1、北京市日坛中学2017-2018学年第一学期高二年级期中考试数学试卷一、选择题（50分）1. 双曲线的焦点坐标为（ ）A. 和 B. 和 C. 和 D. 和【答案】D【解析】试题分析：根据双曲线的方程可知，焦点在轴上，且，所以，所以该双曲线的焦点坐标为，故选C.考点：双曲线的标准方程及其几何性质.2. 过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于，两点，则和椭圆的另一个焦点构成的的周长为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】画出图形，由椭圆定义可知的周长为【详解】椭圆方程为，由椭圆定义知的周长为故选【点睛】本题考查椭圆定义属于中低档题型，也是常考题.在解决此类问题中，要充分利用椭圆定义应
2、用，即椭圆上的点到两个定点（即两个焦点）的距离之和为定长（即长轴长）。3. 已知双曲线中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程为，则该双曲线离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由于焦点在x轴，所以渐近线方程为，所以，再由离心率公式求得离心率。【详解】设双曲线的方程为：，一条渐近线方程为，该双曲线的离心率故选【点睛】本题考查椭圆的渐近线方程与离心率的关系，特别要注意解析几何题先定位再定量。4. 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由三视图可知：原几何体为三棱柱。所以体积为：。考点：三视图；空间几何体
3、的体积公式。点评：由三视图正确还原几何体是做本题的的关键。5. 设，是两条不同的直线，是两个不同的平面，则能得出的是（ ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】C【解析】试题分析：A可能垂直也可能不垂直，平行都有可能；B；D可能垂直，不垂直，或是平行都有可能；C，那么，那么，故C正确考点：线线，线面，面面位置关系6. 已知双曲线的焦点、顶点分别恰好是椭圆的长轴端点、焦点，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出椭圆的长轴端点、焦点，即，所以双曲线，可求得渐近线方程。【详解】椭圆的长轴端点为，焦点为，由题意可得，对双曲线有焦点为，实轴端点为，得，
4、所以双曲线的方程为，故双曲线的渐近线方程为，即故选【点睛】此题主要考查椭圆与双曲线的方程、性质、渐近线等，要分清楚的关系。7. 如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】把平移到，即为异面直线与所成的角。【详解】，即直线与所成的角，易知，即是等边三角形，故异面直线与所成的角为故选【点睛】考查异面直线所成角问题，一般要一作、二证、三求，首先作出异面直线所成角，常用直线平移法，证明常用直线平行的传递性，求异面直线所成角常用余弦定理，要注意求的是锐角还是钝角。8. 如图，在三棱锥中，两两垂直，且，点为中点，若直线与底面所成的角为，则三棱锥的体积等于
5、（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意可证平面，所以为直线与底面所成的角，所以，可求得体积。【详解】，点为的中点，两两垂直，平面，为直线与底面所成的角，由题意可知，三棱锥的体积故选【点睛】本题综合考查线面垂直，线面角和三棱锥体积。解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养。9. 过点的直线与圆相交于，两点，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】要使弦长最小，只有弦心距最大，再由垂径定理可求得|AB|.【详解】圆表示圆心，半径为的圆，要使弦长最小，只有弦心距最大，而弦心距的最大值为，所以故选【点睛】本题考查用垂径定理求圆的弦长问题，圆的弦长问题
6、一般用几何法即垂径定理，而代数法就是弦长公式。10. 在正方体中，是正方体的底面（包括边界）内的一动点（不与重合），是底面内一动点，线段与线段相交且互相平分，则使得四边形面积最大的点有（ ）A. 个 B. 个 C. 个 D. 无数个【答案】C【解析】线段与线段相交且互相平分，四边形是平行四边形，因的长为定值，为了使四边形面积最大，只须到的距离为最大即可，由正方体的特征可以知道，当点位于，时，平行四边形面积相等，且最大，则使得四边形面积最大的点有个故选点睛:立体几何中最值问题,主要解决方法为立体问题平面化，即将空间线面关系转化到某个平面上线面关系，结合平面几何或解析几何知识进行转化解决.二、填空
7、题（30分）11. 大圆周长为的球的表面积为_【答案】【解析】依题意可知，故求得表面积为.12. 若直线过点，且与圆相切，则直线的斜率是_【答案】【解析】【分析】设直线的方程为，再由圆心到直线距离等于半径可求得斜率。【详解】设直线的方程为，即，由直线与圆相切可得，圆心到直线的距离等于半径，即，解得：【点睛】求过定点求圆的切线方程，常用待定系数法由圆心到直线的距离等于半径求得切线方程，但要注意斜率不存在的情况。13. 一个正三棱柱（底面为等边三角形，侧棱垂直于底面）的侧棱长和底面边长相等，体积为，它的三视图中的俯视图如图所示，侧视图是一个矩形，则这个正三棱柱的底面边长为_，侧视图的面积是_【答案
