1、广东省汕头市澄海凤翔中学2015届高三上学期第二次段考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1（5分）设集合U=1，2，3，4，A=1，2，B=2，4，则U（AB）=（）A2B3C1，4D1，3，42（5分）复数（i是虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3（5分）已知向量=（1，2），=（m，1），且，则实数m的值为（）A2BCD24（5分）若实数x，y满足条件，则x2y的最小值是（）A3B2C1D05（5分）已知函数f（x）=，则f（f（）的值为（）ABCD6（5分）设a，
2、bR，则“（ab）a20”是“ab”的（）A必要不充分条件B充分不必要条件C既不充分也不必要条件D充要条件7（5分）设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A若mn，m，则nB若，m，则mC若，m，则mD若mn，m，n，则8（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S=（）A2013B2014C1D29（5分）已知双曲线=1（m0，n0）的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2=16x的焦点重合，则mn的值为（）A4B12C16D4810（5分）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类“，记为k，即k=5n+k|nZ，k=0，1，2，3，4给出如下三个结论：
3、2013322Z=01234；其中，正确结论的个数为（）A0B1C2D3二、填空题（本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分）（一）必做题（1113题）11（5分）在ABC中，若b=3，c=1，cosA=，则a=12（5分）一个袋中装有2只红球、3只绿球，从中随机抽取3只球，则恰有1只红球的概率是13（5分）若两个正实数x，y满足=1，则x+2y的最小值是坐标系与参数方程选做题14（5分）在极坐标系中，点到直线cos=1的距离是几何证明选讲选做题15如图3，AB是圆O的直径，PB、PD是圆O的切线，切点为B、C，ACD=30则=三、解答题（本大题共6小题，共80分解答应写出文字说
4、明、演算步骤或推理过程）16（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x1，xR（1）求f（x）的最大值；（2）若点P（3，4）在角的终边上，求的值17（12分）某公司近年来科研费用支出x万元与公司所获得利润y万元之间有如下的统计数据：x2345y18273235（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+；（2）试根据（1）求出的线性回归方程，预测该公司科研费用支出为10万元时公司所获得的利润参考数据：218+327+432+535=42018（14分）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，
5、M是PD的中点，AB=2，BAD=60（1）求证：OM平面PAB；（2）求证：平面PBD平面PAC；（3）当四棱锥PABCD的体积等于时，求PB的长19（14分）已知数列an是等差数列，a2=6，a5=12，数列bn的前n项和是Sn，且Sn+bn=1（1）求数列an的通项公式；（2）求证：数列bn是等比数列；（3）记cn=，cn的前n项和为Tn，若Tn对一切nN+都成立，求最小正整数m20（14分）已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的一个顶点是点（0，），离心率为，左、右焦点分别为F1和F2（1）求椭圆方程；（2）点M在椭圆上，求MF1F2面积的最大值；（3）试探究椭圆上是否存在一点P，使，若
6、存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由21（14分）已知函数 f（x）=+3a（a+2）x+1，aR（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3）处的切线方程；（2）当a=1时，求函数y=f（x）在0，4上的最大值和最小值；（3）当函数y=f（x）在（0，4）上有唯一的零点时，求实数a的取值范围广东省汕头市澄海凤翔中学2015届高三上学期第二次段考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1（5分）设集合U=1，2，3，4，A=1，2，B=2，4，则U（AB）=（）A2B3C1，4D1，
7、3，4考点：交、并、补集的混合运算 专题：计算题分析：根据两个集合的并集的定义求得AB，再根据补集的定义求得U（AB）解答：解：集合U=1， 2，3，4，A=1，2，B=2，4，AB=2，U（AB）=1，3，4，故选D点评：本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集、并集的定义和求法，属于基础题2（5分）复数（i是虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：将复数的分母实数化，即可判断出答案解答：解：=3+4i，在复平面内对应的点P（3，4），为第一象限内的点，故选：A点评：本题考查复数代数形
8、式的乘除运算，属于基础题3（5分）已知向量=（1，2），=（m，1），且，则实数m的值为（）A2BCD2考点：平行向量与共线向量 专题：平面向量及应用分析：直接由向量平行的坐标表示列式求解m的值解答：解：由向量=（1，2），=（m，1），且，1（1）（2）m=0，解得：m=故选：C点评：本题考查了平行向量与共线向量，考查了向量平行的坐标表示，是基础的计算题4（5分）若实数x，y满足条件，则x2y的最小值是（）A3B2C1D0考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可解答：解：设z=x2y，则y=，作出不等式组对应的平面区
