1、2019-2019学年数学北师大版九年级上册1.2 矩形的性质与判定（3） 同步训练一、选择题1.如图，在矩形ABCD中，对角线 相交于点 ，则AB的长是（ ）A.3cmB.6cmC.10cmD.12cm2.如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM/AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（ ）A.5B.4C.D.3.如图，将长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在点E处，BE交AD于F，连接CE，下列结论FA=FE BD平分FBC DEC=EBD EC垂直平分BD，正确的是（ ）A.B.C.D.4.如图，在矩形ABCD中，AB2，BC3，M为BC中点，连接AM，过D作D
2、EAM于E，则DE的长度为( )A.2B.C.3D.5.如图，E，F分别是矩形ABCD的边AD、AB上的点，若EF=EC，EFEC，DC= ，则BE的长为（ ）A.B.C.4D.26.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AOB120，AD2，点E是BC的中点，连结OE，则OE的长是（ ）A.B.2 C.2D.47.如图，ABC中，ABCBAC，D是AB的中点，ECAB，DEBC，AC与DE交于点O下列结论中，不一定成立的是（ ）A.ACDEB.ABACC.ADECD.OAOE8.如图，E是矩形ABCD内的一个动点，连接EA、EB、EC、ED，得到EAB、EBC、ECD、EDA，设它们的面
3、积分别是m、n、p、q，给出如下结论：m+n=q+p；m+p=n+q；若m=n，则E点一定是AC与BD的交点；若m=n，则E点一定在BD上其中正确结论的序号是（）A.B.C.D.9.如图，E，F分别是矩形ABCD边AD，BC上的点，且ABG，DCH的面积分别为15和20，则图中阴影部分的面积为（ ）A.15B.20C.35D.4010.如图，在 中， 是 的中点，将 沿 翻折得到 ，连接 ，则线段 的长等于( )A.2B.C.D.二、填空题11.在矩形ABCD中，AB2，BC3，若点E为边CD的中点，连接AE，过点B作BFAE于点F，则BF长为_.12.如图,点E是矩形ABCD内任一点,若AB
4、=3,BC=4.则图中阴影部分的面积为_13.如图，矩形ABCD中，AB=2 ，AD=6，P为边AD上一点，且AP=2，在对角线BD上寻找一点M，使AM+PM最小，则AM+PM的最小值为_14.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB6 cm，BC8 cm，则AEF的周长为_cm15.在ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PEAB于E，PFAC于F，则EF的最小值为_16.如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过点O且EFAC分别交DC于点F，交AB于点E，点G是AE中点且AOG=30，给出以下结论： AFC=12
5、0；AEF是等边三角形；AC=3OG；SAOG= SABC其中正确的是_（把所有正确结论的序号都选上）三、解答题17.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，且DEAC，AEBD求OE的长18.如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，EFCE且与AB相交于点F，若DE=2，AD+DC=8，且CE=EF，求AE的长。19.如图，在矩形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点，若AB=8，AD=12，则四边形ENFM的周长是多少？20.如图，已知ABCD，延长AB到E使BE=AB，连接BD，ED，EC，若ED=AD（1）求证：四边形BE
6、CD是矩形； （2）连接AC，若AD=4，CD= 2，求AC的长 21.如图，在四边形ABCD中，ADBC，ABC=ADC=90，对角线AC，BD交于点O，DE平分ADC交BC于点E，连接OE（1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若AB=2，求OEC的面积 22.如图，等腰ABC中，ABAC，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，点M，N分别为线段BO和CO的中点求证：四边形EDNM是矩形答案解析部分一、选择题 1.【答案】A 【考点】矩形的性质 【解析】【解答】解：四边形ABCD是矩形，OA=OC=OB=OD=3，AOB是等边三角形，AB=OA=3，故答案为：A.【
