1、2022年高考数学复习新题速递之数列（2021年9月）一选择题（共12小题）1（2021春千阳县校级月考）已知数列9，99，999，9999，写出an的通项公式（）Aan10n1Ban10n2CD2（2021春莲花县校级月考）Sn是等差数列an的前n项和，且S100S98，S100S99则Sn0时，n的最大值为（）A197B198C199D2003（2021春赛罕区校级期中）等差数列an中，S160，S180，则数列an各项中取值为正数的有（）A8项或9项B7项或8项C17项或18项D16项或17项4（2021秋包头月考）若等差数列an中，a12，am+nam+an，则a4+a5+a12（）A
2、136B144C162D1705（2021西城区校级开学）已知数列满足a11，a2a32，a4a5a63，a7a8a9a104，则a2020（）A45B46C64D656（2021成都开学）已知等差数列an中，a35，a1111，记数列an的前n项和为Sn，则S13的值为（）A42B39C36D337（2021春万载县校级期末）正项等比数列an满足a2a9+a4a716，则log2a1+log2a2+log2a10（）A15B14C13D128（2021秋安徽月考）九章数学中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题“今有墙厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相
3、逢，各穿几何？”题意是“有两只老鼠同时从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍，老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”如果墙厚20尺，则这两只老鼠相逢所需天数至少为（）A4天B5天C6天D7天9（2021秋南昌月考）已知数列an满足，则an的前20项和S20（）ABCD10（2021秋北京月考）已知数列an满足an2n1，则an的前n项和为（）A2n1B（n+1）2Cn2D2n2111（2021秋8月份月考）若数列bn满足b1+3b2+7b3+（2n1）bn2n，则数列bn的通项公式为（）Abn2n1Bbn2n1CD12（2021四子王旗校级模拟）已知等比数列an中，a5a119a8，
4、数列bn是等差数列，且b8a8，则b3+b13（）A18B9C16D81二填空题（共5小题）13（2021日照开学）已知等差数列an满足a1+a510，a83a3，则数列an的前10项的和等于 14（2021仓山区校级模拟）已知数列an为等比数列，若数列3nan也是等比数列，则数列an的通项公式可以为 .（写出一个即可）15（2021湖北开学）已知等比数列an，bn的前n项和分别记为Sn，Tn，且，则 16（2021孟津县校级模拟）数列an和bn满足a1a22，an+2an+1an，an+bn1，2，7，bn1，4，5，则（b1a1）+（b2a2）+b2021a2021 17（2021安徽开学
5、）已知正项数列an满足a11，an2（an1+2）anan130（n2，nN*），则 三解答题（共6小题）18（2021春赤峰期末）已知等差数列an的公差不为零，a125，且a1，a11，a13成等比数列（1）求an的通项公式；（2）求a1+a4+a7+a5819（2021秋河南月考）已知数列an的前n项和为Sn，且an（1）求证：数列an是等比数列；（2）求数列的前n项和Tn20（2021春赛罕区校级期中）在an+1an+n，nan+1（n+1）an，2Sn3an2，an+2an54，a227这四个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的正整数m存在，求m的值；若不存在，说明理由问题：给
6、定数列an它的前n项和为Sn，a318，_，是否存在正整数m，使得Sm80？21（2021浙江开学）已知正项数列及其前n项和Sn满足：（1）求数列an的通项公式；（2）令，数列bn的前n项和为Tn若不等式对任意nN*都成立，求M的取值范围22（2021湖北开学）数列an的前n项和为Sn，a11，an+12Sn+1，等差数列bn的公差大于0已知S2b2+1，且b1，b2，b5成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）求数列的前n项和Tn23（2021秋浙江月考）已知公比q1的等比数列an和等差数列bn满足a12，b11，其中a2b4，且a2是b2和b8的等比中项（1）求数列an与bn的通项公式
7、；（2）记数列anbn的前n项和为Tn，若当nN*时，等式（1）nTn0恒成立，求实数的取值范围2022年高考数学复习新题速递之数列（2021年9月）参考答案与试题解析一选择题（共12小题）1（2021春千阳县校级月考）已知数列9，99，999，9999，写出an的通项公式（）Aan10n1Ban10n2CD【考点】数列的概念及简单表示法菁优网版权所有【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算【分析】数列9，99，999，9999，可以表示为：101，1021，1031，1041，即可得出an的通项公式【解答】解：数列9，99，999，9999，可以表示为：101，1021，103
