1、课时素养评价 六必要条件与充分条件 (15分钟35分)1.(2020天津高考)设aR,则“a1”是“a2a”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题指南】首先求解一元二次不等式,然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立.【解析】选A.解一元二次不等式a2a可得:a1或a1”是“a2a”的充分不必要条件.2.有以下说法,其中正确的个数为()(1)“m是自然数”是“m是整数”的充分条件.(2)“两个三角形对应角相等”是“这两个三角形全等”的必要条件.(3)“(a+b)(a-b)=0”是“a=b”的必要条件.A.0个B.1个C.2个D.3个【解析
2、】选D.(1)由于“m是自然数”“m是整数”,因此“m是自然数”是“m是整数”的充分条件.(2)由三角形全等可推出这两个三角形对应角相等,所以“两个三角形对应角相等”是“这两个三角形全等”的必要条件.(3)由(a+b)(a-b)=0,得:|a|=|b|,推不出a=b,由a=b,能推出|a|=|b|,故“(a+b)(a-b)=0”是“a=b”的必要条件.3.已知集合A=1,a,B=1,2,3,则“a=3”是“AB”的()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件【解析】选A.当a=3时,A=1,3,故AB,若ABa=2或a=3,不一定有a=3,故“a=3”是“AB”的充
3、分条件.4.下列不等式:x1;0x1;-1x0;-1x1.其中,可以是1的一个充分条件的所有序号为,可以是1的一个必要条件的所有序号为.【解析】由于1,即-1x1,-1x1x1;0x1-1x1;-1x0-1x1;-1x1-1x1,所以是1的一个充分条件,是1的一个必要条件.答案:5.从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空:(1)“ax2+bx+c=0有实根”是“ac0”的.(2)“ABCABC”是“ABCABC”的.【解析】(1)因为ax2+bx+c=0有实根,所以=b2-4ac0,ac0不一定成立;但ac0时,=b2-4ac0一定成立,所以“ax2+bx+c=0有实根”是“ac1,q
4、:x21.(3)p:b2=ac,q:=.(4)p:AB=A,q:UBUA.【解析】(1)数a能被6整除,则一定能被3整除,反之不一定成立.即pq,q不能推出p,所以p是q的充分条件,但p不是q的必要条件.(2)因为x21x1或x-1,所以pq,且q不能推出p.所以p是q的充分条件,但p不是q的必要条件.(3)b2=ac不能推出=,如b=0,c=0时,b2=ac,而,无意义.但=b2=ac,所以p是q的必要条件,但p不是q的充分条件.(4)画出Venn图(如图).结合图形可知,AB=AABUBUA,反之也成立,所以p是q的充分条件,且p是q的必要条件. (30分钟60分)一、单选题(每小题5分,
5、共20分)1.在如图电路中,条件p:开关A闭合,条件q:灯泡B亮,则p是q的()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.若开关A闭合,则灯泡B亮,所以pq;若灯泡B亮,则开关A闭合或开关C闭合,所以q不能推出p,所以p是q的充分条件,故选A.2.设U为全集,A,B是集合,则“存在集合C使得AC,BUC”是“AB=”的()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.依题意,若AC,则UCUA,当BUC,可得AB=;若AB=,不妨令C=A,显然满足AC,BUC,故满足条件的集合C是存在的.所以“存在集合C使得AC,BUC”是“AB=”
6、的充要条件.3.若“-1x-m1”成立的充分不必要条件是“x”,则实数m的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选B.-1x-m1m-1xm+1,由题意得“x”是“-1x-m1”成立的充分不必要条件,所以 x|m-1x0”的充分条件的是()A.a0,b0B.a0,b0,b|b|【解析】选ACD.问题是“谁”是“a+b0”的充分条件;因为“a0,b0”“a+b0”,“a0,b0”,“a=3,b=-2”“a+b0”.“a0,b|b|”“a+b0”,所以A,C,D中的条件均是“a+b0”的充分条件,B中的条件不是“a+b0”的充分条件.6.对任意实数a,b给出下列命题,其中真命题是()A.“|a|=
7、|b|”是“a=b”的充要条件B.“ab”是“a2b2”的充分条件C.“a5”是“ab,但a2=b2;所以“ab”推不出“a2b2”,所以B错误;“a3”可推出“a0是这个方程有实根的必要条件D.=b2-4ac0方程ax2+bx+c=0(a0)有实根;D正确,=b2-4ac4,b4,b5时,函数y=(k-4)x+b-5的图象如图所示.显然图象交y轴于负半轴,交x轴于正半轴.由一次函数y=(k-4)x+b-5的图象交y轴于负半轴,交x轴于正半轴,即x=0,y=b-50,所以b0,因为b4.故填“充要”.答案:充要四、解答题(每小题10分,共20分)9.已知p,q都是r的必要条件,s是r的充分条件
8、,q是s的充分条件,那么:(1)s是q的什么条件?(2)r是q的什么条件?(3)p是q的什么条件?【解题指南】可将r,p,q,s的关系用图表示,然后利用关系图解答.【解析】r,p,q,s的关系如图,(1)因为qs,srq,所以s是q的充分条件,同时s是q的必要条件.(2)因为rq,qsr,所以r是q的充分条件,同时r是q的必要条件.(3)因为qsrp,pq,所以p是q的必要条件,p不是q的充分条件.10.(2020青岛高一检测)已知P=x|-2x10,非空集合S=x|1-mx1+m.(1)若xP是xS的必要条件,求出m的取值范围.(2)是否存在实数m,使xP是xS的充要条件.【解析】(1)因为
9、xP是xS的必要条件,所以SP,所以解得0m3,所以m的取值范围是m|0m3.(2)xP是xS的充分条件时,PS,所以解得m9,由(1)知,xP是xS的必要条件是0m3,由此知xP是xS的充要条件时,m的值不存在.1.函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是()A.m=-2B.m=1C.m=-1D.m=0【解析】选A.当m=-2时,f(x)=x2-2x+1,其图象关于直线x=1对称,反之也成立,所以f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是m=-2.2.已知ab0,求证:a3+b3+ab-a2-b2=0是a+b=1的充要条件.(提示:a3+b3=(a+
10、b)(a2-ab+b2)【证明】设p:a3+b3+ab-a2-b2=0,q:a+b=1.(1)充分性(pq):因为a3+b3+ab-a2-b2=0,所以(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0,即(a2-ab+b2)(a+b-1)=0,因为ab0,a2-ab+b2=+b20,所以a+b-1=0,即a+b=1.(2)必要性(qp):因为a+b=1,所以b=1-a,所以a3+b3+ab-a2-b2=a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0,综上所述,a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
11、【补偿训练】设x,yR,求证|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy0.【证明】设p:xy0,q:|x+y|=|x|+|y|.(1)充分性(pq):如果xy0,则有xy=0和xy0两种情况,当xy=0时,不妨设x=0,则|x+y|=|y|,|x|+|y|=|y|,所以等式成立.当xy0时,即x0,y0或x0,y0,y0时,|x+y|=x+y,|x|+|y|=x+y,所以等式成立.当x0,y0时,|x+y|=-(x+y),|x|+|y|=-x-y,所以等式成立.总之,当xy0时,|x+y|=|x|+|y|成立.(2)必要性(qp):若|x+y|=|x|+|y|且x,yR,则|x+y|2=(|x|+|y|)2,即x2+2xy+y2=x2+y2+2|x|y|,所以|xy|=xy,所以xy0.由(1)(2)可知,xy0是等式|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件.
