1、椭圆的标准方程基础达标练1.（2021山东东营一中高二期中）已知椭圆x29+y24=1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上的点，且|PF1|=2，则|PF2|= ( )A.1B.2C.3D.4答案：D2.椭圆x2m+y24=1(m0)的焦距是2，则m= ( )A.3B.5C.3或5D.2答案：C3.（2020山东临沂高二月考）方程x2m2+y22m+3=1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是( )A.-1m3 B.-32m3且m0C.-1m3且m0 D.mb0)的右焦点为F，椭圆C与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于B(0,2)，且BFBA=42+4，则椭圆C的方程为( )A.x
2、24+y22=1 B.x26+y24=1C.x28+y24=1 D.x216+y28=1答案：C解析：由已知得F(c,0)，A(a,0)，B(0,2)，所以BFBA=(c,-2)(a,-2)=ac+4=42+4，所以b=2,ac=42,a2=b2+c2,解得a2=8，b2=4 .所以椭圆C的方程为x28+y24=1.7.（2020山东日照高二期中）设椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的两个焦点分别为F1,F2，|F1F2|=22，P是C上一点，若|PF1|-|PF2|=a，且sinPF1F2=13，则椭圆C的方程为( )A.x24+y23=1 B.x26+y23=1C.x26+y24=1
3、 D.x24+y22=1答案：D解析：因为|F1F2|=22，所以c=2，P是C上一点，由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a，又|PF1|-|PF2|=a，所以|PF1|=3a2，|PF2|=a2，又sinPF1F2=13，所以cosPF1F2=223，所以在PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1|F1F2|cosPF1F2，即(a2)2=(3a2)2+8-23a222223，整理得a2-4a+4=0，解得a=2，则b2=a2-c2=2，所以椭圆C的方程为x24+y22=1 .素养提升练8.（多选）（2021海南海口海南中学高二期中）设椭圆x29
4、+y23=1的右焦点为F，直线y=m(0m3)与椭圆交于A，B两点，则下述结论正确的是( )A.|AF|+|BF|为定值B.ABF周长的取值范围是6,12C.当m=2时，ABF为直角三角形D.当m=1时，ABF的面积为6答案：A ; D解析：设椭圆的左焦点为F，则|AF|=|BF|，|AF|+|BF|=|AF|+|AF|=2a=6为定值，A中结论正确；ABF的周长为|AB|+|AF|+|BF|，|AF|+|BF|为定值6，|AB|的取值范围是(0,6)，ABF周长的取值范围是(6,12)，B中结论错误；将y=2与椭圆方程联立，可解得交点坐标为(-3,2)，(3,2)，不妨取A(-3,2)，B(
5、3,2) .F(6,0)，BABF=(-23,0)(6-3,-2)=6-620，ABF为钝角，ABF不是直角三角形，C中结论错误；将y=1与椭圆方程联立，不妨取A(-6,1)，B(6,1) .SABF=12261=6，D中结论正确.9.已知椭圆x24+y2=1的焦点为F1，F2，点M在该椭圆上，且MF1MF2=0，则点M到x轴的距离为( )A.233 B.263 C.33 D.3答案：C解析：由MF1MF2=0，得MF1MF2，可设|MF1|=m，|MF2|=n，在F1MF2中，由m2+n2=4c2，得(m+n)2-2mn=4c2，根据椭圆的定义得m+n=2a，所以2mn=4a2-4c2，故m
6、n=2b2，即mn=2，所以SF1MF2=12mn=1，设点M到x轴的距离为h，则12|F1F2|h=1，又|F1F2|=23，故h=33 .10.求满足下列条件的椭圆的标准方程.（1）焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)；（2）c:a=5:13，且椭圆上一点到两焦点的距离之和为26.答案：（1）由焦距是4可得c=2，且焦点坐标为(0,-2)，(0,2).由椭圆的定义知，2a=32+(2+2)2+32+(2-2)2=8，所以a=4，所以b2=a2-c2=16-4=12 .又焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为y216+x212=1 .（2）由题意知，2a=26，即a=13，因为c:a=5
7、:13，所以c=5，所以b2=a2-c2=132-52=144，因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为x2169+y2144=1或y2169+x2144=1 .11.已知F1(-c,0)，F2(c,0)为椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的两个焦点，P在椭圆上，且PF1F2的面积为22b2，求tanF1PF2 .答案：根据题意及余弦定理得|PF1|+|PF2|=2a，|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cosF1PF2=4c2，整理得|PF1|PF2|=2b21+cosF1PF2 .PF1F2的面积为22b2，122b21+cosF1PF2sinF1PF2=22b2，1
8、+cosF1PF2=2sinF1PF2 .sin2F1PF2+cos2F1PF2=1，cosF1PF2=13，（负值舍去），sinF1PF2=1-19=223（负值舍去），tanF1PF2=22 .创新拓展练12.（2020山东淄博高二月考）已知F为椭圆C:y24+x23=1的下焦点，点P为椭圆C上任意一点，Q点的坐标为(1,1)，则当|PQ|+|PF|的值最大时，点P的坐标为 .答案：(-32,1)解析：命题分析本题为椭圆的定义与方程的具体应用，考查化归的思想方法.答题要领设椭圆的上焦点为F，由椭圆的定义可得|PQ|+|PF|=|PQ|+2a-|PF|，根据三角形的性质可得，当P，F，Q共线
9、时，|PQ|+|PF|有最大值，利用直线与椭圆的交点可得结果.设椭圆的上焦点为F，如图.则|PQ|+|PF|=|PQ|+2a-|PF|=4+|PQ|-|PF|4+|QF|=5，当P，F，Q共线时，|PQ|+|PF|有最大值5，易知此时直线PQ的方程为y=1，与椭圆方程联立，可得P(-32,1)或P(32,1)（舍去），故P(-32,1) .方法感悟解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是应用几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.