8、1，1041，an的通项公式：an10n1，故选：C【点评】本题考查了数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2（2021春莲花县校级月考）Sn是等差数列an的前n项和，且S100S98，S100S99则Sn0时，n的最大值为（）A197B198C199D200【考点】等差数列的性质菁优网版权所有【专题】计算题；方程思想；定义法；等差数列与等比数列；逻辑推理；数学运算【分析】根据S100S98，S100S99分析可得数列an满足：当1n99时，an0；当n100时，an0，从而易知Sn0时，n的最大值【解答】解：an是等差数列，S100S98，S100S980，即a99+a1000
9、，S100S99，则数列an满足：当1n99时，an0；当n100时，an0，a100S100S990，故S198（a1+a198）（a99+a100）0，S199（a1+a199）199a1000，Sn0时，n的最大值为198故选：B【点评】本题考查等差数列的性质，考查学生的归纳推理和运算求解的能力，属于基础题3（2021春赛罕区校级期中）等差数列an中，S160，S180，则数列an各项中取值为正数的有（）A8项或9项B7项或8项C17项或18项D16项或17项【考点】等差数列的性质；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和菁优网版权所有【专题】方程思想；定义法；等差数列与等比数列；数学运算
10、【分析】由S170，S170，S170分类讨论，利用等差数列的性质列方程组，能求出数列an各项中取值为正数的有多少项【解答】解：若S170，则a1+a170，得a90，而S180，所以a1+a180，即a9+a100，所以a100；若S170，得a90，而S160，所以a1+a160，即a8+a90，所以a80；若S170，则a1+a170，得a90故数列an各项中取值为正数的有8项或9项故选：A【点评】本题考查等差数列中取值为正数的项数的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题4（2021秋包头月考）若等差数列an中，a12，am+nam+an，则a4+a5+a12（）
11、A136B144C162D170【考点】等差数列的通项公式菁优网版权所有【专题】计算题；转化思想；试验法；等差数列与等比数列；数学运算【分析】取m1，得an+1an+2，根据等差数列的定义得公差d2求出a4，a5，代入求和公式即可【解答】解：取m1，则an+1a1+anan+2，所以公差为2因为a4a1+3d8，a12a1+11d24，所以故选：B【点评】本题考查等差数列的定义，通项公式和求和公式，属于基础题5（2021西城区校级开学）已知数列满足a11，a2a32，a4a5a63，a7a8a9a104，则a2020（）A45B46C64D65【考点】等差数列的前n项和；归纳推理菁优网版权所有
12、【专题】计算题；转化思想；综合法；简易逻辑；逻辑推理；数学运算【分析】由已知中的数列，可得1有1个，2有2个，3有3个，n有n个，进而可得答案【解答】解：在1，2，2，3，3，3，4，4，4，4中，1有1个，2有2个，3有3个，n有n个，当n62共有1+2+3+4+621953，n63时，共有1+2+632016项，则第2021项为64故选：C【点评】本题考查了归纳推理，根据数列的前几项得出数列规律，并用规律来处理求和问题是解题关键6（2021成都开学）已知等差数列an中，a35，a1111，记数列an的前n项和为Sn，则S13的值为（）A42B39C36D33【考点】等差数列的前n项和菁优网
13、版权所有【专题】计算题；对应思想；设而不求法；等差数列与等比数列；数学运算【分析】由等差数列的性质及前n项和公式求解即可【解答】解：数列an是等差数列，a1+a13a3+a115+116，S131313339，故选：B【点评】本题考查了等差数列的性质及前n项和公式应用，同时考查了整体思想的应用，属于基础题7（2021春万载县校级期末）正项等比数列an满足a2a9+a4a716，则log2a1+log2a2+log2a10（）A15B14C13D12【考点】等比数列的性质；等比数列的通项公式菁优网版权所有【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算【分析】由题意利用等比数列的性质、对数
14、的运算法则，计算求得结果【解答】解：正项等比数列an满足a2a9+a4a716，a4a78，则log2a1+log2a2+log2a105log2（a4a7）5log285315，故选：A【点评】本题主要考查等比数列的性质、对数的运算法则的应用，属于基础题8（2021秋安徽月考）九章数学中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题“今有墙厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是“有两只老鼠同时从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍，老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”如果墙厚20尺，则这两只老鼠相逢所需天数至少为（）A4天B5天C
15、6天D7天【考点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和菁优网版权所有【专题】阅读型；转化思想；转化法；等差数列与等比数列；数学运算【分析】大老鼠每天打洞的距离成首项为1，公比为2的等比数列，小老鼠每天打洞的距离成首项为1，公比为的等比数列，利用前n项和求解即可【解答】解：大老鼠每天打洞的距离成首项为1，公比为2的等比数列，小老鼠每天打洞的距离成首项为1，公比为的等比数列故两只老鼠第n天穿行距离之和Sn+2n+1，这两只老鼠相逢所需天数至少为5天，故选：B【点评】本题考查了等比数列的性质应用，同时考查了转化能力，属于中档题9（2021秋南昌月考）已知数列an满足，则an的前20项和S20（）A