9、域如图（阴影部分）：平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点A时，直线y=的截距最大，此时z最小，由，解得，代入目标函数z=x2y，得z=12=3，目标函数z=x2y的最小值是3故选：A点评：本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法5（5分）已知函数f（x）=，则f（f（）的值为（）ABCD考点：函数的值 专题：函数的性质及应用分析：利用分段函数直接求出f（），然后求解f（f（）的值解答：解：函数f（x）=，f（）=，f（f（）=f（）=故选：A点评：本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力6（5分）设a，bR，则“（a
10、b）a20”是“ab”的（）A必要不充分条件B充分不必要条件C既不充分也不必要条件D充要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可解答：解：若（ab）a20，则a0且ab0，即ab成立当a=0，b=1时，满足ab，但（ab）a20不成立，“（ab）a20”是“ab”的充分不必要条件故选：B点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键7（5分）设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A若mn，m，则nB若，m，则mC若，m，则mD若mn，m，n，则考点：命
11、题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系 专题：常规题型分析：A选项mn，m，则n，可由线面平行的判定定理进行判断；B选项，m，则m，可由面面垂直的性质定理进行判断；C选项，m，则m可由线面的位置关系进行判断；D选项ab，a，b，则，可由面面垂直的判定定理进行判断；解答：解：A选项不正确，因为n是可能的；B选项不正确，因为，m时，m，m都是可能的；C选项不正确，因为，m时，可能有m；D选项正确，可由面面垂直的判定定理证明其是正确的故选D点评：本题考查线面平行、线面垂直以及面面垂直的判断，主要考查空间立体的感知能力以及组织相关知识进行判断证明的能力，属基
12、础题8（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S=（）A2013B2014C1D2考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：根据框图流程依次计算程序运行的结果，当S=2时，S=S+sin（）=S，由此可得答案解答：解：由程序框图知：第一次运行S=1+sin（）=2，i=1；第二次运行S=2+sin（）=2，i=2；第三次运行S=2+sin（）=2，i=3；直到i=2013时，不满足条件i2013，程序运行终止，输出S=2故选：D点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图流程依次求解运行的结果是解答此类问题的关键9（5分）已知双曲线=1（m0，n0）的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2=16x的
13、焦点重合，则mn的值为（）A4B12C16D48考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：先根据抛物线方程求得抛物线的焦点，进而可知双曲线的焦距，根据双曲线的离心率求得m，最后根据m+n=16，求得n，则答案可得解答：解：抛物线y2=16x的焦点为（4，0），则双曲线的焦距为8，则有m+n=16，双曲线=1（m0，n0）的离心率为2，e=2由解得m=4，n=12，mn=48故选：D点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征解题的关键是对圆锥曲线的基本性质熟练掌握，属于基础题10（5分）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类“，记为k，即k=5n+k|nZ
14、，k=0，1，2，3，4给出如下三个结论：2013322Z=01234；其中，正确结论的个数为（）A0B1C2D3考点：命题的真假判断与应用 专题：新定义分析：由2013和2除以5得到的余数判断命题的真假；由于所有的整数除以5得到的余数只有0，1，2，3，4五种情况，所以可以断定命题真假解答：解：因为2013=4025+3，所以20133，则正确；2=15+3，所以23，所以不正确；因为整数集中的数被5除可以且只可以分成五类，所以正确所以正确结论的个数有2个故选C点评：本题是新定义题，解答的关键是理解题目意思，属基础题二、填空题（本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分）（一）必
15、做题（1113题）11（5分）在ABC中，若b=3，c=1，cosA=，则a=2考点：余弦定理 专题：解三角形分析：在ABC中，若b=3，c=1，cosA=，则由余弦定理可得a2 的值，从而求得a的值解答：解：在ABC中，若b=3，c=1，cosA=，则由余弦定理可得a2=b2+c22bccosA=9+16=8，故a=2，故答案为 2点评：本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题12（5分）一个袋中装有2只红球、3只绿球，从中随机抽取3只球，则恰有1只红球的概率是考点：等可能事件的概率 专题：计算题；概率与统计分析：确定装有2只红球、3只绿球，从中随机抽取3只球的情况，恰有1只红球的情况，根据概
