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2016江苏专用理科高考数学二轮专题复习习题 专题七(必做)第2讲 附加题.doc

上传人:高**** 文档编号:533918 上传时间:2024-05-28 格式:DOC 页数:5 大小:69.50KB
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资源描述

1、第2讲计数原理、数学归纳法、随机变量及其分布列1(2012江苏卷)设为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,0;当两条棱平行时,的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,1.(1)求概率P(0);(2)求的分布列,并求其数学期望E()解(1)若两条棱相交,则交点必为正方体8个顶点中的1个,过任意1个顶点恰有3条棱,所以共有8C对相交棱,因此P(0).(2)若两条棱平行,则它们的距离为1或,其中距离为的共有6对,故P(),于是P(1)1P(0)P()1,所以随机变量的分布列是01P因此E()1.2(2015山东卷)若n是一个三位正整数,且n的个位数字大于十位数字,十位数

2、字大于百位数字,则称n为“三位递增数”(如137,359,567等)在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数,且只能抽取一次得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除,参加者得0分;若能被5整除,但不能被10整除,得1分;若能被10整除,得1分(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数” ;(2)若甲参加活动,求甲得分X的分布列和数学期望E(X)解(1)个位数是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345;(2)由题意知,全部“三位递增数”的个数为C84,随机变量X的取值为:0,1,1,因此P(X0),P(X1),P(X1

3、)1,所以X的分布列为X011P则E(X)0(1)1.3(2013江苏卷)设数列an:1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,(1)k1k,(1)k1k个k,即当n(kN*)时,an(1)k1k,记Sna1a2an(nN*)对于lN*,定义集合Pln|Sn是an的整数倍,nN*,且1nl(1)求集合P11中元素的个数;(2)求集合P2 000中元素的个数解(1)由数列an的定义得a11,a22,a32,a43,a53,a63,a74,a84,a94,a104,a115,所以S11,S21,S33,S40,S53,S66,S72,S82,S96,S1010,S115,从而S1a1,S40a4,S

4、5a5,S62a6,S11a11,所以集合P11中元素的个数为5.(2)先证:Si(2i1)i(2i1)(iN*)事实上,当i1时,Si(2i1)S33,i(2i1)3,故原等式成立;假设im时成立,即Sm(2m1)m(2m1),则im1时 ,S(m1)(2m3)Sm(2m1)(2m1)2(2m2)2m(2m1)4m3(2m25m3)(m1)(2m3)综合可得,Si(2i1)i(2i1)于是S(i1)(2i1)Si(2i1)(2i1)2i(2i1)(2i1)2(2i1)(i1)由上可知Si(2i1)是2i1的倍数,而ai(2i1)j2i1(j1,2,2i1),所以Si(2i1)jSi(2i1)

5、j(2i1)是ai(2i1)j(j1,2,2i1)的倍数又S(i1)(2i1)(i1)(2i1)不是2i2的倍数,而a(i1)(2i1)j(2i2)(j1,2,2i2),所以S(i1)(2i1)jS(i1)(2i1)j(2i2)(2i1)(i1)j(2i2)不是a(i1)(2i1)j(j1,2,2i2)的倍数,故当li(2i1)时,集合Pl中元素的个数为13(2i1)i2,于是,当li(2i1)j(1j2i1)时,集合Pl中元素的个数为i2j.又2 00031(2311)47,故集合P2 000中元素的个数为312471 008.4(2010江苏卷)已知ABC的三边长都是有理数(1)求证:co

6、s A是有理数;(2)求证:对任意正整数n,cos nA是有理数证明(1)设三边长分别为a,b,c,cos A,a,b,c是有理数,b2c2a2是有理数,分母2bc为正有理数,又有理数集对于除法具有封闭性,必为有理数,cos A是有理数(2)当n1时,显然cos A是有理数;当n2时,cos 2A2cos2A1,因为cos A是有理数,cos 2A也是有理数;假设当nk(k2)时,结论成立,即cos kA、cos(k1)A均是有理数当nk1时,cos(k1)Acos kAcos Asin kAsin Acos kAcos Acos(kAA)cos(kAA)cos kAcos Acos(k1)A

7、cos(k1)A解得:cos(k1)A2cos kAcos Acos(k1)Acos A,cos kA,cos(k1)A均是有理数,2cos kAcos Acos(k1)A是有理数,cos(k1)A是有理数即当nk1时,结论成立综上所述,对于任意正整数n,cos nA是有理数5记的展开式中,x的系数为an,x2的系数为bn,其中nN*.(1)求an;(2)是否存在常数p,q(pq),使bn,对nN*,n2恒成立?证明你的结论解(1)根据多项式乘法运算法则,得an1.(2)计算得b2,b3.代入bn,解得p2,q1.下面用数学归纳法证明bn(n2且nN*)当n2时,b2,结论成立设nk时成立,即

8、bk,则当nk1时,bk1bk.由可得存在常数p2,q1使结论对nN*,n2成立6(2012江苏卷)设集合Pn1,2,n,nN*.记f(n)为同时满足下列条件的集合A的个数:APn;若xA,则2xA;若xPnA,则2xPnA.(1)求f(4);(2)求f(n)的解析式(用n表示)解(1)当n4时,符合条件的集合A为:2,1,4,2,3,1,3,4,故f(4)4.(2)任取偶数xPn,将x除以2,若商仍为偶数,再除以2,经过k次以后,商必为奇数,此时记商为m,于是xm2k,其中m为奇数,kN*.由条件知,若mA,则xAk为偶数;若mA,则xAk为奇数于是x是否属于A由m是否属于A确定设Qn是Pn中所有奇数的集合,因此f(n)等于Qn的子集个数当n为偶数(或奇数)时,Pn中奇数的个数是,所以f(n)

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