16、BCD【考点】等比数列的前n项和；数列的求和；数列递推式菁优网版权所有【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算【分析】数列an满足，可得an的前20项和S20（a1+a3+a19）+（a2+a4+a20）（2+25+217）+（22+26+218），利用等比数列的求和公式即可得出【解答】解：数列an满足，则an的前20项和S20（a1+a3+a19）+（a2+a4+a20）（2+25+217）+（22+26+218）+故选：D【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10（2021秋北京月考）已知数列an满足an2n1，则a
17、n的前n项和为（）A2n1B（n+1）2Cn2D2n21【考点】数列的求和菁优网版权所有【专题】计算题；转化思想；转化法；等差数列与等比数列；数学运算【分析】本题先根据数列an的通项公式判别出数列an是以1为首项，2为公差的等差数列，然后根据等差数列的求和公式进行计算即可得到正确选项【解答】解：由题意，可知an2n12n11+11+（n1）2，故数列an是以1为首项，2为公差的等差数列，数列an的前n项和为n1+2n2故选：C【点评】本题主要考查等差数列的判别及等差数列的求和问题考查转化思想，等差数列的定义及求和公式，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属基础题11（2021秋8月份月考）若数列b
18、n满足b1+3b2+7b3+（2n1）bn2n，则数列bn的通项公式为（）Abn2n1Bbn2n1CD【考点】数列递推式菁优网版权所有【专题】整体思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算【分析】直接求出b12即可得到答案，也可直接求解通项公式【解答】解：数列bn满足b1+3b2+7b3+（2n1）bn2n，b1212，即可排除ABC，也可得：b1+3b2+7b3+（2n11）bn12（n1），可得：（2n1）bn2bn，检验可知n1成立，故bn故选：D【点评】本题主要考查数列通项公式的求解，以及前n项和的应用，属于基础题12（2021四子王旗校级模拟）已知等比数列an中，a5a119
19、a8，数列bn是等差数列，且b8a8，则b3+b13（）A18B9C16D81【考点】等比数列的通项公式；等差数列与等比数列的综合菁优网版权所有【专题】方程思想；转化法；等差数列与等比数列；数学运算【分析】由a5a119a8，结合等比数列的中项性质解出a8的值，由等差数列的中项性质可得b3+b132b8，则答案可求【解答】解：等比数列an中，a5a11a829a8，a89（a80），a8b8，b89，等差数列bn中，b3+b132b818故选：A【点评】本题考查等差数列、等比数列的性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题二填空题（共5小题）13（2021日照开学）已知等差数列an满足a1+a5
20、10，a83a3，则数列an的前10项的和等于 100【考点】等差数列的前n项和菁优网版权所有【专题】计算题；方程思想；定义法；等差数列与等比数列；逻辑推理；数学运算【分析】设等差数列an的公差为d，根据a1+a510，a83a1可求出a1与d的值，再利用等差数列的前n项和公式，即可求出数列an的前10项的和【解答】解：设等差数列an的公差为d，由，得，解得，所以数列an的前10项的和S1010a1+d10+452100故答案为：100【点评】本题考查等差数列的前n项和公式，考查运算求解的能力，属于基础题14（2021仓山区校级模拟）已知数列an为等比数列，若数列3nan也是等比数列，则数列a
21、n的通项公式可以为 3n1.（写出一个即可）【考点】等比数列的通项公式菁优网版权所有【专题】计算题；方程思想；定义法；等差数列与等比数列；逻辑推理；数学运算【分析】利用等比数列的通项公式及其性质即可求解出an的通项公式【解答】解：设等比数列an的公比为q，令bn3nan，则b13a1，b232a1q，b333a1q2，bn是等比数列，b22b1b3，即（32a1q）2（3a1）（33a1q2），可化为q26q+90，解得q3，取a11，则an3n1（注：a1的值可任取意非零数）故答案为：3n1【点评】本题考查等比数列的通项公式及其性质，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题15（202
22、1湖北开学）已知等比数列an，bn的前n项和分别记为Sn，Tn，且，则12【考点】等比数列的性质；等比数列的前n项和菁优网版权所有【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算【分析】根据an，bn是等比数列，利用n1，n2，n3求解公比，即可求解的值【解答】解：根据题意，an，bn是等比数列，设公比分别为q，q，可得，令a13k，b14k，由，即12（1+q）20（1+q），由，即1+q+q3+3q+3q，由解得：，则12故答案为：12【点评】本题考查等比数列前n项和的性质，涉及等比数列的性质，属于中档题16（2021孟津县校级模拟）数列an和bn满足a1a22，a
