1、4 平面向量的坐标4.1平面向量的坐标表示4.2平面向量线性运算的坐标表示5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c等于( )A. B.C. D.解析：根据平面内任一向量可用该平面内一组基底唯一线性表示，可用待定系数法.答案：B2.已知平行四边形ABCD的一个顶点坐标为A（-2，1），一组对边AB、CD的中点分别为M（3，0）、N（-1，-2），求平行四边形的各个顶点坐标.解：设其余三个顶点的坐标为B（x1，y1），C（x2，y2），D（x3，y3）.因为M是AB的中点，所以3=，0=.解得x1=8，y1=-1.设MN的中点为O（x0
2、，y0），则x0=1，y0=-1，而O既是AC的中点，又是BD的中点，所以x0=，y0=，即1=.解得x2=4，y2=-3.同理解得x3=-6，y3=-1.所以B（8，-1），C（4，-3），D（-6，-1）.3.已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5）及=+t.求：（1）t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限?（2）四边形OABP能否构成平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.解：（1）=+t=（1+3t，2+3t），若P在x轴上，只需2+3t=0，所以t=-23；若P在y轴上，只需1+3t=0，所以t=；若P在第二象限，只需所以.（2）因为=（1，2），=（3
3、-3t，3-3t），若OABP为平行四边形，则=.由于无解，故四边形OABP不能构成平行四边形.10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知点A（，1），B（0，0），C（，0）.设BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有=,其中等于( )A.2 B. C.-3 D.解析：AE为BAC的平分线，.=-2.=-=-2-=-3.答案：C2.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-1,3)，若点C满足=+，其中，、R，且+=1,则点C的轨迹方程为_.解析：将点C所满足的向量式条件转化为直角坐标的方程式即为点C的轨迹方程.答案：x+2y-5=03.（1）已知e1=（1，2），e2
4、=（-2，3），a=（-1，2），试以e1、e2为基底，将a分解为1e1+2e2的形式.（2）已知点A（-1，2）、B（2，8）及，求C、D和的坐标.（3）ABC的重心在原点，A（1，4），B（-3，-3），求C点的坐标.解：（1）由所以a=e1+e2.（2）因为=（1，2），所以C（0，4），=（1，2）.所以D（-2，0），=（-2，-4）.（3）设C点坐标为（x，y），则由所以C点坐标为（2，-1）.4.用坐标法证明+=0.证明：设A（a1，a2），B（b1，b2），C（c1，c2），则=（b1-a1，b2-a2），=（c1-b1，c2-b2），=（a1-c1，a2-c2）.+=（b1-
5、a1，b2-a2）+（c1-b1，c2-b2）+（a1-c1，a2-c2）=（b1-a1+c1-b1+a1-c1，b2-a2+c2-b2+a2-c2）=（0，0）=0.+=0.5.如图2-4-1，已知平面上三点A、B、C的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求点D的坐标，使得这四点能构成平行四边形的四个顶点.图2-4-1解：（1）当平行四边形为ABCD时，因为=，所以（4，1）=（x+2，y-1）.所以x=2，y=2，即D（2，2）.（2）当平行四边形为ACDB时，因为=，所以（-1，-2）=（3-x，4-y）.所以x=4，y=6，即D（4，6）.（3）当平行四边形为DACB时，
6、因为=，所以（-2-x，1-y）=（4，1）.所以x=-6，y=0，即D（-6，0）.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.若向量a=（x+3，x2-3x-4）与相等，已知A（1，2）和B（3，2），则x的值为( )A.-1 B.-1或4 C.4 D.1或-4解析：因为已知A（1，2）和B（3，2），所以向量可以求，然后根据向量相等的定义就可以得出x的值.答案：A2.已知M（3，-2）、N（-5，-1），且=，则点P的坐标为( )A.（-8，1） B.（1，） C.（-1，） D.（8，-1）解析：根据=可以得到2=，再根据向量的坐标运算就可以得出点P的坐标.答案：C3.在ABC中，已知A
7、（2，3）、B（8，-4），G（2，-1）是中线AD上的一点，且|=2|，则点C的坐标为( )A.（-4，2） B.（-4，-2） C.（4，-2） D.（4，2）解析：设C点坐标为（x，y），由于G是ABC的重心，则2=，x=-4.-1=，y=-2.答案：B4.已知A（-2，4）、B（3，-1）、C（-3，-4）且=3，=2，试求点M、N和的坐标.解：A（-2，4），B（3，-1），C（-3，-4），=（-2+3，4+4）=（1，8），=（3+3，-1+4）=（6，3）.于是=3=3（1，8）=（3，24），=2=2（6，3）=（12，6）.设M（x，y），则有=（x+3，y+4），即M点的
8、坐标为（0，20），同理可求得N（9，2）.因此=（9-0，2-20）=（9，-18）.故所求的点M、N的坐标分别为（0，20）、（9，2），的坐标为（9，-18）.5.如图2-4-2所示，已知ABC中，A（7，8）、B（3，5）、C（4，3），M、N是AB、AC的中点，D是BC的中点，NM与AD交于F，求.图2-4-2解：A（7，8）、B（3，5）、C（4，3），=（3-7，5-8）=（-4，-3），=（4-7，3-8）=（-3，-5）.又D是的中点，=（+）=（，-4）.又M、N分别为AB、AC的中点，F为AD的中点.=（，2）.6.已知点A（2，3）、B（5，4）、C（7，10），若=+
9、（R），试求为何值时，点P在第一、三象限的角平分线上？点P在第三象限内？解：设点P的坐标为（x，y），则=（x，y）-（2，3）=（x-2，y-3），+=（5，4）-（2，3）+（7，10）-（2，3）=（3，1）+（5，7）=（3，1）+（5，7）=（3+5，1+7）.=+，（x-2，y-3）=（3+5，1+7）.P点的坐标为（5+5，4+7）.（1）若点P在一、三象限的角平分线上，则5+5=4+7，=.（2）若点P在第三象限内，则-1，即只要-1，点P就在第三象限内.7.已知向量u=（x，y）与向量v=（y，2y-x）的对应关系可用v=f（u）表示.（1）证明对于任意向量a、b及常数m、n
10、，恒有f（ma+nb）=mf（a）+nf（b）成立；（2）设a=（1，1），b=（1，0），求向量f（a）及f（b）的坐标；（3）求使f（c）=（3，5）成立的向量c.（1）证明：设向量a=（x1，y1），b=（x2，y2）.则f（mx1+nx2，my1+ny2）=（my1+ny2，2my1+2ny2-mx1-nx2），又mf（a）=（my1， 2my1-mx1），nf（b）=（ny2，2ny2-nx2），所以mf（a）+nf（b）=（my1+ny2，2my1+2ny2-mx1-nx2）.所以f（ma+nb）=mf（a）+nf（b）.（2）解：f（a）=（1，1），f（b）=（0，-1）.（3
11、）解：由所以c=（1，3）.8.设G为四边形ABCD对角线中点连线的中点，O为平面内任意一点，证明=(+).证明：如图，任意四边形ABCD的对角线AC的中点为E，BD中点为F，则=（+），=（+）.又G为EF的中点，则=（+），即=（+）+（+）=（+）.9.已知A(1,-2),B(2,1)，C(3,2)和D(-2,3),以、为一组基底来表示.解：AB=（1，3），AC=（2，4），AD=（-3，5），BD=(-4,2),CD=(-5,1),AD+BD+CD=(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)=(-12,8).根据平面向量基本定理,一定存在实数m、n使得+=m+n，（-12，8）=m（1，3）+n（2，4）也就是(-12,8)=(m+2n,3m+4n),可得+=32-22.
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