1、第2讲三角变换与解三角形考情解读1.高考中常考查三角恒等变换有关公式的变形使用，常和同角三角函数的关系、诱导公式结合.2.利用正弦定理或余弦定理解三角形或判断三角形的形状、求值等，经常和三角恒等变换结合进行综合考查1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()sin cos cos sin .(2)cos()cos cos sin sin .(3)tan().2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 22sin cos .(2)cos 2cos2sin22cos2112sin2.(3)tan 2.3三角恒等式的证明方法(1)从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简(2)等式的两边同时
2、变形为同一个式子(3)将式子变形后再证明4正弦定理2R(2R为ABC外接圆的直径)变形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C.sin A，sin B，sin C.abcsin Asin Bsin C.5余弦定理a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C.推论：cos A，cos B，cos C.变形：b2c2a22bccos A，a2c2b22accos B，a2b2c22abcos C.6面积公式SABCbcsin Aacsin Babsin C.7解三角形(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解(2)已知两边及一边的对角，利用正弦
3、定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解(4)已知三边，利用余弦定理求解热点一三角变换例1(1)已知sin()sin ，0，则cos()等于()A BC. D.(2)(2014课标全国)设(0，)，(0，)，且tan ，则()A3 B2C3 D2思维启迪(1)利用和角公式化简已知式子，和cos()进行比较(2)先对已知式子进行变形，得三角函数值的式子，再利用范围探求角的关系答案(1)C(2)B解析(1)sin()sin ，0，sin cos ，sin cos ，cos()cos cossin sincos sin .(2)由tan 得，即sin cos c
4、os cos sin ，sin()cos sin()(0，)，(0，)，(，)，(0，)，由sin()sin()，得，2.思维升华(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解设函数f(x)cos(2x)sin2x.(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；(2)若是第二象限角，且f()0，求的值解(1)
5、f(x)cos(2x)sin2xcos 2xcossin 2xsinsin 2x.所以f(x)的最小正周期为T，最大值为.(2)因为f()0，所以sin 0，即sin ，又是第二象限角，所以cos .所以.热点二解三角形例2在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足a2sin A，0.(1)求边c的大小；(2)求ABC面积的最大值思维启迪(1)将0中的边化成角，然后利用和差公式求cos C，进而求c.(2)只需求ab的最大值，可利用cos C和基本不等式求解解(1)0，ccos B2acos Cbcos C0，sin Ccos Bsin Bcos C2sin Acos C0，sin
6、 A2sin Acos C0，sin A0，cos C，C(0，)C，csin C.(2)cos C，a2b2ab3，3ab3，即ab1.SABCabsin C.ABC的面积最大值为.思维升华三角形问题的求解一般是从两个角度，即从“角”或从“边”进行转化突破，实现“边”或“角”的统一，问题便可突破几种常见变形：(1)abcsin Asin Bsin C；(2)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，其中R为ABC外接圆的半径；(3)sin(AB)sin C，cos(AB)cos C.(1)ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin Bbcos2Aa，则
7、等于()A. B2C. D2(2)(2014江西)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2(ab)26，C，则ABC的面积是()A3 B.C. D3答案(1)A(2)C解析(1)因为asin Asin Bbcos2Aa，由正弦定理得sin2Asin Bsin Bcos2Asin A，即sin Bsin A，即，.(2)c2(ab)26，c2a2b22ab6.C，c2a2b22abcos a2b2ab.由得ab6.SABCabsin C6.热点三正、余弦定理的实际应用例3(2013江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A