23、n+2an+1an，an+bn1，2，7，bn1，4，5，则（b1a1）+（b2a2）+b2021a20216739【考点】数列递推式菁优网版权所有【专题】计算题；整体思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算【分析】由已知条件求出数列an的前8项，得到数列an的周期性an+6an，进而得到bn+6bn且b1b24，b31，b4b55，b61，b7b84，再利用周期性求出数列an前2021项的和，以及数列bn的前2021项的和，从而求出结果【解答】解：由a1a22，得a3a2a10，a4a3a22，a4a52，a60，a7a82，易得：an+6an，bn+6bn且b1b24，b31，b
24、4b55，b61，b7b84，a1+a2+a2021336（a1+a2+a6）+a1+a2+a50，又b1+b2+b2021336（b1+b2+b6）+b1+b2+b533620+196739，（b1a1）+（b2a2）+b2021a20216739故答案为：6739【点评】本题主要考查了数列的递推式，考查了数列的周期性，是中档题17（2021安徽开学）已知正项数列an满足a11，an2（an1+2）anan130（n2，nN*），则【考点】数列递推式菁优网版权所有【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑推理；数学运算【分析】直接利用数列的递推关系式，数列
25、的通项公式的求法，裂项相消法的应用求出结果【解答】解：（n2，nN*），（an+1）an（an1+3）0，an0，anan13，an1+3（n1）3n2，故答案为：【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，裂项相消法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题三解答题（共6小题）18（2021春赤峰期末）已知等差数列an的公差不为零，a125，且a1，a11，a13成等比数列（1）求an的通项公式；（2）求a1+a4+a7+a58【考点】等差数列的通项公式菁优网版权所有【专题】应用题；方程思想；定义法；等差数列与等比数列；逻辑推理；数学运算【分析】（1）设等差数
26、列an的公差为d（d0），由a125，且a1，a11，a13成等比数列，可解出d值，从而即可得到an通项公式；（2）利用a1+a4+a7+a5825+19+13+（89）（2589）求解即可【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d（d0），由a1，a11，a13成等比数列，得aa1a13，即（a1+10d）2a1（a1+12d），化为d（2a1+25d）0，又a125，所以d2，所以an25+（n1）（2）2n+27；（2）由（1）可知a1+a4+a7+a5825+19+13+（89）（2589）640【点评】本题考查等差数列的通项公式及前n项和公式，考查学生的归纳推理和运算求解的能力，属于
27、基础题19（2021秋河南月考）已知数列an的前n项和为Sn，且an（1）求证：数列an是等比数列；（2）求数列的前n项和Tn【考点】数列的求和菁优网版权所有【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑推理；数学运算【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；（2）利用裂项相消法的应用求出数列的和【解答】证明：（1）数列an的前n项和为Sn，且an，当n1时，解得a13；整理得：3an2Sn+3，当n2时，3an12Sn1+3，得：3an3an12an，整理得an3an1，故（常数），所以数列an是以3为首项，3为公比的等比数列；解：（2）
28、由（1）得：所以，故：【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法的求和，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题20（2021春赛罕区校级期中）在an+1an+n，nan+1（n+1）an，2Sn3an2，an+2an54，a227这四个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的正整数m存在，求m的值；若不存在，说明理由问题：给定数列an它的前n项和为Sn，a318，_，是否存在正整数m，使得Sm80？【考点】数列递推式菁优网版权所有【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算【分析】选：判断数列Sn单调递增，推出S440，S595，不
29、存在m；选：说明为常数列，方程3m（m+1）80无正整数解，说明不存在m；选：说明an为等比数列，q3，推出，得到m4，存在；选：说明an为周期为4的周期数列，推出S680，存在【解答】解：选：由an+1an+n，a318，得a115，a216，a421，a525，可知an为正项单调递增数列，所以SnSn1an0（n2），即数列Sn单调递增，而S440，S595，所以不存在m；选：由nan+1（n+1）an得，所以为常数列，因a318，所以an6n，所以得，因为方程3m（m+1）80无正整数解，所以不存在m；选：由2Sn3an2得2Sn13an12（n2），两式作差得an3an1（n2），所以
