1、2015-2016学年天津一中高三（上）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设集合P=3，log2a，Q=a，b，若PQ=0，则PQ=（）A3，0B3，0，1C3，0，2D3，0，1，22下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（）Ay=x3By=ln（x）Cy=xexDy=x+3已知命题p：x（，0），3x4x；命题，则下列命题中真命题是（）ApqBp（q）Cp（q）D（p）q4若a=20.5，b=log23，c=log2，则有（）AabcBbacCcabDbca5将函数y=sin（2x+）的图象经过怎
2、样的平移后所得图象关于点（，0）中心对称（）A向右平移B向右平移C向左平移D向左平移6已知，是夹角为60的两个单位向量，若=+， =4+2，则与的夹角为（）A30B60C120D1507已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=f（+x），且当0x时，f（x）=log2（3x+1），则f（2015）等于（）A1B2C1D28定义在R上的奇函数f（x）和定义在x|x0上的偶函数g（x）分别满足f（x）=，g（x）=log2x（x0），若存在实数a，使得f（a）=g（b）成立，则实数b的取值范围是（）A2，2B，0）（0，C2，2D（，22，+）二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分
3、把答案填在题中横线上）9设复数=x+yi，其中x，yR，则x+y=10某程序框图如图所示，该程序运行后输出的n的值是11函数f（x）=log2log（2x）的最小值为12已知函数f（x）=sinx+cosx（0），xR，若函数f（x）在区间（，）内单调递增，且函数y=f（x）的图象关于直线x=对称，则的值为13如图，BC是单位圆A的一条直径，F是线段AB上的点，且，若DE是圆A中绕圆心A运动的一条直径，则的值是14已知函数f（x）=函数g（x）=3f（2x），则函数y=f（x）g（x）的零点个数为个三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15已知两个不共线
4、的向量，它们的夹角为，且，x为正实数（1）若与垂直，求tan；（2）若，求的最小值及对应的x的值，并判断此时向量与是否垂直？16在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（）求cosA的值；（）的值17如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC=60，PA=AB=BC，E是PC的中点（）证明：CDAE；（）证明：PD平面ABE；（）求二面角APDC的正切值18设函数f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x（0）的最小正周期为（）求的值； （）求f（x）在区间上的值域；（）若函数y=g（x）的图象是由y=f（x）的图象向右平移个单位长度得到，求y
5、=g（x）的单调增区间19已知函数f（x）=x4+ax3+2x2+b（xR），其中a，bR（）当时，讨论函数f（x）的单调性；（）若函数f（x）仅在x=0处有极值，求a的取值范围；（）若对于任意的a2，2，不等式f（x）1在1，1上恒成立，求b的取值范围20已知函数f（x）=ax2ex（aR）（）当a=1时，令h（x）=f（x），求h（x）的单调区间；（）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1x2）（）求实数a的取值范围；（）证明：f（x1）1（注：e是自然对数的底数）2015-2016学年天津一中高三（上）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，
6、共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设集合P=3，log2a，Q=a，b，若PQ=0，则PQ=（）A3，0B3，0，1C3，0，2D3，0，1，2【考点】并集及其运算【专题】计算题【分析】根据集合P=3，log2a，Q=a，b，若PQ=0，则log2a=0，b=0，从而求得PQ【解答】解：PQ=0，log2a=0a=1从而b=0，PQ=3，0，1，故选B【点评】此题是个基础题考查集合的交集和并集及其运算，注意集合元素的互异性，以及对数恒等式和真数是正数等基础知识的应用2下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（）Ay=x3By=ln（x）Cy=xexDy=x+【考点】利用
7、导数研究函数的极值；函数奇偶性的性质【专题】计算题；导数的概念及应用【分析】根据奇函数、存在极值的条件，即可得出结论【解答】解：由题可知，B、C选项不是奇函数，A选项y=x3单调递增（无极值），而D选项既为奇函数又存在极值故选：D【点评】本题考查函数奇偶性的概念，同时也对函数单调性与函数极值做出考查3已知命题p：x（，0），3x4x；命题，则下列命题中真命题是（）ApqBp（q）Cp（q）D（p）q【考点】复合命题的真假【专题】简易逻辑【分析】本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断【解答】解：命题p：x（，0），3x4x，对于