8、沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量cos A，cos C.(1)求索道AB的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？思维启迪(1)直接求sin B，利用正弦定理求AB.(2)利用余弦定理和函数思想，将甲乙距离表示为乙出发后时间t的函数解(1)在ABC中
9、，因为cos A，cos C，所以sin A，sin C.从而sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C.由正弦定理，得ABsin C1 040(m)所以索道AB的长为1 040 m.(2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)200(37t270t50)，由于0t，即0t8，故当t min时，甲、乙两游客距离最短(3)由正弦定理，得BCsin A500(m)乙从B出发时，甲已走了50(281)550(m)，还需走710
10、 m才能到达C.设乙步行的速度为v m/min，由题意得33，解得v，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内思维升华求解三角形的实际问题，首先要准确理解题意，分清已知与所求，关注应用题中的有关专业名词、术语，如方位角、俯角等；其次根据题意画出其示意图，示意图起着关键的作用；再次将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识建立数学模型，从而正确求解，演算过程要简练，计算要准确；最后作答如图，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A地侦察发现，在南偏东60方向的B地，有一艘某国军舰正以每小时13
11、海里的速度向正西方向的C地行驶，企图抓捕正在C地捕鱼的中国渔民此时，C地位于中国海监船的南偏东45方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的速度赶往C地救援我国渔民，能不能及时赶到？(1.41，1.73，2.45)解过点A作ADBC，交BC的延长线于点D.因为CAD45，AC10海里，所以ACD是等腰直角三角形所以ADCDAC105(海里)在RtABD中，因为DAB60，所以BDADtan 6055(海里)所以BCBDCD(55)(海里)因为中国海监船以每小时30海里的速度航行，某国军舰正以每小时13海里的速度航行，所以中国海监船到达C点所用的时间t1(小时)，某国军舰到达C点所用的时间t
12、20.4(小时)因为0.4，所以中国海监船能及时赶到1求解恒等变换问题的基本思路一角二名三结构，即用化归转化思想“去异求同”的过程，具体分析如下：(1)首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变换形式，角的变换是三角函数变换的核心(2)其次看函数名称之间的关系，通常“切化弦”(3)再次观察代数式的结构特点2解三角形的两个关键点(1)正、余弦定理是实现三角形中边角互化的依据，注意定理的灵活变形，如a2Rsin A，sin A(其中2R为三角形外接圆的直径)，a2b2c22abcos C等，灵活根据条件求解三角形中的边与角(2)三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“三角形的内角
13、和等于”和诱导公式可得到sin(AB)sin C，sin cos 等，利用“大边对大角”可以解决解三角形中的增解问题等3利用正弦定理、余弦定理解决实际问题的关键是如何将实际问题转化为数学问题，抽象出三角形模型真题感悟1(2013浙江)已知R，sin 2cos ，则tan 2等于()A. B. C D答案C解析sin 2cos ，sin24sin cos 4cos2.用降幂公式化简得：4sin 23cos 2，tan 2.故选C.2(2014江苏)若ABC的内角满足sin Asin B2sin C，则cos C的最小值是_答案解析由sin Asin B2sin C，结合正弦定理得ab2c.由余弦
14、定理得cos C，故cos C1，且3a22b2时取“”故cos C的最小值为.押题精练1在ABC中，已知tan sin C，给出以下四个结论：1；1sin Asin B；sin2Acos2B1；cos2Acos2Bsin2C.其中一定正确的是()A B C D答案D解析依题意，tan sin C.sin C0，1cos(AB)1，cos(AB)0.0AB，AB，即ABC是以角C为直角的直角三角形对于，由1，得tan Atan B，即AB，不一定成立，故不正确；对于，AB，sin Asin Bsin Acos Asin(A)，1sin Asin B，故正确；对于，AB，sin2Acos2Bsi