30、an为等比数列，且q3，由，解得m4，所以存在；选：由an+2an54，得，所以an为周期为4的周期数列，由a227，a318，可得，因为a1+a2+a3+a450，a5+a6a1+a230，所以S680，即m6，所以存在【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查发现问题解决问题的能力，是中档题21（2021浙江开学）已知正项数列及其前n项和Sn满足：（1）求数列an的通项公式；（2）令，数列bn的前n项和为Tn若不等式对任意nN*都成立，求M的取值范围【考点】数列的求和；数列与不等式的综合菁优网版权所有【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；逻辑推理；数学运算【分析
31、】（1）利用已知条件推出anan12，说明an为等差数列，然后求解通项公式（2）求出bn的通项公式，利用裂项消项法求解数列的和，要使对任意nN*都成立，只需对任意nN*都成立即可，然后求解不等式的最小值，即可推出M的范围【解答】解：（1），则，得a11，（1分）当n2时，（2分）得（an+an1）（anan12）0，又an是正项数列，所以anan12，（2分）所以an为等差数列，所以an2n1（2分）（2），（2分）所以，（2分）故要使对任意nN*都成立，只需对任意nN*都成立即可（2分）又，所以，当，即n1时，所以（2分）【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，以及函数与数列的关系
32、的综合应用，是难题22（2021湖北开学）数列an的前n项和为Sn，a11，an+12Sn+1，等差数列bn的公差大于0已知S2b2+1，且b1，b2，b5成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）求数列的前n项和Tn【考点】数列的求和菁优网版权所有【专题】方程思想；转化法；等差数列与等比数列；数学运算【分析】（1）由an+12Sn+1，可得an2Sn1+1（n2），相减可得：an+13an（n2），当n1时，a22S1+13，可得a23a1，利用等比数列的通项公式即可得出（2）设bn公差为d，由S2b2+1，得b23，由b1，b2，b5成等比数列，可得，（3d）（3+3d）9，解得d，b1
33、1，利用通项公式可得bn利用裂项求和方法即可得出Tn【解答】解：（1）因为an+12Sn+1，所以an2Sn1+1（n2），所以an+1an（2Sn+1）（2Sn1+1）2an，即an+13an（n2），（3分）当n1时，a22S1+13，所以a23a1，所以an是以1为首项，3为公比的等比数列，（4分）所以（5分）（2）设bn公差为d，由S2b2+1，得b23，因为b1，b2，b5成等比数列，所以，（3d）（3+3d）9，解得d2或d0（舍去），所以b11，（6分）所以bn2n1（7分）所以，因为，所以（10分）【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计
34、算能力，属于中档题23（2021秋浙江月考）已知公比q1的等比数列an和等差数列bn满足a12，b11，其中a2b4，且a2是b2和b8的等比中项（1）求数列an与bn的通项公式；（2）记数列anbn的前n项和为Tn，若当nN*时，等式（1）nTn0恒成立，求实数的取值范围【考点】等比数列的通项公式；等差数列与等比数列的综合菁优网版权所有【专题】函数思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算【分析】（1）设等差数列bn的公差为d，由已知列式求得d并求出等比数列的公比，即可得到数列an与bn的通项公式；（2）利用错位相减法求数列anbn的前n项和为Tn，再由（1）nTn0恒成立，利用分离参数法求
35、解实数的取值范围【解答】解：（1）设等差数列bn的公差为d，a12，b11，a2b4，且a2是b2和b8的等比中项，（1+3d）2（1+d）（1+7d），解得或（舍），bnn；（2），得，（1）nTn0，即（1）nTn对nN*恒成立，（1）n2+（n1）2n+1当n为偶数时，2+（n1）2n+1，2+（n1）2n+1min10；当n为奇数时，2+（n1）2n+1，2+（n1）2n+1min2，即2，综上可得210【点评】本题考查等差数列与等比数列的通项公式，训练了错位相减法求数列的前n项和，考查恒成立问题的求解方法，是中档题考点卡片1数列的概念及简单表示法【知识点的认识】1数列及其有关概念，（
36、1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列数列中的每一个数称为这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项，又称为首项2数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，an，.简记作an，此处的n是序号3数列的分类：按项的个数分为两类，有穷数列与无穷数列；按项的变化趋势分类，可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列；4数列的通项公式：如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，则称这个公式叫做这个数列的通项公式几个认识：（1）由数列的通项公式可以求同数列的项，这与已知函数的解析式，求某一自变量的函数值是一致的（2）有些数列没有通项公式，如的近似值，精确到1，0.