16、率公式即可求得答案解答：解：装有2只红球、3只绿球，从中随机抽取3只球，共有=10种情况，恰有1只红球，共有=6种情况，恰有1只红球的概率是=故答案为：点评：此题考查了概率公式的应用注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比13（5分）若两个正实数x，y满足=1，则x+2y的最小值是8考点：基本不等式 专题：不等式的解法及应用分析：根据=1可得x+2y=（x+2y）（），然后展开，利用基本不等式可求出最值，注意等号成立的条件解答：解：两个正实数x，y满足=1，x+2y=（x+2y）（）=4+4+2=8，当且仅当时取等号即x=4，y=2，故x+2y的最小值是8故答案为：8点评：本题主要考
17、查了基本不等式的应用，解题的关键是“1”的活用，同时考查了运算求解的能力，属于基础题坐标系与参数方程选做题14（5分）在极坐标系中，点到直线cos=1的距离是考点：简单曲线的极坐标方程 专题：选作题；坐标系和参数方程分析：把极坐标方程转化为普通方程，极坐标转化为直角坐标，利用点到直线的距离公式求解解答：解：直线l的方程是cos=1，它的直角坐标方程为：x=1，点的直角坐标为（，），所以点到直线l的距离为：1+=故答案为：点评：本题是基础题，考查极坐标与直角坐标方程的转化，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力几何证明选讲选做题15如图3，AB是圆O的直径，PB、PD是圆O的切线，切点为B、C，
18、ACD=30则=考点：与圆有关的比例线段 专题：直线与圆分析：连结OC，由题设条件推导出AOC=2ACD=60，PCO=90，POC=60，OPC=30，由此能求出的值解答：解：连结OC，AB是圆O的直径，PB、PD是圆O的切线，切点为B、C，ACD=30，AOC=2ACD=60，PCO=90，POC=60，OPC=30，设OC=a，则AC=OC=a，OP=2a，PC=，=故答案为：点评：本题考查与圆有关的两条线段的比值的求法，是中档题，解题时要注意弦切角定理的合理运用三、解答题（本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）16（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx
19、+2cos2x1，xR（1）求f（x）的最大值；（2）若点P（3，4）在角的终边上，求的值考点：二倍角的余弦；任意角的三角函数的定义；两角和与差的正弦函数 专题：三角函数的求值分析：（1）先利用辅助角公式对已知函数化简，结合正弦函数的性质即可求解函数的最大值（2）结合（1）及诱导公式对已知函数化简，结合三角函数的定义即可求解解答：解：（1）f（x）=sin2x+cos2x（2分）=（5分）所以f（x）的最大值为（6分）（2）由（1）得（7分）=（8分）P（3，4）在角的终边上，（10分）所以（11分）=（12分）点评：本题主要考查了辅助角公式，诱导公式及三角函数的定义的简单应用，属于基础试题1
20、7（12分）某公司近年来科研费用支出x万元与公司所获得利润y万元之间有如下的统计数据：x2345y18273235（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+；（2）试根据（1）求出的线性回归方程，预测该公司科研费用支出为10万元时公司所获得的利润参考数据：218+327+432+535=420考点：线性回归方程 专题：计算题；概率与统计分析：（1）根据表中所给的数据，做出利用最小二乘法所用的四个量，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程（2）把所给的x的值，代入上一问求出的线性回归方程中，做出对应的y的值，这是一个估计值，是一个预报值解答：解：（1
21、）=3.5，=28（2分）=218+327+432+535=420，=54（5分）b=5.6（7分）a=b=8.4（8分）y关于x的线性回归方程是y=5.6x+8.4（9分）（2）当x=10时，y=5.610+8.4=64.4（万元）（11分）答：预测该公司科研费用支出为10万元时公司所获得的利润为64.4万元（12分）点评：本题考查线性回归方程的求法和应用，解题的关键是细心地做出线性回归方程要用的系数18（14分）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，AB=2，BAD=60（1）求证：OM平面PAB；（2）求证：平面P
22、BD平面PAC；（3）当四棱锥PABCD的体积等于时，求PB的长考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定 专题：综合题；空间位置关系与距离分析：（1）利用三角形中位线的性质，证明线线平行，从而可得线面平行；（2）先证明BD平面PAC，即可证明平面PBD平面PAC；（3）利用四棱锥PABCD的体积等于时，求出四棱锥PABCD的高为PA，利用PAAB，即可求PB的长解答：（1）证明：在PBD中，O、M分别是BD、PD的中点，OM是PBD的中位线，OMPB，（1分）OM平面PAB，PB平面PAB，（3分）OM平面PAB（4分）（2）证明：底面ABCD是菱形，BDAC，
23、（5分）PA平面ABCD，BD平面ABCD，BDPA（6分）AC平面PAC，PA平面PAC，ACPA=A，BD平面PAC，（8分）BD平面PBD，平面PBD平面PAC（10分）（3）解：底面ABCD是菱形，AB=2，BAD=60，菱形ABCD的面积为，（11分）四棱锥PABCD的高为PA，得（12分）PA平面ABCD，AB平面ABCD，PAAB（13分）在RtPAB中，（14分）点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力19（14分）已知数列an是等差数列，a2=6，a5=12，数列bn的前n项和是