8、x（，0），3x4x命题P是假命题又命题q：tanxx，x（0，）命题q是真命题根据复合命题真假判定，（p）q是真命题，故D正确pq，p（q）、p（q）是假命题，故A、B、C错误故选D【点评】本题考查的知识点是复合命题的真假判定，属于基础题目4若a=20.5，b=log23，c=log2，则有（）AabcBbacCcabDbca【考点】对数值大小的比较【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】化简a=20.5=，c=log2=，判断log23log22=，从而得出bac【解答】解：a=20.5=，c=log2=，b=log23log22=1，且b=log23log22=a，故bac，故选B【点评
9、】本题考查了对数、指数的运算及对数值的取值范围，属于基础题5将函数y=sin（2x+）的图象经过怎样的平移后所得图象关于点（，0）中心对称（）A向右平移B向右平移C向左平移D向左平移【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换；正弦函数的对称性【专题】计算题【分析】设出将函数y=sin（2x+）的图象平移个单位得到关系式，然后将x=代入使其等于0，再由正弦函数的性质可得到的所有值，再对选项进行验证即可【解答】解：假设将函数y=sin（2x+）的图象平移个单位得到y=sin（2x+2+）关于点（，0）中心对称将x=代入得到sin（+2+）=sin（+2）=0+2=k，=+，当k=0时，=，向右平移
10、，故选B【点评】本题主要考查正弦函数的平移变换和基本性质对称性，考查计算能力，常考题型之一6已知，是夹角为60的两个单位向量，若=+， =4+2，则与的夹角为（）A30B60C120D150【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】分别计算，|，|，再代入公式计算cos=，根据cos推算【解答】解：由题意，=3，=3，=12，设和的夹角为，则cos=，=120故选：C【点评】在向量模的计算中， =是经常用到的公式7已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=f（+x），且当0x时，f（x）=log2（3x+1），则f（2015）等于（）A1B2C1D2【考点】对数的运算性质；函
11、数奇偶性的性质【专题】函数的性质及应用【分析】由已知的等式结合函数为奇函数求得函数的周期，把f（2015）转化为含有f（1）的代数式得答案【解答】解：f（x）为奇函数，又f（x）=f（+x），得f（+x）=f（x），f（3+x）=f（+x）=f（x），即函数f（x）的周期为3，f（2015）=f（36721）=f（1）又当0x时，f（x）=log2（3x+1），f（2015）=f（1）=f（1）=log2（31+1）=log24=2故选：B【点评】本题考查了函数奇偶性的性质，考查了函数周期的求法，是基础题8定义在R上的奇函数f（x）和定义在x|x0上的偶函数g（x）分别满足f（x）=，g（x）
12、=log2x（x0），若存在实数a，使得f（a）=g（b）成立，则实数b的取值范围是（）A2，2B，0）（0，C2，2D（，22，+）【考点】奇偶性与单调性的综合【专题】函数的性质及应用【分析】根据函数的奇偶性作出函数f（x）和g（x）的图象，利用数形结合即可得到结论【解答】解：分别作出函数f（x）和g（x）的图象如图，若若存在实数a，使得f（a）=g（b）成立，则b一定在函数g（x）使两个函数的函数值重合的区间内，函数f（x）的最大值为1，最小值为1，由log2x=1，解得x=2，由log2（x）=1，解得x=2，故b的取值范围是2，2，故选：C【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用函数
13、的奇偶性结合数形结合是解决本题的关键二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在题中横线上）9设复数=x+yi，其中x，yR，则x+y=【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】数系的扩充和复数【分析】由复数代数形式的除法运算化简等式左边，然后利用复数相等的条件求得x，y的值，则x+y可求【解答】解：，又=x+yi，则x+y=故答案为：【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数相等的条件，是基础的计算题10某程序框图如图所示，该程序运行后输出的n的值是4【考点】循环结构【专题】计算题【分析】由已知中的程序框图可知，该程序的功能是利用循环计算并输出变量n的值，模拟程序的运行
14、过程，并分析在程序循环过程中，各变量的值，即可得到答案【解答】解：当T=1时，S=10，T=3，n=2；当T=3时，S=13，T=9，n=3；当T=9时，S=22，T=27，n=4；当T=27时，ST，不满足要求，退出循环故输出n值为4故答案为4【点评】本题考查的知识点是循环结构，在写程序运行结果时，如果程序的循环次数不多时，我们可采用模拟程序运行过程的方法，模拟过程中，对变量值的分析和管理，是解答本题的关键11函数f（x）=log2log（2x）的最小值为【考点】对数函数图象与性质的综合应用；换底公式的应用【专题】函数的性质及应用【分析】利用对数的运算性质可得f（x）=，即可求得f（x）最小
15、值【解答】解：f（x）=log2log（2x）f（x）=log（）log（2x）=logxlog（2x）=logx（logx+log2）=logx（logx+2）=，当logx+1=0即x=时，函数f（x）的最小值是故答案为：【点评】本题考查对数不等式的解法，考查等价转化思想与方程思想的综合应用，考查二次函数的配方法，属于中档题12已知函数f（x）=sinx+cosx（0），xR，若函数f（x）在区间（，）内单调递增，且函数y=f（x）的图象关于直线x=对称，则的值为【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【专题】开放型；三角函数的图像与性质【分析】由两角和的正弦函数公式化简解析式
