1、2016-2017学年北京市朝阳外国语学校高三（上）10月月考数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1已知全集U=R，集合A=x|x2或x3，B=x|x1或x4，那么集合（UA）B等于（）Ax|2x4Bx|2x3Cx|2x1Dx|2x1或3x42已知命题p：xR，x2lgx，命题q：xR，x20，则（）A命题pq是假命题B命题pq是真命题C命题p（q）是真命题D命题p（q）是假命题3在等差数列an中，首项a1=0，公差d0，若am=a1+a2+a9，则m的值为（）A37B36C20D194若点P在曲线y=x33x2+（3）x+上移动，经过点P的切线的倾斜角为，则角的取值
2、范围是（）A0，）B0，），）C，）D0，）（，5i是虚数单位，若复数z满足zi=1+i，则复数z的实部与虚部的和是（）A0B1C2D36已知m、n为两条不同的直线、为两个不同的平面，给出下列四个命题若m，n，则mn；若m，n，则mn；若m，m，则；若m，n，则mn其中真命题的序号是（）ABCD7已知函数f（x）满足：4f（x）f（y）=f（x+y）+f（xy）（x，yR）且，则fABCD8在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、若m、M分别为（+）（+）的最小值、最大值，其中i，j，k1，2，3，4，5，r，s，
3、t1，2，3，4，5，则m、M满足（）Am=0，M0Bm0，M0Cm0，M=0Dm0，M0二、填空题：（本大题共6小题；每小题5分，共30分.）9设mR，m2+m2+（m21）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m=10已知等差数列an的前n项和为Sn，若a3=4，S3=3，则公差d=11若cosxcosy+sinxsiny=，则cos（2x2y）=12已知函数若直线y=m与函数f（x）的图象只有一个交点，则实数m的取值范围是13如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，20，则输出的a=14已知A、B为函数y=f（x），xa，b
4、图象的两个端点，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=a+（1）b，0，1，又已知向量=+（1），若不等式|k恒成立，则称函数f（x）在a，b上“k阶线性近似”若函数f（x）=x在1，2上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为三、解答题：（本大题6小题，共80分.解答写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15已知数列an的前n项和Sn=n5an85，（）求an的通项公式；（） 令bn=log+log+log，求数列的前n项和Tn16已知函数（）求函数f（x）的单调递增区间；（）在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c已知，a=2，求ABC的面积17已知an是一个公差大于0的等差数
5、列，且满足a3a6=55，a2+a7=16（）求数列an的通项公式；（）等比数列bn满足：b1=a1，b2=a21，若数列cn=anbn，求数列cn的前n项和Sn18在ABC中，2cos2cosBsin（AB）sinB+cos（A+C）=（1）求cosA的值；（2）若a=4，b=5，求在方向上的投影19已知函数f（x）=x3bx+c（b，cR）（）若函数f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y=2x+1，求b，c的值；（）若b=1，函数f（x）在区间（0，2）内有唯一零点，求c的取值范围；（）若对任意的x1，x21，1，均有|f（x1）f（x2）|，求b的取值范围20对于一组向量，（nN*）
6、，令=+，如果存在（p1，2，3，n，使得|，那么称是该向量组的“h向量”（1）设=（n，x+n）（nN*），若是向量组，的“h向量”，求实数x的取值范围；（2）若=（）n1（1）n（nN*），向量组，是否存在“h向量”？给出你的结论并说明理由；（3）已知，均是向量组，的“h向量”，其中=（sinx，cosx），=（2cosx，2sinx）设在平面直角坐标系中有一点列Q1Q2，Q3，Qn满足：Q1为坐标原点，Q2为的位置向量的终点，且Q2k+1与Q2k关于点Q1对称，Q2k+2与Q2k+1（kN*）关于点Q2对称，求|的最小值2016-2017学年北京市朝阳外国语学校高三（上）10月月考数学试