7、分析】利用矩形的性质，可得出OA=OC=OB=OD=3，由已知AOB=60，可证得AOB是等边三角形，再利用等边三角形的性质，可解答。2.【答案】D 【考点】直角三角形斜边上的中线，勾股定理，矩形的性质 【解析】【解答】解：因为四边形ABCD是矩形，所以ADBC10，ABCD90.因为OMAB，所以AMOD90.因为OM3，AM AD 105.RtAMO中，由勾股定理得AO .因为O是矩形ABCD的对角线AC的中点，所以OBAO 故答案为：D【分析】利用已知易证点M时AD中点，可求出AM的长，再利用勾股定理求出AO的长，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证得BO=AO，可得出答案
8、。3.【答案】B 【考点】矩形的性质，翻折变换（折叠问题） 【解析】【解答】解：由折叠的性质可知，DE=DC，BED=BCD=90，在ABF和EDF中， ，ABFEDF，FA=FE，正确；由折叠的性质可知，EBD=CBD，BD平分FBC，正确；BED=BCD=90，E、B、C、D四点共圆，又DE=DC，DEC=EBD，正确；由折叠的性质可知，BD垂直平分EC，错误，故答案为：B【分析】由折叠的性质可知，DE=DC，BED=BCD=90，就可证明ABFEDF，得出FA=FE，可对作出判断；由折叠的性质可知，EBD=CBD，可对作出判断；由BED=BCD=90，可证得E、B、C、D四点共圆，由DE
9、=DC，得出DEC=EBD，可对作出判断；由折叠的性质可得出BD垂直平分EC，可对作出判断。从而可得出答案。4.【答案】B 【考点】矩形的性质 【解析】【解答】解：连接DM，矩形ABCDB=90。BC=AD=3M为BC中点BM=BC=3=1.5在RtABM中SAMD=ADAB=AMDE32=2.5DE解之：DE=故答案为：B.【分析】连接DM，根据已知可求出ADM的面积，根据中点的性质可得得出BM的长，再利用勾股定理求出AM的长，然后利用等面积法可求得答案。5.【答案】D 【考点】全等三角形的判定与性质，矩形的性质 【解析】【解答】解：矩形ABCDA=D=90，AB=CDAFE+AEF=90，
10、EFEC，FEC=90，AEF+DEC=90，AFE=DEC，在AEF和DCE中,AEFDCE(AAS)，AE=DC=AB，在RtABE中,BE=故答案为：D.【分析】根据矩形的性质和已知条件，可证得A=D=90，AB=CD及AFE=DEC，再利用全等三角形的判定AAS，可证明AEFDCE；根据全等三角形的的性质，可知AE=DC= ，在RtABE中由勾股定理可求得BE的长。6.【答案】A 【考点】矩形的性质 【解析】【解答】试题解析：四边形ABCD 是矩形，AC=BD，OA=OB，DAB=90AOB120BAO30在RtABD中，BD=2AD=4AB= 点E是CB的中点，OE是ACD的中位线，
11、OE= AB= = 故选A.7.【答案】B 【考点】全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质 【解析】【解答】解：A.连接AE，CD，则四边形ADCE是平行四边形，因为ABCBAC，D是AB的中点，所以CDAB，所以四边形ADCE是矩形，所以AC=DE，则A成立；B.因为ABCBAC，D是AB的中点，所以CA=CB，不能得到AB=AC，则B不一定成立；C.因为四边形ADCE是矩形，所以AD=CE，OA=OE，则C，D成立，故答案为：B【分析】由已知易证四边形BDEC是平行四边形，则BD=CE，B=E，由ABC=BAC，D是AB的中点，可证AODEOC，还可证明BC=AC，OA=OD，OE
12、=OC，AC=DE，AD=EC，OA=OE。由此可得出答案。8.【答案】B 【考点】矩形的性质 【解析】【解答】解：过E作MNAB，交AB于M，CD于N，作GHAD，交AD于G，BC于H，如图1所示：则m=ABEM，n=BCEH，p=CDEN，q=ADEG，四边形ABCD是矩形，AB=CD=GH，BC=AD=MN，m+p=ABMN=ABBC，n+q=（BCGH=BCAB，m+p=n+q；不正确，正确；若m=n，则p=q，作APBE于P，作CQDE于Q，延长BE交CD于F，如图2所示：则APB=CQF=90，m=BEAP，n=BECQ，m=n，AP=CQ，ABCD，1=2，在ABP和CFQ中，
13、， ABPCFQ（AAS），AB=CF，F与D重合，E一定在BD上；不正确，正确故选：B【分析】过E作MNAB，交AB于M，CD于N，作GHAD，交AD于G，BC于H，由矩形的性质容易证出不正确，正确；若m=n，则p=q，作 APBE于P，作CQDE于Q，延长BE交CD于F，先证AP=CQ，再证明ABPCFQ，得出AB=CF，F与D重合，得出不正确，正 确，即可得出结论9.【答案】C 【考点】三角形的面积，矩形的性质 【解析】【解答】解：连接EF，由图可知 ，那么 ，所以 ，同理， ，则 ,故答案为：C.【分析】连接EF，易证EFG的面积与ABG的面积相等，EFH的面积与DCH的面积相等，因此