16、可得f（x）=sin（x+），由2kx+2k+，kZ可解得函数f（x）的单调递增区间，结合已知可得：，kZ，从而解得k=0，又由x+=k+，可解得函数f（x）的对称轴为：x=，kZ，结合已知可得：2=，从而可求的值【解答】解：f（x）=sinx+cosx=sin（x+），函数f（x）在区间（，）内单调递增，02kx+2k+，kZ可解得函数f（x）的单调递增区间为：，kZ，可得：，kZ，解得：02且022k，kZ，解得： ，kZ，可解得：k=0，又由x+=k+，可解得函数f（x）的对称轴为：x=，kZ，由函数y=f（x）的图象关于直线x=对称，可得：2=，可解得：=故答案为：【点评】本题主要考查
17、了由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，正确确定k的值是解题的关键，属于中档题13如图，BC是单位圆A的一条直径，F是线段AB上的点，且，若DE是圆A中绕圆心A运动的一条直径，则的值是【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】利用，及数量积运算性质=即可得出【解答】解： =故答案为：【点评】本题考查了向量的三角形法则、数量积运算性质，属于基础题14已知函数f（x）=函数g（x）=3f（2x），则函数y=f（x）g（x）的零点个数为2个【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】分类讨论；转化思想；数形结合法；函数的性质及应用【分析】求出函数y=f
18、（x）g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可【解答】解：g（x）=3f（2x），y=f（x）g（x）=f（x）3+f（2x），由f（x）3+f（2x）=0，得f（x）+f（2x）=3设h（x）=f（x）+f（2x），若x0，则x0，2x2，则h（x）=f（x）+f（2x）=2+x+x2 ；若0x2，则2x0，02x2，则h（x）=f（x）+f（2x）=2x+2|2x|=2x+22+x=2；若x2，x0，2x0，则h（x）=f（x）+f（2x）=（x2）2+2|2x|=x25x+8即h（x）=，作出函数h（x）的图象如图：当y=
19、3时，两个函数有2个交点，故函数y=f（x）g（x）的零点个数为2个，故答案为：2【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15已知两个不共线的向量，它们的夹角为，且，x为正实数（1）若与垂直，求tan；（2）若，求的最小值及对应的x的值，并判断此时向量与是否垂直？【考点】平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系【专题】平面向量及应用【分析】（1）利用数量积运算、同角三角函数的基本关系式即可得出；（2）利用数量积的性质和二次函数的单调性即可
20、得出【解答】解：（1）与垂直， =0，=0，32231cos812=0，又（0，），=，=（2），故当时，取得最小值为，此时，故向量与垂直【点评】熟练掌握数量积运算、同角三角函数的基本关系式、数量积的性质和二次函数的单调性是解题的关键16在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（）求cosA的值；（）的值【考点】余弦定理；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的余弦函数；二倍角的余弦【专题】解三角形【分析】（I）利用三角形中的等边对等角得到三角形三边的关系；利用三角形的余弦定理求出角A的余弦（II）利用三角函数的平方关系求出角A的正弦，利用二倍角公式求出角2A的正弦，余弦；利用两
21、个角的和的余弦公式求出的值【解答】解：（I）由B=C，可得所以cosA=（II）因为所以=【点评】本题考查三角形的余弦定理、考查三角函数的平方关系、考查两角和的余弦公式17如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC=60，PA=AB=BC，E是PC的中点（）证明：CDAE；（）证明：PD平面ABE；（）求二面角APDC的正切值【考点】与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定【专题】综合题【分析】（）由PA底面ABCD，可得 CDPA，又CDAC，故CD面PAC，从而证得CDAE；（）由等腰三角形的底边中线的性质可得AEPC
22、，由（）知CDAE，从而AE面PCD，AEPD，再由 ABPD 可得 PD面ABE；（）过点A作AMPD，由（）知，AE面PCD，故AME是二面角APDC的一个平面角，用面积法求得AE和AM，从而可求 二面角APDC的正切值【解答】（）证明：在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，CDPA又CDAC，PAAC=A，CD面PAC，AE面PAC，故CDAE（）证明：由PA=AB=BC，ABC=60，可得PA=AC，E是PC的中点，AEPC，由（1）知CDAE，从而AE面PCD，故AEPD由（）知，AECD，且PCCD=C，所以AE平面PCD而PD平面PCD，AEPDPA底面ABC
