1、2015-2016学年河北省石家庄市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：共12题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若复数z=i（32i）（i是虚数单位），则=（）A23iB2+3iC3+2iD32i2有一段演绎推理是这样的：“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故某奇数是3的倍数”那么，这个演绎推理（）A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D没有错误3从5名学生中选派3名学生到3个不同社区服务，不同的选派方法共有（）A6种B24种C60种D120种4若函数f（x）=，则其导函数f（x）=（）ABCD5设随机变量XB（10，0.8），则D（
2、2X+1）等于（）A1.6B3.2C6.4D12.86输出下列四个命题：回归直线恒过样本点的中心（，）；回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；残差平方和越小的模型，模型拟合的效果越好；在线性回归分析中，如果两个变量的相关性越强，则相关系数就越接近于1其中真命题的个数为（）A1B2C3D47投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试，已知某同学每次投篮投中的概率为0.7，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）A0.784B0.648C0.343D0.4418高二年级1000名学生考试成绩近似服从正态分布N，则成绩在580分以上的学生人数均为（）（附：P（+）=
3、68.26%；P（2+2）=95.44%）A3B23C46D2089已知关于x的二项式展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为（）A1B1C2D210（普通高中）已知关于x的二项式（x+）6展开式的常数项为15，则a=（）A1B1C2D211设复数z=（x1）+yi（xR，y0），若|z|1，则yx的概率为（）ABCD12设0x，记a=sinx，b=x，c=lnsinx，试比较a，b，c的大小关系为（）AabcBacbCbacDbca13定义在R上的奇函数f（x），其导函数为f（x）；当x（0，+）时，都有2f（x）+xf（x），则不等式x2f（x）2f（）x的解集为（）A（，+
4、）B（，）C（，）D（0，）二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共20分14函数f（x）=ln（2x1）+的定义域为15若曲线f（x）=ax2+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是16由曲线y=x2+2x与y=1所围成的图形的面积为17已知函数f（x）=x3+3ax2+3x+1，当x2，+），f（x）0恒成立，则实数a的取值范围是三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18已知复数z1=4m2+（m2）i，z2=+2sin+（cos2）i，（其中i是虚数单位，m，R）（1）若z1为纯虚数，求实数m的值；（2）若z1=z2，求实数的取值范围19
5、某冷饮店为了解气温变化对其营业额的影响，随机记录了该店1月份销售淡季中5天的日营业额y（单位：百元）与该地当日最低气温x（单位：）的数据，如下表所示：x367910y1210887（）判定y与x之间是正相关还是负相关，并求回归方程=x+（）若该地1月份某天的最低气温为6，预测该店当日的营业额（参考公式： =， =）20为调查某社区居民的业余生活状况，研究居民的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区80名居民，得到下面的数据表：休闲方式性别看电视运动合计男101020女105060总计206080（）根据以上数据，能否有99%的把握认为“居民的休闲方式与性别有关系”？（）将此样本的频率估计为总体
6、的概率，随机调查3名在该社区的男性，设调查的3人以运动为休闲方式的人数为随机变量X求X的分布列、数学期望和方差P（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828附：K2=21已知数列an的前n项和为Sn，且Sn是2a与2nan的等差中项，其中a0（1）求数列an的前三项a1，a2，a3；（2）猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法加以证明22已知函数f（x）=lnxax2+（2a）x（1）当a=2时，求函数f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的零点个数请考生在2325题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分选修4-1：几何证明选讲2