14、可得出阴影部分的面积=ABG的面积+DCH的面积，即可解答。10.【答案】D 【考点】勾股定理，翻折变换（折叠问题） 【解析】【解答】解：如图连接BE交AD于O，作AHBC于H在RtABC中，AC=4，AB=3，BC= =5，CD=DB，AD=DC=DB= ， BCAH= ABAC，AH= ，AE=AB，DE=DB=DC，AD垂直平分线段BE，BCE是直角三角形， ADBO= BDAH，OB= ，BE=2OB= ，在RtBCE中，EC= ，故答案为：D【分析】连接BE交AD于O，作AHBC于H首先证明AD垂直平分线段BE，BCE是直角三角形，再求出BC、BE的长，在RtBCE中，利用勾股定理即
15、可解决问题。二、填空题 11.【答案】 【考点】矩形的性质 【解析】【解答】解：如图，连接BE四边形ABCD是矩形，AB=CD=2，BC=AD=3，D=90，在RtADE中，AE= ，SABE= S矩形ABCD=3= AEBF，BF= 故答案为 【分析】连接BE，利用矩形的性质，可得出AB=CD=2，BC=AD=3，D=90，再利用勾股定理求出AE的长，然后利用SABE= S矩形ABCD=3= AEBF，就可解答。12.【答案】6 【考点】矩形的性质 【解析】【解答】解：四边形ABCD是矩形，AD=BC=4，设两个阴影部分三角形的底为AD，BC，高分别为h1 ， h2 ， 则h1+h2=AB，
16、SEAB+SECD= ADh1+ BCh2= AD（h1+h2）= ADAB= 矩形ABCD的面积= 34=6；故答案为：6【分析】根据矩形的性质可得出AD=BC=4，设两个阴影部分三角形的底为AD，BC，高分别为h1 ， h2 ， 则h1+h2=AB，就可证出SEAB+SECD=矩形ABCD的面积，计算可解答。13.【答案】 【考点】矩形的性质，轴对称的应用-最短距离问题，解直角三角形 【解析】【解答】解：作DH平分BDC交BC于H连接AH交BD于M四边形ABCD是矩形，C=BAD=ADC=90，tanADB= ，ADB=30，BDC=60，CDH=30，CD= AB=2 ，CH= tan3
17、0 2 =2，DH=2CH=4，DP=DH，MDP=MDH，P、H关于BD对称，连接AH交BD于M，则AM+PM的值最小，最小值=AH= 【分析】作DH平分BDC交BC于H连接AH交BD于M，根据矩形的性质可得出C=BAD=ADC=90，利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，可求出ADB=30，就可求出BDC、CDH的度数，再利用解直角三角形求出CH的长，就可得出DH的长，然后由P、H关于BD对称，连接AH交BD于M，则AM+PM的值最小，即求出AH的长即可。14.【答案】9 【考点】三角形中位线定理，矩形的性质 【解析】【解答】解：由勾股定理得，AC= = =10cm，四边形ABCD是
18、矩形，OA=OD= AC= 10=5cm，点E、F分别是AO、AD的中点，EF= OD= cm，AF= 8=4cm，AE= OA= cm，AEF的周长= +4+ =9cm.故答案为：9.【分析】利用勾股定理求出AC的长，再利用矩形的性质，求出OA、OD的长，然后利用三角形的中位线定理及中点的定义求出EF、AF、AE的长，就可求得AEF的周长。15.【答案】4.8 【考点】垂线段最短，勾股定理的逆定理，矩形的判定与性质 【解析】【解答】解：AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，AB2+AC2=BC2 ， ABC为直角三角形，A=90，PEAB于E，PFAC于F，AEP=AFP=90，四边形
19、AEPF为矩形，连接AP，如图，EF=AP，当AP的值最小时，EF的值最小，当APBC时，AP的值最，此时AP= ，EF的最小值为 故答案为4.8【分析】先利用勾股定理的逆定理证明ABC为直角三角形，A=90，再证明四边形AEPF为矩形，连接AP，则EF=AP，当AP的值最小时，EF的值最小，利用垂线段最短得到APBC时，AP的值最小，然后利用面积法计算此时AP的长即可。16.【答案】 【考点】等边三角形的判定与性质，矩形的性质 【解析】【解答】解：四边形ABCD是矩形， ABCD，B=90，FCA=OAG，O为AC中点，EFAC，AF=CF，FAC=FCA，点G是AE中点且AOG=30，OG
20、= AE=AG，OAG=AOG=30，FCA=FAC=30，AFC=1803030=120，正确；FAE=30+30=60，AEO=9030=60，AFE=60，AEF是等边三角形，正确；OAG=30，EFAC，AE=2OE=2OG，OA= OE= OG，AC=2OA=2 OG，不正确；点G是AE中点，SAOG= SAOE ， AOE=90=B，OAE=BAC，AOEABC，相似比为 = = = ， =（ ）= ，SAOG= SABC ， 正确；故答案为：【分析】由矩形的性质得出ABCD，B=90，得出FCA=OAG，由线段垂直平分线的性质得出AF=CF，得出FAC=FCA，由直角三角形的性质
