1、十一数学归纳法(20分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.凸n多边形有f(n)条对角线,则凸(n+1)边形的对角线的条数f(n+1)为()A.f(n)+n+1B.f(n)+nC.f(n)+n-1D.f(n)+n-2【解析】选C.边数增加1,顶点也相应增加1个,它与和它不相邻的n-2个顶点连接成对角线,原来的一条边也成为对角线,因此,对角线增加n-1条.2.用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”的第二步是()A.假设n=2k+1时正确,再推n=2k+3时正确(其中kN*)B.假设n=2k-1时正确,再推n=2k+1时正确(其中kN*)C.假设n=k时正确,再推n
2、=k+1时正确(其中kN*)D.假设n=k时正确,再推n=k+2时正确(其中kN*)【解析】选B.因为n为正奇数,所以n=2k-1(kN*).3.用数学归纳法证明“2nn2+1对于nn0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取()A.2B.3C.5D.6【解析】选C.令n0分别取2,3,5,6,依次验证即得.4.用数学归纳法证明1+2+3+n2=,则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上()A.k2+1B.(k+1)2C.D.(k2+1)+(k2+2)+(k+1)2【解析】选D.当n=k时,左端=1+2+3+k2.当n=k+1时,左端=1+2+3+k2+(k2+1)+(k2+2)+
3、(k+1)2,故当n=k+1时,左端应在n=k的基础上加上(k2+1)+(k2+2)+(k+1)2.二、填空题(每小题5分,共10分)5.用数学归纳法证明不等式1+成立,起始值应取为n=_.【解析】用等比数列求和公式可得整理得2n128n7,所以n=8.答案:86.(2020余姚高二检测)若f(n)=1+(nN*),用数学归纳法验证关于f(n)的命题时,第一步计算f(1)=_;第二步“从n=k到n=k+1时”, f(k+1)=f(k)+_.【解析】f(1)=1+=;假设当n=k时,f(k)=1+,那么,当n=k+1时,f(k+1)=1+,f(k+1)=f(k)+.答案:+三、解答题(每小题10
4、分,共20分)7.求证:(n+1)(n+2)(n+n)=2n135(2n-1)(nN*).【证明】(1)当n=1时,等式左边=2,右边=2,故等式成立.(2)假设当n=k(kN*,k1)时等式成立,即(k+1)(k+2)(k+k)=2k135(2k-1),那么当n=k+1时,左边=(k+1+1)(k+1+2)(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)(k+k)(2k+1)(2k+2)=2k135(2k-1)(2k+1)2=2k+1135(2k-1)(2k+1)=2k+11352(k+1)-1.这就是说当n=k+1时等式也成立.由(1)(2)可知,对所有nN*等式成立.8.用数学归纳法证明对一切,
5、nN*,1+.【证明】(1)当n=1时,左边=1,右边=1,不等式成立.(2)假设当n=k时,不等式成立,即1+,则当n=k+1时,要证1+,只需证+.因为-=-=0,所以+,即1+,所以当n=k+1时不等式成立.由(1)(2)知,不等式对一切nN*都成立.(15分钟30分)1.(5分)对于不等式n+1(nN*),某同学用数学归纳法证明的过程如下:(1)当n=1时,1+1,不等式成立.(2)假设当n=k(kN*)时,不等式成立,即k+1,则当n=k+1时,=(k+1)+1,所以当n=k+1时,不等式成立,则上述证法()A.过程全部正确B.n=1验得不正确C.归纳假设不正确D.从n=k到n=k+
6、1的推理不正确【解析】选D.在n=k+1时,没有应用n=k时的假设,不是数学归纳法.2.(5分)用数学归纳法证明不等式+(k1),则当n=k+1时,左端应乘上_,这个乘上去的代数式共有因式的个数是_.【解析】因为分母的公差为2,所以乘上去的第一个因式是,最后一个是,根据等差数列通项公式可求得共有+1=2k-2k-1=2k-1项.答案:2k-15.(10分)已知点Pn(an,bn)满足an+1=anbn+1,bn+1=(nN*)且点P1的坐标为(1,-1).(1)求过点P1,P2的直线l的方程.(2)试用数学归纳法证明:对于nN*,点Pn都在(1)中的直线l上.【解析】(1)由P1的坐标为(1,
7、-1)知a1=1,b1=-1.所以b2=.a2=a1b2=.所以点P2的坐标为,所以直线l的方程为2x+y=1.(2)当n=1时,2a1+b1=21+(-1)=1成立.假设当n=k(kN*)时,2ak+bk=1成立,则当n=k+1时,2ak+1+bk+1=2akbk+1+bk+1=(2ak+1)=1,所以当n=k+1时,命题也成立.由知,对于nN*,都有2an+bn=1,即点Pn在直线l上.(2020南阳高二检测)设f(n)=nn+1,g(n)=(n+1)n,nN*.(1)当n=1,2,3,4时,试比较与1的大小;(2)根据(1)的结果猜测一个一般性结论,并加以证明.【解析】(1)因为f(1)=12=1,g(1)=21=2,所以f(1)g(1),1.因为f(2)=23=8,g(2)=32=9,所以f(2)g(2),g(3),1.因为f(4)=45=1 024,g(4)=54=625,所以f(4)g(4),1.(2)猜想:当n3,nN*时,有1.证明:当n=3时,猜想成立.假设当n=k(k3,kN*)时猜想成立,=1.当n=k+1时,=.因为(k+1)2=k2+2k+1k(k+2)0,所以1,则1,即1,所以当n=k+1时,猜想成立,由知,当n3,nN*时,有1.