37、1，0.01，0.001，时，所构成的数列，1，1.4，1.41，1.414，此数列就没有通项公式5数列的递推公式：如果已知数列an的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（前几项）（n2，nN*）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式2等差数列的性质【等差数列】如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示等差数列的通项公式为：ana1+（n1）d；前n项和公式为：Snna1+n（n1）或Sn （nN+），另一重要特征是若p+q2m，则有2amap+aq
38、（p，q，m都为自然数）例：已知等差数列an中，a1a2a3an且a3，a6为方程x210x+160的两个实根（1）求此数列an的通项公式；（2）268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由 解：（1）由已知条件得a32，a68又an为等差数列，设首项为a1，公差为d，a1+2d2，a1+5d8，解得a12，d2an2+（n1）22n4（nN*）数列an的通项公式为an2n4（2）令2682n4（nN*），解得n136268是此数列的第136项 这是一个很典型的等差数列题，第一问告诉你第几项和第几项是多少，然后套用等差数列的通项公式ana1+（n1）d，求出首项和公差d，这样等
39、差数列就求出来了第二问判断某个数是不是等差数列的某一项，其实就是要你检验看符不符合通项公式，带进去检验一下就是的【等差数列的性质】（1）若公差d0，则为递增等差数列；若公差d0，则为递减等差数列；若公差d0，则为常数列； （2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和； （3）m，nN+，则aman+（mn）d；（4）若s，t，p，qN*，且s+tp+q，则as+atap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t2p时，有as+at2ap； （5）若数列an，bn均是等差数列，则数列man+kbn仍为等差数列，其中m，k均为常数（6）an，a
40、n1，an2，a2，a1仍为等差数列，公差为d（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1an+an+2，2ananm+an+m，（nm+1，n，mN+） （8）am，am+k，am+2k，am+3k，仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）3等差数列的通项公式【知识点的认识】 等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列的首项a1，公差d，那么第n项为ana1+（n1）d，或者已知第m项为am，则第n项为anam+（nm）d【例题解析】eg1：已知数列an的前n项和为Snn2+1，求
41、数列an的通项公式，并判断an是不是等差数列解：当n1时，a1S112+12，当n2时，anSnSn1n2+1（n1）212n1，an，把n1代入2n1可得12，an不是等差数列 考察了对概念的理解，除掉第一项这个数列是等差数列，但如果把首项放进去的话就不是等差数列，题中an的求法是数列当中常用到的方式，大家可以熟记一下eg2：已知等差数列an的前三项分别为a1，2a+1，a+7则这个数列的通项公式为解：等差数列an的前三项分别为a1，2a+1，a+7，2（2a+1）a1+a+7，解得a2a1211，a222+15，a32+79，数列an是以1为首项，4为公差的等差数列，an1+（n1）44n
42、3故答案：4n3 这个题很好的考察了的呢公差数列的一个重要性质，即等差中项的特点，通过这个性质然后解方程一样求出首项和公差即可【考点点评】 求等差数列的通项公式是一种很常见的题型，这里面往往用的最多的就是等差中项的性质，这也是学习或者复习时应重点掌握的知识点4等差数列的前n项和【知识点的认识】 等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示其求和公式为Snna1+n（n1）d或者Sn【例题解析】eg1：设等差数列的前n项和为Sn，若公差d1，S515，则S10解：d1，S515，5
43、a1+d5a1+1015，即a11，则S1010a1+d10+4555故答案为：55点评：此题考查了等差数列的前n项和公式，解题的关键是根据题意求出首项a1的值，然后套用公式即可eg2：等差数列an的前n项和Sn4n225n求数列|an|的前n项的和Tn解：等差数列an的前n项和Sn4n225nanSnSn1（4n225n）4（n1）225（n1）8n29，该等差数列为21，13，5，3，11，前3项为负，其和为S339n3时，TnSn25n4n2，n4，TnSn2S34n225n+78，点评：本题考查等差数列的前n项的绝对值的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用其
44、实方法都是一样的，要么求出首项和公差，要么求出首项和第n项的值【考点点评】 等差数列比较常见，单独考察等差数列的题也比较简单，一般单独考察是以小题出现，大题一般要考察的话会结合等比数列的相关知识考察，特别是错位相减法的运用5等比数列的性质【等比数列】（又名几何数列），是一种特殊数列如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q0） 注：q1 时，an为常数列 等比数列和等差数列一样，也有一些通项公式：第n项的通项公式，ana1qn1，这里a1为首项，q为公
45、比，我们发现这个通项公式其实就是指数函数上孤立的点求和公式，Sn，表示的是前面n项的和若m+nq+p，且都为正整数，那么有amanapaq例：2，x，y，z，18成等比数列，则y解：由2，x，y，z，18成等比数列，设其公比为q，则182q4，解得q23，y2q2236故答案为：6 本题的解法主要是运用了等比数列第n项的通项公式，这也是一个常用的方法，即知道某两项的值然后求出公比，继而可以以已知项为首项，求出其余的项关键是对公式的掌握，方法就是待定系数法【等比数列的性质】（1）通项公式的推广：anamqnm，（n，mN*） （2）若an为等比数列，且k+lm+n，（k，l，m，nN*），则 a