21、得出OG= AE=AG，得出OAG=AOG=30，求出FCA=FAC=30，再由三角形内角和定理得出正确；求出FAE=AEO=AFE=60，得出AEF是等边三角形，正确；由含30角的直角三角形的性质和勾股定理得出OA= OE= OG，得出AC=2OA=2 OG，不正确；由中点的性质得出SAOG= SAOE ， 证明AOEABC，得出 = ，得出SAOG= SABC ， 正确，即可得出结论三、解答题 17.【答案】解：四边形ABCD为菱形，ACBD，OA= AC=3，OD= BD=4，AOD=90，AD= = =5DEAC，AEBD，四边形AODE为平行四边形，四边形AODE是矩形，OE=AD=
22、5 【考点】矩形的判定与性质 【解析】【分析】根据菱形的性质得出ACBD，利用勾股定理求出AD的长，再根据平行四边形的判定定理，证明四边形AODE为平行四边形，由矩形的判定定理，可证得四边形AODE是矩形，则该矩形的对角线相等，即AD=OE，可得出答案。18.【答案】解： AEF+DEC=90，DCE+DEC=90，AEF=DCE， CE=EF,EAF=EDC,CD=EA,DE=2，AD+DC=8,DE+2AE=8，AE=3 【考点】全等三角形的判定与性质，矩形的性质 【解析】【分析】根据矩形的性质及垂直的定义，可得AEF+DEC=90，DCE+DEC=90，就可证得AEF=DCE，再利用AS
23、A可证得AEF和DCE全等，利用全等三角形的性质得出CD=EA，然后由DE=2，AD+DC=8，求出AE的长。19.【答案】解：M、N分别是边AD、BC的中点，AB=8，AD=12，AM=DM=6，四边形ABCD为矩形，A=D=90，BM=CM=10，E、F分别是线段BM、CM的中点，EM=FM=5，EN，FN都是BCM的中位线，EN=FN=5，四边形ENFM的周长为5+5+5+5=20 【考点】三角形中位线定理，矩形的性质 【解析】【分析】根据M是边AD的中点，得AM=DM=6，根据勾股定理得出BM=CM=10，再根据E、F分别是线段BM、CM的中点，即可得出EM=FM=5，再根据N是边BC
24、的中点，得出EM=FN，EN=FM，从而得出四边形四边形ENFM的周长。20.【答案】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，AB=CDBE=AB，BE=CD四边形BECD是平行四边形AD=BC，AD =DE，BC=DE平行四边形BECD是矩形（2）解：如下图，连接AC，AD=4，CD=2，四边形ABCD是平行四边形，四边形BECD是矩形，AB=BE=CD=2,BC=AD=4，AEC=90，AE=AB+BE=4，在RtBCE中，CE= ，在RtACE中，AC= . 【考点】矩形的判定与性质 【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，可证得ABCD，AB=CD再由BE=AB得出BE=
25、CD，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形BECD是平行四边形，然后证明BC=DE，继而可证得结论。（2）根据平行四边形的性质和矩形的性质，可求出BC、BE的长，AEC=90，再利用勾股定理求出CE的长，然后在RtACE中，利用勾股定理求出AC的长。21.【答案】（1）证明：ADBC，ABC+BAD=180，ABC=90，BAD=90，BAD=ABC=ADC=90，四边形ABCD是矩形（2）解：作OFBC于F四边形ABCD是矩形，CD=AB=2，BCD=90，AO=CO，BO=DO，AC=BD，AO=BO=CO=DO，BF=FC，OF= CD=1，DE平分ADC，ADC=9
26、0，EDC=45，在RtEDC中，EC=CD=2，OEC的面积= ECOF=1 【考点】三角形中位线定理，矩形的判定与性质，等腰直角三角形 【解析】【分析】（1）要证四边形ABCD是矩形，题中已知两个角是直角，只需再证明一个角是直角，由ADBC，ABC=90，可证得BAD=90，从而可证得结论。（2）作OFBC于F，易证OF是ABC的中位线，利用三角形中位线定理可求出OF的长，再证明DEC是等腰直角三角形，就可求出EC的长，然后利用三角形的面积公式，可解答。22.【答案】证明：BD，CE分别是AC，AB边上的中线AE AB，AD AC，ED是ABC的中位线EDBC，ED BC.点M，N分别为线
27、段BO和CO的中点OMBM，ONCN，MN是OBC的中位线MNBC，MN BCEDMN，EDMN四边形EDNM是平行四边形OEON，ODOM.ABACAEAD.在ABD和ACE中，ABDACEBDCEEOONCNBMOMOD3OE3OM，即OEOM.又DM2OM，EN2OE，DMEN四边形EDNM是矩形 【考点】全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，矩形的判定与性质 【解析】【分析】利用已知证明ED是ABC的中位线，MN是OBC的中位线，可证得EDBC，EDMN，EDMN，利用平行四边形的判定定理，可证得四边形EDNM是平行四边形，再证明ABDACE，可得出BDCE，然后证明DMEN，就可证得结论。