24、Sn，且Sn+bn=1（1）求数列an的通项公式；（2）求证：数列bn是等比数列；（3）记cn=，cn的前n项和为Tn，若Tn对一切nN+都成立，求最小正整数m考点：数列的求和；等比关系的确定 专题：等差数列与等比数列分析：（1）由已知条件利用等差数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出an的通项公式（2）由已知得当n=1时，当n2时，Sn+bn=1，Sn1+bn1=1，从而能够证明bn是以为首项，公比为的等比数列（3）由bn=2（）n，得cn=，由此利用裂项求和法能求出最小正整数m解答：（1）解：设an的公差为d，则a2=a1+d=6，a5=a1+4d=12，解得：a1=4，d=2
25、，an=4+（n1）2=2n+2（2分）（2）证明：数列bn的前n项和是Sn，且Sn+bn=1，当n=1时，解得b1=，（4分）当n2时，Sn+bn=1，Sn1+bn1=1，两式相减，得=0，（5分），（6分）bn是以为首项，公比为的等比数列（7分）（3）解：由（2）可知：bn=2（）n，（8分）cn=，Tn=+（）=11（12分）Tn对一切nN+都成立，解得m2015，最小正整数m=2015（14分）点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查等比数列的证明，考查满足条件的最小正整数的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用20（14分）已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的一个顶点是点（
26、0，），离心率为，左、右焦点分别为F1和F2（1）求椭圆方程；（2）点M在椭圆上，求MF1F2面积的最大值；（3）试探究椭圆上是否存在一点P，使，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由考点：向量在几何中的应用；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质 专题：综合题；存在型；反证法分析：（1）由题意设出椭圆标准方程，根据顶点的坐标和离心率得，根据a2=b2+c2求出a的值，即求出椭圆标准方程；（2）根据（1）求出的椭圆标准方程，求出点M纵坐标的范围，即求出三角形面积的最大值；（3）先假设存在点P满足条件，根据向量的数量积得，根据椭圆的焦距和椭圆的定义列出两个方程，求出的值，结合（2）中三角形面积的
27、最大值，判断出是否存在点P解答：解：（1）由题意设椭圆标准方程为由已知得，（2分）则，解得a2=6（4分）所求椭圆方程为（5分）（2）令M（x1，y1），则（7分）点M在椭圆上，故|y1|的最大值为（8分）当时，的最大值为（9分）（3）假设存在一点P，使，（10分）PF1F2为直角三角形，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4 （11分）又 （12分）2，得2|PF1|PF2|=20，（13分）即=5，由（1）得最大值为，故矛盾，不存在一点P，使（14分）点评：本题考查了椭圆方程的求法以及椭圆的性质、向量数量积的几何意义，利用a、b、c、e几何意义和a2=b2+c2求出a和b的值，根据
28、椭圆上点的坐标范围求出相应三角形的面积最值，即根据此范围判断点P是否存在，此题综合性强，涉及的知识多，考查了分析问题和解决问题的能力21（14分）已知函数 f（x）=+3a（a+2）x+1，aR（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3）处的切线方程；（2）当a=1时，求函数y=f（x）在0，4上的最大值和最小值；（3）当函数y=f（x）在（0，4）上有唯一的零点时，求实数a的取值范围考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：计算题；函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用分析：（1）求出导数，切线的斜率，由点斜式方程，即可得到切线方程；（2）求
29、出a=1的函数的导数，求出单调区间和极值，以及端点的函数值，即可得到最值；（3）求出导数，分解因式，讨论当x1=x2时，当x1x2时，当x1x2时，函数的零点与区间的关系，即可得到a的取值范围解答：解：（1）当a=0时，f（3）=1，f（x）=x22x，曲线在点（3，1）处的切线的斜率k=f（3）=3所求的切线方程为y1=3（x3），即y=3x8，（2）当a=1时，函数，f（x）=x2+2x3，令f（x）=0得x1=1，x2=3，x20，4，当x（0，1）时，f（x）0，即函数y=f（x）在（0，1）上单调递减，当x（1，4）时，f（x）0，即函数y=f（x）在（1，4）上单调递增，函数y=f
30、（x）在0，4上有最小值，又；当a=1时，函数y=f（x）在0，4上的最大值和最小值分别为（3）f（x）=x22（2a+1）x+3a（a+2）=（x3a）（xa2）x1=3a，x2=a+2，当x1=x2时，3a=a+2，解得a=1，这时x1=x2=3，函数y=f（x）在（0，4）上有唯一的零点，故a=1为所求；当x1x2时，即3aa+2a1，这时x1x23，又函数y=f（x）在（0，4）上有唯一的零点，当x1x2时，即a1，这时x1x23又函数y=f（x）在（0，4）上有唯一的零点，综上得，当函数y=f（x）在（0，4）上有唯一的零点时，a的取值范围是：2a0或或a=1点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间、求极值和最值，考查函数的零点的判断，考查分类讨论的思想方法和运算能力，属于中档题和易错题
