2x0Dx0，都有x2x0【考点】命题的否定【分析】全称命题“xM，p（x）”的否定为特称命题“xM，p（x）”所以全称命题“x0，都有x2x0”的否定是特称命题“x0，使得x2x0”【解答】解：命题“x0，都有x2x0”的否定是“x0，使得x2x0”故选B3已知等差数列an中，a5+a9a7=10，记Sn=a1+a2+an，则S13的值（）A130B260C156D168【考
8、点】等差数列的性质；等差数列的前n项和【分析】利用等差数列的性质化简已知等式的左边前两项，得到关于a7的方程，求出方程的解得到a7的值，再利用等差数列的求和公式表示出S13，利用等差数列的性质化简后，将a7的值代入即可求出值【解答】解：数列an为等差数列，且a5+a9a7=10，（a5+a9）a7=2a7a7=a7=10，则S13=13a7=130故选：A4下列函数中，是奇函数且在区间（0，1）内单调递减的函数是（）ABCy=x3Dy=tanx【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】根据函数的奇函数的性质及函数的单调性的判断方法对四个选项逐一判断，得出正确选项【解答】解：A选项的定义域不关于原点对
9、称，故不正确；B选项正确，是奇函数且在区间（0，1）内单调递减；C选项不正确，因为其在区间（0，1）内单调递增；D选项不正确，因为其在区间（0，1）内单调递增故选B5在平面直角坐标系xoy中，已知O（0，0），A（0，1），则的值为（）A1BCD【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算【分析】求出两个向量，然后求解它们的数量积即可【解答】解：因为在平面直角坐标系xoy中，已知O（0，0），A（0，1），所以，=故选B6“t0”是“函数f（x）=x2+txt在（，+）内存在零点”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要
10、条件的判断【分析】已知函数f（x）=x2+txt在（，+）内存在零点，根据方程有解，可以求出t的范围，再进行判断；【解答】解：函数f（x）=x2+txt在（，+）内存在零点，说明方程f（x）=x2+txt=0与x轴有交点，0，可得t24（t）0，解得t0或t4，“t0”函数f（x）=x2+txt在（，+）内存在零点”，“t0”是“函数f（x）=x2+txt在（，+）内存在零点”的充分而不必要条件，故选A；7要得到函数y=sinxcosx的图象，只需将函数y=cosxsinx的图象（）A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向右平移个单位长度D向左平移个单位长度【考点】函数y=Asin（x+）
11、的图象变换；三角函数中的恒等变换应用【分析】先根据三角函数的两角和公式，分别对两个函数进行化简，再根据左加右减的原则即可得到答案【解答】解：由题意可得：y1=sinxcosx=sin（x），y2=cosxsinx=sin（x）=，平移图象时根据左加右减的原则可得：y2向右平移个单位即可得到y1的图象故选C8已知集合M=（x，y）|y=f（x），若对于任意（x1，y1）M，存在（x2，y2）M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“好集合”给出下列3个集合：M=（x，y）|y=cosxM=（x，y）|y=ex2其中所有“好集合”的序号是（）ABCD【考点】元素与集合关系的判断；函数图象的
12、作法【分析】对于利用渐近线互相垂直，判断其正误即可对于，画出图象，说明满足好集合的定义，即可判断正误；对于画出函数图象，说明满足好集合的定义，即可判断正误；【解答】解：对于是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角为90，在同一支上，任意（x1，y1）M，不存在（x2，y2）M，满足好集合的定义；对任意（x1，y1）M，在另一支上也不存在（x2，y2）M，使得x1x2+y1y2=0成立，所以不满足好集合的定义，不是好集合对于M=（x，y）|y=cosx，如图（2）对于任意（x1，y1）M，存在（x2，y2）M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如（0，1）、（，0），yox=90，满足好集合的