7、3如图，A，B，C为圆O上三点，点B平分弧，点P为AC延长线上一点，PQ是圆O的切线，切点为Q，BQ与AC相交于点D（1）求证：PD=PQ；（2）若PC=1，AD=PD，求BDQD选修4-4：坐标系与参数方程24在平面直角坐标系xOy中，已知直线l过点P（，2），斜倾角为60，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2=（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A、B两点，求|PA|PB|的值选修4-5：不等式选讲25已知函数f（x）=|2x+1|x4|（1）解不等式f（x）0；（2）若存在x07，7，使得f（x0）+m24m成立，
8、求实数m的取值范围2015-2016学年河北省石家庄市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：共12题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若复数z=i（32i）（i是虚数单位），则=（）A23iB2+3iC3+2iD32i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可【解答】解：复数z=i（32i）=2+3i，则=23i，故选：A2有一段演绎推理是这样的：“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故某奇数是3的倍数”那么，这个演绎推理（）A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D没有错误【考点】演绎推理
9、的意义【分析】要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论是否都正确，根据三个方面都正确，得到结论【解答】解：所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故某奇数是3的倍数，大前提：所有9的倍数都是3的倍数，小前提：某奇数是9的倍数，结论：故某奇数是3的倍数，这个推理是正确的，故选：D3从5名学生中选派3名学生到3个不同社区服务，不同的选派方法共有（）A6种B24种C60种D120种【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】本题属于排列问题，故由题意可得不同的选派方法【解答】解：从5名学生中选派3名学生到3个不同社区服务，不同的选派方法共有A53=60，故选：C4若函数f（x）
10、=，则其导函数f（x）=（）ABCD【考点】导数的运算【分析】根据函数的导数公式进行计算即可【解答】解：数f（x）=2x，函数的定义域为（0，+）f（x）=2（）x=，故选：B5设随机变量XB（10，0.8），则D（2X+1）等于（）A1.6B3.2C6.4D12.8【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型【分析】根据设随机变量XB（10，0.8），看出变量符合二项分布，看出成功概率，根据二项分布的方差公式做出变量的方差，根据D（2X+1）=22DX，得到结果【解答】解：设随机变量XB（10，0.8），DX=100.8（10.8）=1.6，D（2X+1）=221.6=6.4故选C6输出下列四个
11、命题：回归直线恒过样本点的中心（，）；回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；残差平方和越小的模型，模型拟合的效果越好；在线性回归分析中，如果两个变量的相关性越强，则相关系数就越接近于1其中真命题的个数为（）A1B2C3D4【考点】相关系数【分析】根据回归直线的几何意义判断命题是否正确；根据相关系数与残差平方和的意义判断命题是否正确【解答】解：对于，回归直线恒过样本点的中心（，），命题正确；对于，回归直线也可能不过任何一个点，所以命题B不正确；对于，用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，命题正确；对于，线性回归分析中，如果两个变量的相关性越强，则相关系数
12、线性|r|就越接近于1，故命题错误所以真命题的序号为，共2个故选：B7投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试，已知某同学每次投篮投中的概率为0.7，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）A0.784B0.648C0.343D0.441【考点】相互独立事件的概率乘法公式【分析】利用互独立事件的概率乘法公式，计算求得结果【解答】解：该同学通过测试的概率等于投中2次的概率加上投中3次的概率，即为0.720.3+0.73=0.441+0.343=0.784，故选：A8高二年级1000名学生考试成绩近似服从正态分布N，则成绩在580分以上的学生人数均为（）（附：P（+）=68