8、】 (1). (2). 【解析】【分析】设正三棱柱的侧棱长和底面边长均为，由棱柱的体积公式求得棱长。再由三视图求得侧视图面积。【详解】设正三棱柱的侧棱长和底面边长均为，则，解得，侧视图矩形的宽为等边三角形的高为，故侧视图的面积是【点睛】本题综合考查三棱柱的体积公式、三视图相关知识，考查学生的运算能力和空间想象能力。14. 若圆与圆外切，则正数的值是_【答案】4【解析】【分析】分别求得两圆的圆心与半径，由两圆外切即圆心距等于两圆半径和可求得参数t。【详解】圆，圆心为，半径为，圆可化为，圆心为，半径是，由两圆相外切得，解得：填4.【点睛】两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为
9、r1，r2，。外离4条分切线外切3条分切线相交2条分切线内切1条分切线内含无公切线15. 是椭圆上一定点，是椭圆的两个焦点，若，则椭圆离心率为_【答案】【解析】【分析】是直角三角形由解三角形和椭圆定义可得，由离心率公式求得离心率。【详解】在中，所以，即是直角三角形在中，所以，根据椭圆的定义，得，故椭圆的离心率为填【点睛】此题主要考查椭圆的定义、方程、离心率等有关方面的知识与运算技能，属于中低档题型，也是常考题.在解决此类问题中，要充分利用椭圆定义应用，即椭圆上的点到两个定点（即两个焦点）的距离之和为定长（即长轴长）。16. 已知曲线的方程，给出下列个结论：曲线是以点和为焦点的椭圆的一部分；曲线
10、关于轴、轴、坐标原点对称；若点在曲线上，则，；曲线围成的图形的面积是其中，所有正确结论的序号是_【答案】【解析】【分析】化简方程为，画出图像，结合图像逐个分析可判定正误。【详解】根据题意，方程，即，表示四条线段，其图形如图所示，故错误；由图可知，曲线关于轴，轴，坐标原点对称，故正确；若点在曲线上，则，故错误；曲线围成的面积，故正确综上所述，正确结论的序号是填【点睛】本题综合考查对曲线方程的分析能力，对学生迁移应用能力要求较强，需要数形结合思想，利用图形解题。三、解答题（40分）17. 已知直线过点和点（）求直线的方程（）若圆的圆心在直线上，且与轴相切于点，求圆的方程【答案】（1）；（2）【解析
11、】【分析】（1）由待定系数法，代入两点坐标求得直线方程。(2) 设圆心为，半径为，由待定系数法求得圆的方程。【详解】（）设直线的方程为：，将点和点代入得：，解得：，故直线的方程为（）设圆心为，半径为，则由圆的圆心在直线上，且与轴相切于可得：，解得，故圆的方程为：【点睛】本题考查由待定系数法求直线方程与圆的方程。需把几何关系转化为代数关系，注意运算的正确性。18. 如图，矩形所在平面与正方形所在平面相互垂直，是中点（）求证：平面（）求证：平面平面【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）要证线面平行，只须在平面内找到一条直线与这条直线平行，对本小题来说，连接交于点，由三角形的中位
12、线定理可证得，问题得证；（2）要证面面垂直，只要在其中一个平面内找到一条直线与另一个平面垂直即可，由四边形为正方形且为对角线的中点，所以有，故可考虑证明平面，故需要在平面内再找一条直线与垂直即可，由平面平面，交线为且，从而平面，可得，从而问题得证.试题解析：（1）连接交于,连接在三角形中，分别为和的中点所以 2分又平面，平面所以平面4分（2）因为矩形所在的平面与正方形所在的平面相互垂直平面平面=，所以又，所以6分又因为，是的中点，所以又，所以7分由，所以平面平面8分.考点：1.线面平行的证明；2.面面垂直的判定与性质.19. 已知椭圆左焦点为，直线与椭圆交于，两点（）求线段的长（）求的面积【答
13、案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）直线与椭圆组方程组，由弦长公式求得弦长。（2）由（1）中求得弦长及点到直线距离公式和面积公式求得三角形面积。【详解】（）由，得，解得，则线段的长（）点到直线的距离为，【点睛】(1)凡涉及圆锥曲线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时都要注意利用韦达定理，避免求交点坐标的复杂运算 (2)对于直线与圆锥曲线相交、相切、中点弦、焦点弦问题，以及定值、存在性问题的处理，最好是作出草图，由图象结合几何性质做出解答并注意“设而不求”“整体代入”“点差法”的灵活应用20. 已知椭圆的方程是（）若椭圆的焦点在轴上，试求实数的取值范围（）当时，过点的直线与椭圆相交于，两点，求的
14、取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由椭圆的焦点在轴上，所以，求得m范围。（2）由数量积的坐标运算，代入韦达定理可求得范围。【详解】（）若椭圆的焦点在轴上，则，解得，故实数的取值范围是（）当时，椭圆的方程是，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，将代入椭圆方程得，则，则，当直线的斜率存在时，设直线方程为，将代入椭圆方程，消去得，由于直线与椭圆相交于，两点，则，即，设，则：，又，综上所述，的取值范围是【点睛】本题是向量与解析几何交汇的题型，用数量积的坐标运算结合韦达定理整体代入，是处理本题的关键。韦达定理是用二次方程的系数运算来表示两个根的和与乘积，在解析几何中得到广泛使用的原因主要有两个：一是联立方程消元后的二次方程通常含有参数，进而导致直接利用求根公式计算出来的实根形式非常复杂，难以参与后面的运算；二是解析几何的一些问题或是步骤经常与两个根的和与差产生联系。进而在思路上就想利用韦达定理，绕开繁杂的求根结果，通过整体代入的方式得到答案。