13、定义，旋转90，都能在图象上找到满足题意的点，所以M是好集合；对于M=（x，y）|y=ex2，如图（3）红线的直角始终存在，例如取M（0，1），N（ln2，0），满足好集合的定义，所以正确故选B二、填空题：9 cosxdx=【考点】定积分的简单应用【分析】结合导数公式，求出cosx的原函数，用微积分基本定理即可求解【解答】解： =sinsin0=10已知a=log25，2b=3，c=log32，则a，b，c的大小关系为abc【考点】对数值大小的比较【分析】利用对数和指数的运算性质确定a，b，c的大小关系即可【解答】解：2b=3，b=log23，log25log231，即ab1，log321，c
14、1a，b，c的大小关系为 abc故答案为：abc11已知ABC是正三角形，若与向量的夹角大于90，则实数的取值范围是（2，+）【考点】数量积表示两个向量的夹角【分析】由于与向量的夹角大于90，可得0，利用数量积运算和正三角形的性质即可得出【解答】解：ABC是正三角形， =与向量的夹角大于90，=0，解得2实数的取值范围是2故答案为（2，+）12函数f（x）=lnx2x的极值点为【考点】利用导数研究函数的极值【分析】先求出导函数，找到导数为0的根，在检验导数为0的根两侧导数的符号即可得出结论【解答】解：因为f（x）=2=0x=又x0，0x时，f（x）0f（x）为增函数；x时，f（x）0，的f（x
15、）为减函数故是函数的极值点故答案为：13如图（1）是反映某条公共汽车线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）y与乘客量x之间关系的图象由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图（2）（3）所示给出下说法：图（2）的建议是：提高成本，并提高票价；图（2）的建议是：降低成本，并保持票价不变；图（3）的建议是：提高票价，并保持成本不变；图（3）的建议是：提高票价，并降低成本其中所有说法正确的序号是【考点】函数的图象与图象变化【分析】根据题意知图象反应了收支差额y与乘客量x的变化情况，即直线的斜率说明票价问题；当x=0的点说明公司的成本情况，再结合图象进行说明【解答】解：
16、根据题意和图（2）知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出的变少了，即说明了此建议是降低成本而保持票价不变；故正确；由图（3）看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明了此建议是提高票价而保持成本不变，故正确故答案为：14数列2n1的前n项1，3，7，2n1组成集合An=1，3，7，2n1（nN*），从集合An中任取k（k=1，2，3，n）个数，其所有可能的k个数的乘积的和为Tk（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记Sn=T1+T2+Tn，例如当n=1时，A1=1，T1=1，S1=1；当n=2时，A2
17、=1，2，T2=1+3，S2=1+3+13=7则当n=3时，S3=；试写出Sn=【考点】等差数列与等比数列的综合；进行简单的合情推理【分析】根据Sn=T1+T2+Tn的意义即可求得n=3时S3根据S1，S2，S3，猜想1，然后利用数学归纳法证明即可【解答】解：当n=3时，A3=1，3，7，T1=1+3+7=11，T2=13+17+37=31，T3=137=21，所以S3=11+31+21=63；由S1=1=211=1，S2=7=231=1，S3=63=261=1，猜想1，下面证明：（1）易知n=1时成立；（2）假设n=k时1，则n=k+1时，Sk+1=T1+T2+T3+Tk+1=T1+（2k+
18、11）+T2+（2k+11）T1+T3+（2k+11）T2+Tk+（2k+11）（其中Ti，i=1，2，k，为n=k时可能的k个数的乘积的和为Tk），=（）+（2k+11）+（2k+11）（）=Sk+（2k+11）+（2k+11）Sk=2k+1（1）+（2k+11）=1=1，即n=k时1也成立，综合（1）（2）知对nN*1成立所以1故答案为：63；1三、解答题15已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x，（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）当时，求函数f（x）的最大值，并写出x的相应的取值【考点】三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值【分析】（1）利用两角和差的三角函数化简