13、.26%；P（2+2）=95.44%）A3B23C46D208【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】根据正态分布，求出=480，=50，在区间的概率为0.954，由此可求成绩在580分以上的考生人数【解答】解：由题意，=480，=50，在区间的概率为0.954成绩在580分以上的概率为（10.954）=0.023成绩在580分以上的考生人数约为10000.023=23故选：B9已知关于x的二项式展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为（）A1B1C2D2【考点】二项式定理【分析】根据题意，有2n=32，可得n=5，进而可得其展开式为Tr+1=C5r（）5r（）r，分
14、析可得其常数项为第4项，即C53（a）3，依题意，可得C53（a）3=80，解可得a的值【解答】解：根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，则有2n=32，可得n=5，则二项式的展开式为Tr+1=C5r（）5r（）r，其常数项为第4项，即C53（a）3，根据题意，有C53（a）3=80，解可得，a=2；故选C10（普通高中）已知关于x的二项式（x+）6展开式的常数项为15，则a=（）A1B1C2D2【考点】二项式系数的性质【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项，再根据常数项为15，求得a的值【解答】解：二项式（x+）6的展开式
15、的通项公式为 Tr+1=C6rarx6，令6r=0，求得r=4，可得展开式中的常数项为C64a4=15，由此求得a=1，故选：B11设复数z=（x1）+yi（xR，y0），若|z|1，则yx的概率为（）ABCD【考点】复数求模；几何概型【分析】由题意易得所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，分别求面积可得【解答】解：复数z=（x1）+yi（x，yR）且|z|1，|z|=1，即（x1）2+y21，点（x，y）在（1，0）为圆心1为半径的圆及其内部，而yx表示直线y=x左上方的部分，（图中阴影弓形）所求概率为弓形的面积与圆的面积一般的之比，所求概率P=故选：B12设0x，记a=sinx，b=x，c=
16、lnsinx，试比较a，b，c的大小关系为（）AabcBacbCbacDbca【考点】任意角的三角函数的定义【分析】分别判断a，b，c的大小即可得到结论【解答】解：0x，0sinx1，xsinxlnsinx0，即c0，0a1，babac，故选：C13定义在R上的奇函数f（x），其导函数为f（x）；当x（0，+）时，都有2f（x）+xf（x），则不等式x2f（x）2f（）x的解集为（）A（，+）B（，）C（，）D（0，）【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算【分析】将不等式条件进行转化，构造函数g（x）=x2f（x）x，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性，结合函数奇偶性和单调性之间的关
17、系将不等式进行转化求解即可【解答】解：由当x（0，+）时，都有2f（x）+xf（x），当x（0，+）时，都有2xf（x）+x2f（x）1，即2xf（x）+x2f（x）10，设g（x）=x2f（x）x，则g（x）=2xf（x）+x2f（x）1，则当x0时，g（x）0，即函数g（x）是减函数，f（x）是奇函数，f（0）=0，则g（0）=0，则g（x）=x2f（x）x是奇函数，函数g（x）在（，+）上是减函数，则不等式x2f（x）2f（）x等价为x2f（x）x（）2f（），即g（x）g（），函数g（x）是减函数，x，即不等式的解集为（，+），故选：A二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共20分1
18、4函数f（x）=ln（2x1）+的定义域为（0，）【考点】函数的定义域及其求法【分析】根据对数函数以及二次根式的性质得到关于x的不等式组，解出即可【解答】解：由题意得：，即即，解得：0x，故函数的定义域是：（0，），故答案为（0，）15若曲线f（x）=ax2+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是a|a0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】先求出函数的定义域，然后求出导函数，根据存在垂直于y轴的切线，得到此时斜率为0，问题转化为x0范围内导函数存在零点，再将之转化为g（x）=2ax与存在交点，讨论a的正负进行判定即可【解答】解：由题意该函数的定义域x0，由因为存在垂直于y轴