15、n2Asin2A2sin2A，其值不确定，故不正确；对于，AB，cos2Acos2Bcos2Asin2A1sin2C，故正确2在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，q(2a,1)，p(2bc，cos C)，且qp.(1)求sin A的值；(2)求三角函数式1的取值范围解(1)q(2a,1)，p(2bc，cos C)且qp，2bc2acos C，由正弦定理得2sin Acos C2sin Bsin C，又sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，sin Ccos Asin C.sin C0，cos A，又0A，A，sin A.(2)原式1112cos2C2si
16、n Ccos Csin 2Ccos 2Csin(2C)，0C，2C，sin(2C)1，1sin(2C)，即三角函数式1的取值范围为(1，(推荐时间：60分钟)一、选择题1(2014浙江)为了得到函数ysin 3xcos 3x的图象，可以将函数ycos 3x的图象()A向右平移个单位 B向左平移个单位C向右平移个单位 D向左平移个单位答案C解析因为ysin 3xcos 3xsin(3x)sin3(x)，又ycos 3xsin(3x)sin3(x)，所以应由ycos 3x的图象向右平移个单位得到2已知(，)，sin()，则cos 等于()A B.C或 D答案A解析(，)(，)sin()，cos()
17、，cos cos()cossin()sin().3在ABC中，若3，b2a2ac，则cos B的值为()A. B.C. D.答案D解析由正弦定理：3，由余弦定理：cos B.4(2013陕西)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定答案B解析由bcos Cccos Basin A，得sin Bcos Csin Ccos Bsin2A，即sin(BC)sin2A，所以sin A1，由0A，得A，所以ABC为直角三角形5已知tan ，sin()，其中，(0，)，则sin 的值为()
18、A. B.C. D.或答案A解析依题意得sin ，cos .注意到sin()(否则，若，则有0，0sin sin()，这与“sin()sin ”矛盾)，则cos()，sin sin()sin()cos cos()sin .6已知ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且tan B，则tan B等于()A. B.1C2 D2答案D解析由题意得，|cos Baccos B，即cos B，由余弦定理，得cos Ba2c2b21，所以tan B2，故选D.二、填空题7已知tan，且0，则_.答案解析由tan，得tan .又0，可得sin .故2sin .8在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为
19、a、b、c，已知a2c22b，且sin Acos C3cos Asin C，则b_.答案4解析由sin Acos C3cos Asin C得：3，a2b2c23(b2c2a2)，a2c2，解方程组：，b4.9已知0，cos()，sin()，则cos()_.答案解析因为0，所以，0，cos()0.因为cos()，sin()，所以sin()，cos().所以cos()cos()()cos()cos()sin()sin().10如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角ABC120；从B处攀登400米到达D处，回头看索道AC，发现张角ADC15
20、0；从D处再攀登800米方到达C处，则索道AC的长为_米答案400解析如题图，在ABD中，BD400米，ABD120.因为ADC150，所以ADB30.所以DAB1801203030.由正弦定理，可得.所以，得AD400(米)在ADC中，DC800米，ADC150，由余弦定理，可得AC2AD2CD22ADCDcosADC(400)280022400800cos 150400213，解得AC400(米)故索道AC的长为400米三、解答题11(2014安徽)设ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b3，c1，A2B.(1)求a的值；(2)求sin的值解(1)因为A2B，所以sin A
21、sin 2B2sin Bcos B.由正、余弦定理得a2b.因为b3，c1，所以a212，a2.(2)由余弦定理得cos A.由于0A0)的最小正周期是.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)求f(x)在，上的最大值和最小值解(1)f(x)4cos xsin(x)12sin xcos x2cos2x1sin 2xcos 2x2sin(2x)最小正周期是，所以，1，从而f(x)2sin(2x)令2k2x2k，kZ.解得kxk，kZ.所以函数f(x)的单调递增区间为k，k(kZ)(2)当x，时，2x，f(x)2sin(2x)，2，所以f(x)在，上的最大值和最小值分别为2，.13已知角A、B、C是ABC的三个内角，若向量m(1cos(AB)，cos)，n(，cos)，且mn.(1)求tan Atan B的值；(2)求的最大值解(1)mncos(AB)cos2cos Acos Bsin Asin B，cos Acos B9sin Asin B得tan Atan B.(2)tan(AB)(tan Atan B)2.(tan Atan B0，A，B均是锐角，即其正切值均为正)tan Ctan(AB)，所求最大值为.