19、函数，得到f（x）=1+，由 T= 求得周期 （2）当时，求出2x+ 的范围，进而得到sin（2x+ ）的范围，从而得到函数f（x）的 范围，从而求得函数f（x）的最大值【解答】解：（1）函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x=1+sin2x+cos2x=1+，故最小正周期为 T=（2）当时，0x，2x+，sin（2x+ ）1，01+1+，故函数f（x）的最大值为 1+此时，2x+=，x=16在ABC中，A=60，3b=2c，SABC=（）求b的值；（）求sinB的值【考点】余弦定理的应用【分析】（）由A=60和，利用面积公式，可得bc=6，结合3b=2c求b的值；（）由余弦定理可
20、得a，再利用正弦定理可求sinB的值【解答】解：（）由A=60和可得，所以bc=6，又3b=2c，所以b=2，c=3（）因为b=2，c=3，A=60，由余弦定理a2=c2+b22bccosA可得a=由正弦定理可得，所以sinB=17在等比数列an中，an0（nN*），且a1a3=4，a3+1是a2和a4的等差中项（）求数列an的通项公式；（）若数列bn满足bn=an+1+log2an（n=1，2，3），求数列bn的前n项和Sn【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和【分析】（I）求数列an的通项公式，设出公比为q，由a1a3=4，a3+1是a2和a4的等差中项，这两个方程联立即可求出首项与
21、公比，通项易求（II）若数列bn满足bn=an+1+log2an（n=1，2，3），由（I）知求数列bn的前n项和Sn要用分组求和的技巧【解答】解：（I）设等比数列an的公比为q由a1a3=4可得a22=4，因为an0，所以a2=2依题意有a2+a4=2（a3+1），得2a3=a4=a3q因为a30，所以，q=2.所以数列an通项为an=2n1（II）bn=an+1+log2an=2n+n1可得=18已知函数f（x）=ax3+bx2+4x的极小值为8，其导函数y=f（x）的图象经过点（2，0），如图所示（1）求f（x）的解析式；（2）若函数y=f（x）k在区间3，2上有两个不同的零点，求实数k
22、的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；函数在某点取得极值的条件【分析】（1）求出y=f（x），因为导函数图象经过（2，0），代入即可求出a、b之间的关系式，再根据f（x）极小值为8可得f（2）=8，解出即可得到a、b的值；（2）将函数g（x）=f（x）k在区间3，2上有两个不同的零点，转化成k=f（x）在区间3，2上有两个不同的根，即y=k与y=f（x）的图象在区间3，2上有两个不同的交点，列出表格，即可求出实数k的取值范围【解答】解：（1）根据题意可知函数在x=2处取极小值8f（x）=3ax2+2bx+4解得：a=1，b=2f（x）=x32x2+4x，（2）函数g（x）=f（x）k在区间
23、3，2上有两个不同的零点，k=f（x）在区间3，2上有两个不同的根即y=k与y=f（x）的图象在区间3，2上有两个不同的交点f（x）=3x24x+4，令f（x）=0，解得x=2或x=，可列表： x3（3，2）2（2，）（） 2 f（x）0+ 0 f（x）3 极小值8极大值8由表可知，当时，方程k=f（x）在区间3，2上有两个不同的根，即函数y=f（x）k在区间3，2上有两个不同的零点19已知函数f（x）=lnx+ax2+bx（其中a，b）为常数且a0）在x=1处取得极值（）当a=1时，求f（x）的单调区间；（）若f（x）在（0，e上的最大值为1，求a的值【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导