46、kalaman（3）若an，bn（项数相同）是等比数列，则an（0），a，anbn，仍是等比数列（4）单调性：或an是递增数列；或an是递减数列；q1an是常数列；q0an是摆动数列6等比数列的通项公式【知识点的认识】1等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q0）从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数2等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项ana1qn13等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做
47、a与b的等比中项 G2ab （ab0）4等比数列的常用性质（1）通项公式的推广：anamqnm，（n，mN*）（2）若an为等比数列，且k+lm+n，（k，l，m，nN*），则 akalaman（3）若an，bn（项数相同）是等比数列，则an（0），a，anbn，仍是等比数列（4）单调性：或an是递增数列；或an是递减数列；q1an是常数列；q0an是摆动数列7等比数列的前n项和【知识点的知识】1等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q（q0），其前n项和为Sn，当q1时，Snna1；当q1时，Sn2等比数列前n项和的性质 公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3
48、nS2n仍成等比数列，其公比为qn8数列的求和【知识点的知识】就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：（1）公式法：等差数列前n项和公式：Snna1+n（n1）d或Sn等比数列前n项和公式：几个常用数列的求和公式：（2）错位相减法：适用于求数列anbn的前n项和，其中anbn分别是等差数列和等比数列（3）裂项相消法：适用于求数列的前n项和，其中an为各项不为0的等差数列，即（）（4）倒序相加法：推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）（5）分组求和法：
49、有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可【典型例题分析】典例1：已知等差数列an满足：a37，a5+a726，an的前n项和为Sn（）求an及Sn；（）令bn（nN*），求数列bn的前n项和Tn分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：解：（）设等差数列an的公差为d，a37，a5+a726，解得a13，d2，an3+2（n1）2n+1；Snn2+2n（）由（）知an2n+1，bn，Tn，即数列bn的前n项和Tn点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等
50、差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和【解题方法点拨】数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考9数列递推式【知识点的知识】1、递推公式定义：如果已知数列an的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an在数列an中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握注意：（1）用anSnSn1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n2，当n1时，a1S1）；若a1适合由an的表达式，则an不
51、必表达成分段形式，可化统一为一个式子（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式anSnSn1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解3、数列的通项的求法：（1）公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式（2）已知Sn（即a1+a2+anf（n）求an，用作差法：an一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解（3）已知a1a2anf（n）求an，用作商法：an，（4）若an+1anf（n）求an，用累加法：an（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1（n2）（5）已知f（n）求a
52、n，用累乘法：an（n2）（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）特别地有，形如ankan1+b、ankan1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an形如an的递推数列都可以用倒数法求通项（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明10数列与不等式的综合【知识点的知识】证明与数列求和有关的不等式基本方法：（1）直接将数列求和后放缩；（2）先将通项放缩后求和；（3）先将通项放缩后求和再放缩；（4）尝试用数学归纳法证明常用的放缩方法有：，（n2），（）（n2），2（）2（）+【解题方法点拨】 证
53、明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：（1）添加或舍去一些项，如：|a|；n；（2）将分子或分母放大（或缩小）；（3）利用基本不等式；（4）二项式放缩；（5）利用常用结论；（6）利用函数单调性（7）常见模型：等差模型；等比模型；错位相减模型；裂项相消模型；二项式定理模型；基本不等式模型【典型例题分析】题型一：等比模型典例1：对于任
54、意的nN*，数列an满足n+1（）求数列an的通项公式；（）求证：对于n2，解答：（）由，当n2时，得，得 又，得a17不适合上式综上得；（）证明：当n2时，当n2时，题型二：裂项相消模型典例2：数列an的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意nN*，总有an，Sn，an2成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）设，数列bn的前n项和为Tn，求证：分析：（1）根据anSnSn1，整理得anan11（n2）进而可判断出数列an是公差为1的等差数列，根据等差数列的通项公式求得答案（2）由（1）知，因为，所以，从而得证解答：（1）由已知：对于nN*，总有2Snan+an2成立（n2）得2ana