19、的切线，故此时斜率为0，问题转化为x0范围内导函数存在零点再将之转化为g（x）=2ax与存在交点当a=0不符合题意，当a0时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当a0如图2，此时正好有一个交点，故有a0故答案为：a|a016由曲线y=x2+2x与y=1所围成的图形的面积为【考点】定积分在求面积中的应用【分析】由题意，画出图形，利用定积分的几何意义表示围成部分的面积求值【解答】p43 1；解：由曲线y=x2+2x与y=1所围成的图形如图阴影部分：其面积为=；故答案为：17已知函数f（x）=x3+3ax2+3x+1，当x2，+），f（x）0恒成立，则实数a的取值范围是，+）【考点】利用导数求闭区间
20、上函数的最值【分析】问题等价于x+3a令g（x）=x+，根据函数的单调性求出g（x）的最小值，从而求出a的范围即可【解答】解：x2，），f（x）0，即x3+3ax2+3x+10，即x+3a令g（x）=x+，则g（x）=，下面我们证g（x）0在x2，）恒成立，也即x33x20在x2，）上恒成立，令h（x）=x33x2，则h（x）=3x23=3（x+1）（x1），易知h（x）0在x2，）上恒成立，h（x）在x2，）上为增函数，h（x）h（2）=0，也就是x33x20在x2，）上恒成立，g（x）0在x2，）上恒成立，g（x）在x2，）为增函数，g（x）的最小值为g（2）=，3ag（2）=，解得a，故
21、答案为：，+）三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18已知复数z1=4m2+（m2）i，z2=+2sin+（cos2）i，（其中i是虚数单位，m，R）（1）若z1为纯虚数，求实数m的值；（2）若z1=z2，求实数的取值范围【考点】复数的基本概念【分析】（1）由z1为纯虚数，列出方程组，求解即可得实数m的值；（2）由z1=z2，列出方程组，再结合正弦函数图象的性质，即可求得实数的取值范围【解答】解：（1）z1为纯虚数，则，解得：m=2；（2）由z1=z2，得，=4cos22sin=sin22sin+3=（sin1）2+21sin1，当sin=1时，min=
22、2；当sin=1时，max=6实数的取值范围是2，619某冷饮店为了解气温变化对其营业额的影响，随机记录了该店1月份销售淡季中5天的日营业额y（单位：百元）与该地当日最低气温x（单位：）的数据，如下表所示：x367910y1210887（）判定y与x之间是正相关还是负相关，并求回归方程=x+（）若该地1月份某天的最低气温为6，预测该店当日的营业额（参考公式： =， =）【考点】线性回归方程【分析】（）随着x的增加，y减小，故y与x的是负相关，该地当日最低气温x和日营业额y的平均数，得到这组数据的样本中心点，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，代入样本中心点求出a的值，写出线性回归方程（）将x
23、=6，即可求得该店当日的营业额【解答】解：（I）由散点图知：y与x之间是负相关；因为n=5， =7， =9，（5）=275572=30；（xiyi5）=294579=21所以b=0.7，=9（0.7）7=13.9故回归方程为y=0.7x+13.9（）当x=6时，y=0.76+13.9=9.7故预测该店当日的营业额约为970元20为调查某社区居民的业余生活状况，研究居民的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区80名居民，得到下面的数据表：休闲方式性别看电视运动合计男101020女105060总计206080（）根据以上数据，能否有99%的把握认为“居民的休闲方式与性别有关系”？（）将此样本的频率
24、估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的男性，设调查的3人以运动为休闲方式的人数为随机变量X求X的分布列、数学期望和方差P（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828附：K2=【考点】独立性检验的应用【分析】（）根据样本提供的22列联表，计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论；（）由题意得：XB（3，），由此能求出X的数学期望和方差【解答】解：（I）根据样本提供的22列联表得：K2=60202060501010102=8.889；K26.635，所以有99%的把握认为“居民的休闲方式与性别有关”（）由题意得：XB（3，），且 P（X=k）=（）3k（）
25、k，k=0，1，2，3所以，分布列为：X0123P由服从XB（n，p）的二项分布事件的期望E（X），E（X）=np=3=，E（X）=，DX=np（1p）=3=DX=21已知数列an的前n项和为Sn，且Sn是2a与2nan的等差中项，其中a0（1）求数列an的前三项a1，a2，a3；（2）猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法加以证明【考点】数学归纳法；数列的概念及简单表示法【分析】（1）运用等差数列的中项的性质，可得Sn=anan，再令n=1，2，3，计算即可得到所求值；（2）猜想an=a运用数学归纳法证明，注意由假设n=k（其中kN*）时，猜想成立，运用ak+1=Sk+1Sk，化简整理即可得