24、数求闭区间上函数的最值【分析】（I）由函数的解析式，可求出函数导函数的解析式，进而根据x=1是f（x）的一个极值点f（1）=0，可构造关于a，b的方程，根据a=1求出b值；可得函数导函数的解析式，分析导函数值大于0和小于0时，x的范围，可得函数f（x）的单调区间；（II）对函数求导，写出函数的导函数等于0的x的值，列表表示出在各个区间上的导函数和函数的情况，做出极值，把极值同端点处的值进行比较得到最大值，最后利用条件建立关于a的方程求得结果【解答】解：（I）因为f（x）=lnx+ax2+bx所以f（x）=+2ax+b，因为函数f（x）=lnx+ax2+bx在x=1处取得极值f（1）=1+2a+
25、b=0当a=1时，b=3，f（x）=，f（x），f（x）随x的变化情况如下表：x（0，）（，1）1（1，+）f（x）+00+f（x）增 极大值减 极小值增所以f（x）的单调递增区间为（0，），（1，+）单调递减区间为（，1）（II）因为f（x）=令f（x）=0，x1=1，x2=因为f（x）在 x=1处取得极值，所以x2=x1=1，当0时，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e上单调递减所以f（x）在区间（0，e上的最大值为f（1），令f（1）=1，解得a=2当a0，x2=0当1时，f（x）在（0，）上单调递增，（，1）上单调递减，（1，e）上单调递增所以最大值1可能在x=或x=e处取得而f
26、（）=ln+a（）2（2a+1）=ln0所以f（e）=lne+ae2（2a+1）e=1，解得a=当1e时，f（x）在区间（0，1）上单调递增，（1，）上单调递减，（，e）上单调递增所以最大值1可能在x=1或x=e处取得而f（1）=ln1+a（2a+1）0所以f（e）=lne+ae2（2a+1）e=1，解得a=，与1x2=e矛盾当x2=e时，f（X）在区间（0，1）上单调递增，在（1，e）单调递减，所以最大值1可能在x=1处取得，而f（1）=ln1+a（2a+1）0，矛盾综上所述，a=或a=220已知函数f（x）=其中P，M是非空数集，且PM=，设f（P）=y|y=f（x），xP，f（M）=y|
27、y=f（x），xM（I）若P=（，0），M=0，4，求f（P）f（M）；（II）是否存在实数a3，使得PM=3，a，且f（P）f（M）=3，2a3？若存在，请求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由；（III）若PM=R，且0M，IP，f（x）是单调递增函数，求集合P，M【考点】分段函数的应用；子集与交集、并集运算的转换【分析】（I）利用y=|x|的图象和性质和二次函数的图象和性质分别计算此分段函数两支上的值域，再求其并集即可；（II）抓住线索3PM，逐层深入，先判断3P，得a的范围，再由已知推理缩小此范围，最后确定a的值；（III）现根据函数的单调性确定（，0）M，（1，+）P，再证明在（
28、0，1）上存在分界点的话，这个分界点应具有怎样的性质，最后根据此性质写出满足题意的集合P，M【解答】解：（I）P=（，0），f（P）=y|y=|x|，x（，0）=（0，+），M=0，4，f（M）=y|y=x2+2x，x0，4=8，1f（P）f（M）=8，+）（II）若3M，则f（3）=153，2a3，不符合要求3P，从而f（3）=3f（3）=33，2a32a33，得a3若a3，则2a33（x1）2+1=x2+2xPM=，2a3的原象x0P且3x0ax0=2a3a，得a3，与前提矛盾a=3此时可取P=3，1）0，3，M=1，0），满足题意（III）f（x）是单调递增函数，对任意x0，有f（x）f
29、（0）=0，xM（，0）M，同理可证：（1，+）P若存在0x01，使得x0M，则1f（x0）=+2x0x0，于是x0， +2x0M记x1=+2x0（0，1），x2=+2x1，x0，x1M，同理可知x1，x2M，由xn+1=+2xn，得1xn+1=1+2xn=（1）2；1xn=（1）2=（1xn2）22=（1x0）2n对于任意xx0，1，取log2log（1x0）（1x）1，log2log（1x0）（1x）中的自然数nx，则xxnx，xnx+1Mx0，1）M综上所述，满足要求的P，M必有如下表示：P=（0，t）1，+），M=（，0t，1），其中0t1或者P=（0，t1，+），M=（，0（t，1），其中0t1或者P=1，+），M=（，1或者P=（0，+），M=（，02016年10月15日