55、n+an2an1an12，an+an1（an+an1）（anan1）an，an1均为正数，anan11（n2）数列an是公差为1的等差数列又n1时，2S1a1+a12，解得a11，ann（nN*）（2）解：由（1）可知【解题方法点拨】（1）放缩的方向要一致（2）放与缩要适度（3）很多时候只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项或后几项）（4）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出现放缩失当的现象所以对放缩法，只需要了解，不宜深入11等差数列与等比数列的综合【知识点的知识】1、等差数列的性质（1）若公差d0，则为递增等差数列；若公差d0，则为递减
56、等差数列；若公差d0，则为常数列； （2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和； （3）m，nN+，则aman+（mn）d；（4）若s，t，p，qN*，且s+tp+q，则as+atap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t2p时，有as+at2ap； （5）若数列an，bn均是等差数列，则数列man+kbn仍为等差数列，其中m，k均为常数（6）an，an1，an2，a2，a1仍为等差数列，公差为d（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1an+an+2，2ananm+an+m
57、，（nm+1，n，mN+） （8）am，am+k，am+2k，am+3k，仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）2、等比数列的性质（1）通项公式的推广：anamqnm，（n，mN*）（2）若an为等比数列，且k+lm+n，（k，l，m，nN*），则akalaman（3）若an，bn（项数相同）是等比数列，则an（0），a，anbn，仍是等比数列（4）单调性：或an是递增数列；或an是递减数列；q1an是常数列；q0an是摆动数列12归纳推理【知识点的认识】1归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理 推理形式：
58、设SA1，A2，A3，An， 2特点：（1）归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳得出的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围；（2）归纳推理得到的结论具有猜测性质，结论是否真实，需要通过逻辑证明和实践检验，不能作为数学证明的工具；（3）归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题3作用：（1）获取新知，发现真理；（2）说明和论证问题【解题技巧点拨】归纳推理一般步骤：（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理；（2）提出带有规律性的结论，即猜想；（3）检验猜想【命题方向】归纳推理主要以填空、选择题的形式出现，比
59、较基础，考查对归纳推理的理解，会运用归纳推理得出一般性结论（1）考查对归纳推理理解掌握归纳推理的定义与特点，注意区分与类比推理、演绎推理的不同例1：下列表述正确的是（）归纳推理是由部分到整体的推理；归纳推理是由一般到一般的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理；类比推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理ABCD分析：本题考查的知识点是归纳推理、类比推理和演绎推理的定义，根据定义对5个命题逐一判断即可得到答案解答：归纳推理是由部分到整体的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理故是正确的故选D点评：判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义
60、，即是否是由特殊到一般的推理过程判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，即是否是由一般到特殊的推理过程例2：下列推理是归纳推理的是（）AA，B为定点，动点P满足|PA|PB|2a|AB|（a0），则动点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线B由a12，an3n1求出S1，S2，S3，猜想出数列an的前n项和Sn的表达式C由圆x2+y2r2的面积Sr2，猜想出椭圆的面积SabD科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇分析：根据归纳推理的定义，对各个选项进行判断解答：A选项用的双
61、曲线的定义进行推理，不符合要求B选项根据前3个S1，S2，S3的值，猜想出Sn的表达式，属于归纳推理，符合要求C选项由圆x2+y2r2的面积Sr2，猜想出椭圆的面积Sab，用的是类比推理，不符合要求D选项用的是演绎推理，不符合要求故选B点评：本题主要考查归纳推理的定义，归纳推理、类比推理、演绎推理的区别联系，属于基础题（2）考查归纳推理的运用做题的关键是读懂题意例：对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式：221+3 321+3+5 421+3+5+7233+5 337+9+11 4313+15+17+19根据上述分解规律，若m21+3+5+11，n3的分解中最小的正整数是21，则m+n（）A10 B11 C12 D13分析：根据m21+3+5+11，n3的分解中最小的正整数是21，利用所给的分解规律，求出m、n，即可求得m+n的值解答：m21+3+5+1136，m6233+5，337+9+11，4313+15+17+19，5321+23+25+27+29，n3的分解中最小的数是21，n353，n5m+n6+511故选B点评：本题考查归纳推理，考查学生的阅读能力，确定m、n的值是解题的关键声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/9/18 14:13:21；用户：招远8；邮箱：zybzy8；学号：40292118