23、D，PD在底面ABCD内的射影是AD，ABAD，ABPD又ABAE=A，PD面ABE（）解：过点A作AMPD，垂足为M，连接EM，则（）知，AE平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则EMPD，因此AME是二面角APDC的一个平面角由已知，得CAD=30设AC=a，则PA=a，AD=，PD=，AE=在直角ADP中，AMPD，AMPD=PAAD，AM=在直角AEM中，AE=，AM=，EM=atanAME=所以二面角APDC的正切值为【点评】本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力18设函数f（x）=（sinx+cosx）2+2co
24、s2x（0）的最小正周期为（）求的值； （）求f（x）在区间上的值域；（）若函数y=g（x）的图象是由y=f（x）的图象向右平移个单位长度得到，求y=g（x）的单调增区间【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（x+）的图象变换【专题】三角函数的图像与性质【分析】（）首先，化简函数解析式，然后，根据周期公式确定的值；（）结合正弦函数的性质进行求解；（）根据平移，得到g（x）=sin3（x）+2=sin（3x）+2，然后，根据正弦函数的图象进行求解【解答】解：（）f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x=sin2x+cos2x+sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x
25、+2=sin（2x+）+2，依题意得=，故的值为 （），（6分，即f（x）的值域为（）依题意得：g（x）=sin3（x）+2=sin（3x）+2 由2k3x2k+，kZ，解得+x，kZ，故y=g（x）的单调增区间为：+，（kZ），【点评】本题重点考查了三角恒等变公式的应用换公式、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题，解题关键是准确理解三角函数的图象与性质19已知函数f（x）=x4+ax3+2x2+b（xR），其中a，bR（）当时，讨论函数f（x）的单调性；（）若函数f（x）仅在x=0处有极值，求a的取值范围；（）若对于任意的a2，2，不等式f（x）1在1，1上恒成立，求b的取值范围【考点】利
26、用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值【专题】计算题；压轴题【分析】（1）将a的值代入后对函数f（x）进行求导，当导函数大于0时求原函数的单调增区间，当导函数小于0时求原函数的单调递减区间（2）根据函数f（x）仅在x=0处有极值说明f（x）=0仅有x=0一个根得到答案（3）根据函数f（x）的单调性求出最大值，然后令最大值小于等于1恒成立求出b的范围【解答】解：（）f（x）=4x3+3ax2+4x=x（4x2+3ax+4）当时，f（x）=x（4x210x+4）=2x（2x1）（x2）令f（x）=0，解得x1=0，x3=2当x变化时，f（x），
27、f（x）的变化情况如下表： x （，0） 0 （0，） （，2） 2 （2，+） f（x） 0+ 0 0+ f（x） 极小值极大值 极小值 所以f（x）在，（2，+）内是增函数，在（，0），内是减函数（）f（x）=x（4x2+3ax+4），显然x=0不是方程4x2+3ax+4=0的根为使f（x）仅在x=0处有极值，必须4x2+3ax+40成立，即有=9a2640解些不等式，得这时，f（0）=b是唯一极值因此满足条件的a的取值范围是（）由条件a2，2，可知=9a2640，从而4x2+3ax+40恒成立当x0时，f（x）0；当x0时，f（x）0因此函数f（x）在1，1上的最大值是f（1）与f（1）
28、两者中的较大者为使对任意的a2，2，不等式f（x）1在1，1上恒成立，当且仅当，即，在a2，2上恒成立所以b4，因此满足条件的b的取值范围是（，4【点评】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力20已知函数f（x）=ax2ex（aR）（）当a=1时，令h（x）=f（x），求h（x）的单调区间；（）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1x2）（）求实数a的取值范围；（）证明：f（x1）1（注：e是自然对数的底数）【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【专题】导数的综合应用【分析】（）
29、当a=1时，直接求出h（x）=f（x），利用导函数的符号，求h（x）的单调区间；（）（）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1x2）说明导函数为0，有两个解，利用函数的单调性，推出2a（1）=e，求实数a的取值范围；（）由f（x1）=0，推出，x1（0，1），构造函数，求出新函数的导数，（t）在0t1上单调递减，得到（1）（t）（0），即可证明：f（x1）1【解答】解：（）当a=1时，h（x）=2ex，令h（x）=0x=ln2，当xln2，h（x）0；xln2，h（x）0；h（x）的单调增区间为（，ln2），单调减区间为（ln2，+）（）（）若f（x）有两个极值点x1，x2，则x1，x2是方程f（x）=0的两个根，故方程2axex=0有两个根x1，x2，又x=0显然不是该方程的根，方程有两个根，设，得，当x0时，（x）0且（x）0，（x）单调递减，当x0时，（x）0，当0x1时，（x）0，（x）单调递减；当x1时，（x）0，（x）单调递增，要使方程有两个根，需2a（1）=e，故且0x11x2，故a的取值范围为（）由f（x1）=0，得，故，x1（0，1），x1（0，1）设，则，（t）在0t1上单调递减，故（1）（t）（0），即【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的极值，构造法二次求导的应用，综合性强
