1、高考模拟考试卷（5）一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）已知集合，若，则A2B1C0D2（5分）欧拉恒等式：被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底数、圆周率、虚数单位、自然数1和0完美地结合在一起，它是在欧拉公式：中，令得到的根据欧拉公式，在复平面内对应的点在A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3（5分）数列是等比数列，首项为1，前三项和为7，则前五项和等于A31B61C31或61D31或814（5分）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则该双曲线的离心率为ABCD25（5分）已知
2、，都大于零且不等于1，则“”是“”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6（5分）接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，有不会感染这种病毒，若有4人接种了这种疫苗，则最多1人被感染的概率为ABCD7（5分）已知抛物线的焦点为，直线过与抛物线交于、两点，且点在第一象限，则直线的斜率为ABC1D28（5分）设数列满足，且对于任意，都存在正整数使得，则实数的最大值为ABC2D3二、 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得
3、0分。9（5分）若，则ABCD10（5分）已知数列是等比数列，下列结论正确的为A若，则B若，则C若，则D若，则11（5分）南宋数学家杨辉所著的详解九章算法商功中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，设各层球数构成一个数列，则ABCD12（5分）如图，在正方体中，分别是棱，的中点，则下列结论正确的是A平面B平面C平面D平面三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）函数的图象在点，（1）处的切线的斜率为14（5分）能使“函数在区间上不是单调函数，且在区间上的函数值的集合为，”是真命题的一个区间为15（5分）已知抛物线
4、的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则的值是16（5分）已知为抛物线的一条长度为8的弦，当弦的中点离轴最近时，直线的斜率为四、 解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10分）在中，角，所对边分别为，点是中点，求和18（12分）已知数列的前项和为，（1）证明：数列为等比数列，并求出；（2）求数列的前项和19（12分）如图，在直三棱柱中，分别是棱，的中点，（1）证明：；（2）求二面角的余弦值20（12分）现有甲、乙两个足球队打比赛，甲队每场赢乙队的概率为若甲、乙两个足球队共打四场球赛，甲队恰好赢两场的概率为，当时，取得最大值（1）求；（2）设
5、，每场球赛甲队输给乙队的概率是甲队与乙队打平局的概率的两倍，每场比赛，胜方将获得奖励5万元，平局双方都将获得奖励1万元，败方将无奖励经过两场比赛后，设甲队获得奖励总额与乙队获得奖励总额之差为万元，求的分布列及其数学期望21（12分）已知椭圆长轴的顶点与双曲线实轴的顶点相同，且的右焦点到的渐近线的距离为（1）求与的方程；（2）若直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，且经过点，与交于，两点，与交于，两点，求22（12分）青岛胶东国际机场的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点，处的曲率已知函数，若，则曲线在点，（1）处的
6、曲率为（1）求；（2）若函数存在零点，求的取值范围；（3）已知，证明：高考模拟考试卷（5）答案1解：，解得故选：2解：欧拉公式：中根据欧拉公式，因为，所以在复平面内对应的点在第二象限，故选：3解：由题意得，解得或，当时，前五项和为，当时，前五项和为故选：4解：双曲线的一条渐近线的倾斜角为，它的斜率：，所以，所以，解得故选：5解：，都大于零且不等于1，若时，则，所以，若时，则，所以，所以“”可以推出“”，满足充分性；因为，所以，或，只能推出，不能推出，不满足必要性；所以“”是“”的充分不必要条件故选：6解：由题意可得随机变量服从二项分布，则最多1人被感染的概率为，故选：7解：在第一象限，且，直线
7、的斜率存在，且，设直线的方程为，联立，得，即，由解得，代入中，得，（舍负），故选：8解：数列满足，且对于任意，都存在正整数使得，若数列是递增数列，则或，存在正整数使得，故需，此时的最大值为3，若数列是递减数列，则，存在正整数使得，故需，此时的最大值为0，综上可得：的最大值为3，故选：9解：，则，故正确；，故错误；，故正确；，故错误故选：10解：数列是等比数列，对于，即，可得，则，故正确；对于，可得，由于，当时，当时，故不正确；对于，可得，所以，故，正确；对于，由，可得，可得，所以，故不正确故选：11解：由题意可知，故，所以，故选项错误；因为，故选项正确；因为，故选项正确；因为，所以，故选项错误
8、故选：12解：设正方体的棱长为2，以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系，则，0，2，1，0，2，0，与不垂直，则平面错误，故错误；，有，平面，故正确；取中点，连接，可得，平面，平面，得平面，同理平面，又，平面平面，则平面，故正确；连接，可得，又，平面，平面，平面，故正确故选：13解：函数，所以，故（1）故答案为：8114解：，其图像如图所示，易得，（1），（2），结合图像可知，函数在区间上符合条件故答案为：15解：设与轴的交点为，过向准线作垂线，垂足为，又，故答案为：216解：由题意得抛物线的准线方程为，过作于，过作于，设弦的中点为，过作于，则，设抛物线的焦点为，则，即（当且
9、仅当，三点共线时等号成立），所以，解得，即弦的中点到轴的最短距离为：所以点的纵坐标为，所以直线的斜率，此时，当弦的中点离轴最近时，直线的斜率为，故答案为：17解：中，所以，所以，又因为，所以，由，因为，为锐角，所以，中，由余弦定理得，由正弦定理，即，所以，因为，所以18（1）证明：，又，数列是首项为3，公比为3的等比数列，且，；（2）解：由（1）可得：，又，当时，当时，综上，19（1）证明：连结，在直线棱柱中，因为，分别是棱，的中点，所以，且，所以四边形是平行四边形，故，又因为，所以，因为，所以，因此，所以，又因为，平面，所以平面，因为平面，所以；（2）解：因为平面，平面，所以，由（1）可知，
10、又因为，平面，所以平面，又平面，故，所以，两两垂直，建立空间直角坐标系如图所示，则，0，1，0，1，所以，设平面的一个法向量为，则有，令，则，故，因为轴平面，所以取平面的一个法向量为，所以，又因为二面角是锐二面角，所以二面角的余弦值为20解：（1），因为当，所以当时，取得最大值，则；（2）因为，每场球赛甲队输给乙队的概率是甲队与乙队打平局的概率的两倍，所以每场球赛甲队输的概率为，两队平局的概率为，当甲连赢两场时，且，当甲赢一场平一场时，且，当甲赢一场输一场或两队连平两场时，且，当甲输一场平一场时，且，当甲连输两场时，且，所以的分布列为：1050故的数学期望为21解：（1）因为椭圆长轴的顶点与双曲线实轴的顶点相同，所以，双曲线的渐近线为，即，所以右焦点到渐近线的距离为，又，由解得，所以椭圆的方程为，双曲线的方程为（2）设直线倾斜角为，则，所以，所以直线的方程为，设，联立，得，所以，所以，联立，得，所以，所以，所以22（1）解：，若，则，因为曲线在点，（1）处的曲率为，所以，又，所以（2）解：由（1）可得，若函数存在零点，则方程在上有解，即在上有解，当时，单调递减，当时，单调递增，所以（1），当且仅当时取等号，从而，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时等号成立，当时，所以，解得，即实数的取值范围是，（3）证明：由（2）得，则，则，又，则，所以
