1、高考资源网（） 您身边的高考专家2.4.2抛物线的几何性质课时目标1.了解抛物线的几何图形，知道抛物线的简单几何性质，学会利用抛物线方程研究抛物线的几何性质的方法.2.了解抛物线的简单应用1抛物线的简单几何性质设抛物线的标准方程为y22px(p0)(1)范围：抛物线上的点(x，y)的横坐标x的取值范围是_，抛物线在y轴的_侧，当x的值增大时，|y|也_，抛物线向右上方和右下方无限延伸(2)对称性：抛物线关于_对称，抛物线的对称轴叫做_(3)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的_抛物线的顶点为_(4)离心率：抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的比，叫做抛物线的_，用e表示，其值为_(5)抛
2、物线的焦点到其准线的距离为_，这就是p的几何意义，顶点到准线的距离为，焦点到顶点的距离为_2抛物线的焦点弦设抛物线y22px(p0)，AB为过焦点的一条弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，则有以下结论(1)以AB为直径的圆与准线_(2)|AB|_(焦点弦长与中点坐标的关系)(3)|AB|x1x2_.(4)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1x2_，y1y2_.一、选择题1顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点(2,3)，它的方程是()Ax2y或y2xBy2x或x2yCy2xDx2y2若抛物线y22px (p0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这
3、三个点到抛物线焦点F的距离的关系是()A成等差数列B既成等差数列又成等比数列C成等比数列D既不成等比数列也不成等差数列3已知点Q(4,0)，P为抛物线y2x1上任意一点，则|PQ|的最小值为()A. B. C. D.4.设F为抛物线y24x的焦点，A、B、C为该抛物线上的三点，若0，则|等于()A9 B6 C4 D35设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F，且和y轴交于点A，若OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()Ay24x By28xCy24x Dy28x6过抛物线y2ax (a0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若PF与FQ的长分别为p、q，则等于()A2a
4、 B. C4a D.二、填空题7焦点在y轴上，且过点A(1，4)的抛物线的标准方程是_8定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y22x上移动，M为AB的中点，则M点到y轴的最短距离为_9过抛物线x22py (p0)的焦点F作倾斜角为30的直线，与抛物线分别交于A、B两点(点A在y轴的左侧)，则_.三、解答题10设抛物线ymx2 (m0)的准线与直线y1的距离为3，求抛物线的标准方程11抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程能力提升12.已知直线l经过抛物线y24x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点(1)若|AF|4，求点A的
5、坐标；(2)求线段AB的长的最小值1利用抛物线的定义，可以将抛物线上一点与焦点的距离转化为该点到准线的距离2充分考虑抛物线的形状，研究不同形式的抛物线的几何性质2.4.2抛物线的几何性质知识梳理1(1)x0右增大(2)x轴抛物线的轴(3)顶点坐标原点(4)离心率1(5)p2(1)相切(2)2(x0)(3)p(4)p2作业设计1B由题意知所求抛物线开口向上或开口向左，利用待定系数法可求得方程2A设三点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，则y2px1，y2px2，y2px3，因为2yyy，所以x1x32x2，即|P1F|P3F|2，所以|P1F|P3F|2|P2F|.3C
6、设点P(x，y)y2x1，x1.|PQ| .当x时，|PQ|min.4B设A、B、C三点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，F(1,0)，0，x1x2x33.又由抛物线定义知|x11x21x316.5By2ax的焦点坐标为，过焦点且斜率为2的直线方程为y2，令x0得y.4，a264，a8.6D可采用特殊值法，设PQ过焦点F且垂直于x轴，则|PF|pxP，|QF|q，.7x2y解析设抛物线的标准方程为x2my (m0)，将A(1，4)代入得m，故抛物线的标准方程为x2y.81解析如图所示，抛物线y22x的准线为l：x，过A、B、M分别作AA、BB、MM垂直于l，垂足分别为
7、A、B、M.由抛物线定义知|AA|FA|，|BB|FB|.又M为AB中点，由梯形中位线定理得|MM|(|AA|BB|)(|FA|FB|)|AB|3，则M到y轴的距离d1 (当且仅当AB过抛物线的焦点时取“”)，所以dmin1，即M点到y轴的最短距离为1.9.解析抛物线x22py (p0)的焦点为F，则直线AB的方程为yx，由消去x，得12y220py3p20，解得y1，y2.由题意可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义，可知.10解由ymx2 (m0)可化为x2y，其准线方程为y.由题意知2或4，解得m或m.则所求抛物线的标准方程为x28y或x216y.11解如图所示，依题意设
8、抛物线方程为y22px (p0)，则直线方程为yxp.设直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)，则由抛物线定义得|AB|AF|FB|AC|BD|x1x2，即x1x28.又A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线和直线的交点，由消去y得x23px0，所以x1x23p.将其代入得p2，所以所求抛物线方程为y24x.当抛物线方程设为y22px时，同理可求得抛物线方程为y24x.综上，所求抛物线方程为y24x或y24x.12解由y24x，得p2，其准线方程为x1，焦点F(1,0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)分别过A、B作准线的垂线，垂足为A、B.(1)由抛物线的定义可知，|AF|x1，从而x1413.代入y24x，解得y12.点A的坐标为(3,2)或(3，2)(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)与抛物线方程联立，消去y，整理得k2x2(2k24)xk20，因为直线与抛物线相交于A、B两点，则k0，并设其两根为x1，x2，则x1x22.由抛物线的定义可知，|AB|x1x2p44.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1，2)，此时|AB|4，所以，|AB|4，即线段AB的长的最小值为4.- 6 - 版权所有高考资源网