7、卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1已知全集U=R，集合A=x|x2或x3，B=x|x1或x4，那么集合（UA）B等于（）Ax|2x4Bx|2x3Cx|2x1Dx|2x1或3x4【考点】交、并、补集的混合运算【分析】求出集合A的补集，从而求出其和B的交集即可【解答】解：集合A=x|x2或x3，UA=x|2x3，B=x|x1或x4，（UA）B=x|2x1，故选：C2已知命题p：xR，x2lgx，命题q：xR，x20，则（）A命题pq是假命题B命题pq是真命题C命题p（q）是真命题D命题p（q）是假命题【考点】全称命题；复合命题的真假【分析】先判断出命题p与
8、q的真假，再由复合命题真假性的判断法则，即可得到正确结论【解答】解：由于x=10时，x2=8，lgx=lg10=1，故命题p为真命题，令x=0，则x2=0，故命题q为假命题，依据复合命题真假性的判断法则，得到命题pq是真命题，命题pq是假命题，q是真命题，进而得到命题p（q）是真命题，命题p（q）是真命题故答案为C3在等差数列an中，首项a1=0，公差d0，若am=a1+a2+a9，则m的值为（）A37B36C20D19【考点】数列的求和；等差数列【分析】利用等差数列的通项公式可得am=0+（m1）d，利用等差数列前9项和的性质可得a1+a2+a9=9a5=36d，二式相等即可求得m的值【解答
9、】解：an为等差数列，首项a1=0，am=a1+a2+a9，0+（m1）d=9a5=36d，又公差d0，m=37，故选A4若点P在曲线y=x33x2+（3）x+上移动，经过点P的切线的倾斜角为，则角的取值范围是（）A0，）B0，），）C，）D0，）（，【考点】导数的几何意义；直线的倾斜角【分析】先求出函数的导数y的解析式，通过导数的解析式确定导数的取值范围，再根据函数的导数就是函数在此点的切线的斜率，来求出倾斜角的取值范围【解答】解：函数的导数y=3x26x+3=3（x1）2，tan，又 0，0 或 ，故选 B5i是虚数单位，若复数z满足zi=1+i，则复数z的实部与虚部的和是（）A0B1C2
10、D3【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的乘法求出复数z，然后求解结果即可【解答】解：复数z满足zi=1+i，可得z=1+i复数z的实部与虚部的和是：1+1=2故选：C6已知m、n为两条不同的直线、为两个不同的平面，给出下列四个命题若m，n，则mn；若m，n，则mn；若m，m，则；若m，n，则mn其中真命题的序号是（）ABCD【考点】平面的基本性质及推论【分析】m，n，则mn或m与n是异面直线；若m，则m垂直于中所有的直线，n，则n平行于中的一条直线l，故ml，mn；若m，m，则；m，n，则mn，或m，n相交，或m，n异面【解答】解：m，n，则mn或m与n是异面直线，
11、故不正确；若m，则m垂直于中所有的直线，n，则n平行于中的一条直线l，ml，故mn故正确；若m，m，则这是直线和平面垂直的一个性质定理，故成立；m，n，则mn，或m，n相交，或m，n异面故不正确，综上可知正确，故答案为：7已知函数f（x）满足：4f（x）f（y）=f（x+y）+f（xy）（x，yR）且，则fABCD【考点】抽象函数及其应用【分析】由，令y=1代入题中等式得f（x）=f（x+1）+f（x1），由此证出f（x+6）=f（x），可得函数f（x）是周期T=6的周期函数令y=0代入题中等式解出f（0）=，再令x=y=1代入解出f（2）=，同理得到f（4）=从而算出f=f（4）=【解答】解
12、：，令y=1，得4f（x）f（1）=f（x+1）+f（x1），即f（x）=f（x+1）+f（x1），即f（x+1）=f（x）f（x1）用x+1替换x，得f（x+2）=f（x+1）f（x），+得：f（x+2）=f（x1），再用x+1替换x，得f（x+3）=f（x）f（x+6）=f（x+3）+3=f（x+3）=f（x）=f（x），函数f（x）是周期T=6的周期函数因此，f=f（4）4f（x）f（y）=f（x+y）+f（xy）令y=0，得4f（x）f（0）=2f（x），可得f（0）=在4f（x）f（y）=f（x+y）+f（xy）中令x=y=1，得4f2（1）=f（2）+f（0），4=f（2）+，解之