26、证【解答】解：（1）因为Sn是2a与2nan的等差中项，则Sn=anan，由a1=S1=aa1，a1=a；由a1+a2=a2a2，a2=a；由a1+a2+a3=a3a3，a3=a；（2）猜想an=a证明：当n=1时，a1=a，猜想成立；假设n=k（其中kN*）时，猜想成立，即ak=a当n=k+1时，ak+1=Sk+1Sk=a（k+1）ak+1a+kak，（k+2）ak+1=kak=ka，即ak+1=a，所以，当n=k+1时，猜想也成立由知，对任意nN*，猜想an=a 都成立22已知函数f（x）=lnxax2+（2a）x（1）当a=2时，求函数f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）讨论函
27、数f（x）的零点个数【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理【分析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，再由点斜式方程，即可得到所求切线的方程；（2）运用参数分离可得a=（x0），令g（x）=（x0），求出导数和单调区间、极值和最值，画出图象，通过图象讨论a的范围，即可得到所求零点个数【解答】解：（1）函数f（x）=lnx2x2，导数为f（x）=4x，函数f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为k=3，切点为（1，2），所求切线的方程为y+2=3（x1），即为3x+y1=0；（2）由f（x）=lnxax2+（2a）x=0，可得a=（x0），令g（x）=（x0），可
28、得g（x）=，由lnx+x1在（0，+）递增，且x=1时，ln1+11=0，即有当x1时，g（x）0，g（x）在（1，+）递减，且x+，f（x）0；当0x1时，g（x）0，g（x）在（0，1）递增可得g（x）在x=1处极大值，且为最大值1作出函数g（x）的图象，可得当a=1或a0时，直线y=a和函数y=g（x）的图象有一个交点，函数f（x）有一个零点；当0a1时，直线y=a和函数y=g（x）的图象有两个交点，函数f（x）有两个零点请考生在2325题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分选修4-1：几何证明选讲23如图，A，B，C为圆O上三点，点B平分弧，点P为AC延长线上一点，PQ是
29、圆O的切线，切点为Q，BQ与AC相交于点D（1）求证：PD=PQ；（2）若PC=1，AD=PD，求BDQD【考点】与圆有关的比例线段；弦切角【分析】（1）连接CQ，BC，AB，证明PQD=CDQ，即可证明PD=PQ；（2）利用切割线定理，求出CD=1，AD=PD=2，即可求BDQD【解答】证明：（1）连接CQ，BC，AB，因为PQ是圆O的切线，所以PQC=CBD，因为点B平分弧，所以CQB=ACB，所以PQC+CQB=CBD+ACB，即PQD=CDQ，故PD=PQ（2）设CD=t，则PD=PQ=1+t，PA=2+2t，由PQ2=PCPA得t=1，所以CD=1，AD=PD=2，所以BDQD=CD
30、AD=2选修4-4：坐标系与参数方程24在平面直角坐标系xOy中，已知直线l过点P（，2），斜倾角为60，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2=（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A、B两点，求|PA|PB|的值【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】（1）由x=cos，y=sin，x2+y2=2，代入曲线C的极坐标方程，可得曲线C的直角坐标方程；（2）求得直线l的参数方程，代入曲线C的直角坐标方程，运用韦达定理，结合参数的几何意义，即可得到所求值【解答】解：（ 1）由2=知，2+2sin2=4，由x=cos，y=sin，x
31、2+y2=2，代入上式，可得x2+2y2=4，所以曲线C的直角坐标方程为+=1；（2）已知直线l过点P（，2），倾斜角为60，所以直线l的参数方程为（t为参数）即为（t为参数），代入曲线C的直角坐标方程x2+2y2=4，得：7t2+20t+28=0，设A、B两点对应的参数为t1、t2，则t1t2=4，故|PA|PB|=|t1t2|=4选修4-5：不等式选讲25已知函数f（x）=|2x+1|x4|（1）解不等式f（x）0；（2）若存在x07，7，使得f（x0）+m24m成立，求实数m的取值范围【考点】函数恒成立问题；绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法【分析】（1）利用绝对值的几何意义，化简函数的解析式，然后列出不等式求解即可（2）求出函数的值域，转化不等式，得到二次不等式，求解即可【解答】解：（1）由f（x）=|2x+1|x4|=f（x）0，可得：或或解得：x|x5或x1；（2）当x07，7，时，f（x0），12，由题意f（x0）+m24m知，4mm2，即m28m90，解得：1m92016年8月27日