13、得f（2）=同理在4f（x）f（y）=f（x+y）+f（xy）中令x=y=2，解得f（4）=f=故选：A8在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、若m、M分别为（+）（+）的最小值、最大值，其中i，j，k1，2，3，4，5，r，s，t1，2，3，4，5，则m、M满足（）Am=0，M0Bm0，M0Cm0，M=0Dm0，M0【考点】平面向量数量积的运算；进行简单的合情推理【分析】利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，从而可结论【解答】解：由题意，以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、；以D为起点，其
14、余顶点为终点的向量分别为、，利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，m、M分别为（+）（+）的最小值、最大值，m0，M0故选D二、填空题：（本大题共6小题；每小题5分，共30分.）9设mR，m2+m2+（m21）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m=2【考点】复数的基本概念【分析】根据纯虚数的定义可得m21=0，m210，由此解得实数m的值【解答】解：复数z=（m2+m2）+（m1）i为纯虚数，m2+m2=0，m210，解得m=2，故答案为：210已知等差数列an的前n项和为Sn，若a3=4，S3=3，则公差d=3【考点】等差数列的前n项和【分析】由等差数列的性质可得S3=3a2
15、=3，解得a2的值，由公差的定义可得【解答】解：由等差数列的性质可得S3=3，解得a2=1，故公差d=a3a2=41=3故答案为：311若cosxcosy+sinxsiny=，则cos（2x2y）=【考点】两角和与差的余弦函数；二倍角的余弦【分析】已知等式左边利用两角和与差的余弦函数公式化简，求出cos（xy）的值，所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简后，将cos（xy）的值代入计算即可求出值【解答】解：cosxcosy+sinxsiny=cos（xy）=，cos（2x2y）=cos2（xy）=2cos2（xy）1=故答案为：12已知函数若直线y=m与函数f（x）的图象只有一个交点，则实数m的
16、取值范围是m2或m=0【考点】分段函数的应用【分析】作出函数f（x）的图象，判断函数的单调性和取值范围，利用数形结合进行判断即可【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，则当x1时，f（x）（0，2），当x1时，f（x）0，则若直线y=m与函数f（x）的图象只有一个交点，则m2或m=0，故答案为：m2或m=013如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，20，则输出的a=2【考点】程序框图【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解
17、答】解：当a=14，b=20时，满足ab，但不满足ab，执行b=ba后，a=14，b=6，当a=14，b=6时，满足ab，且满足ab，执行a=ab后，a=8，b=6，当a=8，b=6时，满足ab，且满足ab，执行a=ab后，a=2，b=6，当a=2，b=6时，满足ab，但不满足ab，执行b=ba后，a=2，b=4，当a=2，b=4时，满足ab，但不满足ab，执行b=ba后，a=2，b=2，当a=2，b=2时，不满足ab，故输出的a值为2，故答案为：214已知A、B为函数y=f（x），xa，b图象的两个端点，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=a+（1）b，0，1，又已知向量=+（1）
18、，若不等式|k恒成立，则称函数f（x）在a，b上“k阶线性近似”若函数f（x）=x在1，2上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为【考点】平面向量的综合题【分析】先得出M、N横坐标相等，再将恒成立问题转化为求函数的最值问题【解答】解：由题意，M、N横坐标相等，恒成立，即，由N在AB线段上，得A（1，0），B（2，），直线AB方程为y=（x1）=y1y2=（x1）=（+）（当且仅当x=时，取等号）x1，2，x=时，故答案为：三、解答题：（本大题6小题，共80分.解答写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15已知数列an的前n项和Sn=n5an85，（）求an的通项公式；（） 令bn=log+log
19、+log，求数列的前n项和Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（I）利用Sn=n5an85，Sn+1=（n+1）5an+185，两式相减得an+1=15an+1+5an，化为，再利用等比数列的通项公式即可得出（2）利用对数的运算可得=n，利用等差数列的前n项和公式即可得出bn，再利用“裂项求和”即可得出Tn【解答】解：（） 当n=1时，a1=S1=15a185，解得a1=14Sn=n5an85，Sn+1=（n+1）5an+185，两式相减得an+1=15an+1+5an，即，从而an1为等比数列，首项a11=15，公比为，即an的通项公式为（） 由（）知，=n，bn=1+2+3+n=，T
20、n=16已知函数（）求函数f（x）的单调递增区间；（）在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c已知，a=2，求ABC的面积【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；正弦定理【分析】（）利用两角和差的正弦公化简函数的解析式为sin（2x+），令 2k2x+2k+，kz，求得x的范围，即可求得f（x）的单调递增区间（）由已知，可得 sin（2A+）=，求得A=，再利用正弦定理求得b的值，由三角形内角和公式求得C的值，再由 S=absinC，运算求得结果【解答】解：（） =sin2xcos+cos2xsin+cos2x =sin2x+cos2x=（sin2x+cos2x）=sin（2x
21、+）令 2k2x+2k+，kz，求得 kxk+，函数f（x）的单调递增区间为k，k+，kz（）由已知，可得 sin（2A+）=，因为A为ABC内角，由题意知0A，所以2A+，因此，2A+=，解得A=由正弦定理，得b=，由A=，由B=，可得 sinC=，S=absinC=17已知an是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16（）求数列an的通项公式；（）等比数列bn满足：b1=a1，b2=a21，若数列cn=anbn，求数列cn的前n项和Sn【考点】数列的求和；等差数列的通项公式【分析】（）设等差数列an的公差为d，d0，利用等差数列的通项表示已知，求解出d，a1，结合等
22、差数列的通项即可求解（）由b1=1，b2=2可求，结合数列的特点，考虑利用错位相减求解数列的和【解答】解：（）设等差数列an的公差为d，则依题设d0 由a2+a7=16得2a1+7d=16 由a3a6=55得（a1+2d）（a1+5d）=55 由得2a1=167d将其代入得（163d）（16+3d）=220即2569d2=220d2=4，又d0d=2，代入得a1=1，an=1+（n1）2=2n1（）b1=1，b2=2，两式相减可得：=1+2（2n1）2n=2n+13（2n1）2n18在ABC中，2cos2cosBsin（AB）sinB+cos（A+C）=（1）求cosA的值；（2）若a=4，b
23、=5，求在方向上的投影【考点】两角和与差的余弦函数；向量数乘的运算及其几何意义；二倍角的正弦；二倍角的余弦；余弦定理【分析】（）由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数，求出A的余弦值，然后求sinA的值；（）利用，b=5，结合正弦定理，求出B的正弦函数，求出B的值，利用余弦定理求出c的大小【解答】解：（）由可得，可得，即，即，（）由正弦定理，所以=，由题意可知ab，即AB，所以B=，由余弦定理可知解得c=1，c=7（舍去）向量在方向上的投影： =ccosB=19已知函数f（x）=x3bx+c（b，cR）（）若函数f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y=2x+1，求b，c的值；（）
24、若b=1，函数f（x）在区间（0，2）内有唯一零点，求c的取值范围；（）若对任意的x1，x21，1，均有|f（x1）f（x2）|，求b的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（）先求导函数f（x），根据f（1）=2可求出b的值，再根据切点既在切线上又在函数图象上可求出c的值；（）先利用导数研究函数的单调性，从而得到f（x）在区间（0，2）内有唯一零点等价于f（1）=0或，解之即可求出c的取值范围；（）若对任意的x1，x21，1，均有|f（x1）f（x2）|等价于f（x）在1，1上的最大值与最小值之差M，讨论b的取值范围，求出f（
25、x）在1，1上的最大值与最小值之差M，建立关系式，解之即可【解答】解：（）f（x）=x3bx+c，f（x）=x2b，f（1）=1b=2，解得b=1，又f（1）=2+1=3，b+c=3，解得c=；（）b=1，f（x）=x3x+c，则f（x）=x21，当x（0，1）时，f（x）0，当x（1，2）时，f（x）0，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增，又f（0）=cf（2）=+c，可知f（x）在区间（0，2）内有唯一零点等价于f（1）=0或，解得c=或c0；（） 若对任意的x1，x21，1，均有|f（x1）f（x2）|等价于f（x）在1，1上的最大值与最小值之差M，（） 当b0时，在
26、1，1上f（x）0，f（x）在1，1上单调递增，由M=f（1）f（1）=2b，得b，所以b0，（）当b0时，由f（x）=0得x=，由f（x）=f（）得x=2或x=，f（2）=f（），同理f（2）=f（），当1，即b1时，M=f（1）f（1）=2b，与题设矛盾，当12，即b1时，M=f（2）f（）=+2b=恒成立，当21，即0b时，M=f（1）f（1）=2b恒成立，综上所述，b的取值范围为，120对于一组向量，（nN*），令=+，如果存在（p1，2，3，n，使得|，那么称是该向量组的“h向量”（1）设=（n，x+n）（nN*），若是向量组，的“h向量”，求实数x的取值范围；（2）若=（）n1（1
27、）n（nN*），向量组，是否存在“h向量”？给出你的结论并说明理由；（3）已知，均是向量组，的“h向量”，其中=（sinx，cosx），=（2cosx，2sinx）设在平面直角坐标系中有一点列Q1Q2，Q3，Qn满足：Q1为坐标原点，Q2为的位置向量的终点，且Q2k+1与Q2k关于点Q1对称，Q2k+2与Q2k+1（kN*）关于点Q2对称，求|的最小值【考点】函数的最值及其几何意义【分析】（1）由“h向量”的定义可知：丨丨丨+丨，可得，即可求得实数x的取值范围；（2）由=（1，1），丨丨=，当n为奇数时， +=（，0）=（）n1，0），丨+丨=，同理当n为偶数时， +=（）n1，1），即可求得
28、丨丨丨+丨，因此是向量组，的“h向量”；（3）由题意可得：丨丨2丨丨2+丨丨2+2丨丨丨丨，丨丨2丨丨2+丨丨2+2丨丨丨丨，丨丨2丨丨2+丨丨2+2丨丨丨丨，以上各式相加，整理可得：丨丨+丨丨+丨丨=0，设=（u，v），由丨丨+丨丨+丨丨=0，得：，根据向量相等可知：（x2k+2，y2k+2）=2k（x2，y2）（x1，y1）+（x2，y2），（x2k+1，y2k+1）=2k（x2，y2）（x1，y1）+（x2，y2），可知：Q2k+1Q2k+2=（x2k+2x2k+1，y2k+2y2k+1）=4k（x2，y2）（x1，y1）=4kQ1Q2，由向量的模长公式即可求得丨Q1Q2丨最小值，即可求
29、得|的最小值【解答】解：（1）由题意，得：丨丨丨+丨，则.2解得：2x0； .4（2）是向量组，的“h向量”，证明如下：=（1，1），丨丨=，当n为奇数时， +=（，0）=（）n1，0），.60（）n1，故丨+丨=，8即丨丨丨+丨当n为偶数时， +=（）n1，1），故丨+丨=，即丨丨丨+丨综合得：是向量组，的“h向量”，证明如下：”.10（3）由题意，得丨丨丨+丨，丨丨2丨+丨2，即（丨丨）2（丨+丨）2，即丨丨2丨丨2+丨丨2+2丨丨丨丨，同理丨丨2丨丨2+丨丨2+2丨丨丨丨，丨丨2丨丨2+丨丨2+2丨丨丨丨，三式相加并化简，得：0丨丨2+丨丨2+丨丨2+2丨丨丨丨+2丨丨丨丨+2丨丨丨丨，
30、即（丨丨+丨丨+丨丨）20，丨丨丨+丨丨+丨丨丨0，丨丨+丨丨+丨丨=0，.13设=（u，v），由丨丨+丨丨+丨丨=0，得：，设Qn（xn，yn），则依题意得：，得（x2k+2，y2k+2）=2k（x2，y2）（x1，y1）+（x2k，y2k），故（x2k+2，y2k+2）=2k（x2，y2）（x1，y1）+（x2，y2），（x2k+1，y2k+1）=2k（x2，y2）（x1，y1）+（x2，y2），Q2k+1Q2k+2=（x2k+2x2k+1，y2k+2y2k+1）=4k（x2，y2）（x1，y1）=4kQ1Q2，16丨Q1Q2丨2=丨丨2=（sinx2cosx）2+（cosx2sinx）2=5+8sinxcosx=5+4sin2x1，当且仅当x=k，（kZ）时等号成立，故|的最小值40242017年1月2日
