1、十六直线与平面平行(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对得2分,有选错的得0分)1.(多选题)如图,在下列三棱柱ABC-A1B1C1中,若M,N,P分别为其所在棱的中点,则能得出AB平面MNP的是()【解析】选ABD.在A,B中,易知ABA1B1MN,所以AB平面MNP;在D中,易知ABPN,所以AB平面MNP.【补偿训练】下列说法正确的是()A.直线l平行于平面内的无数条直线,则lB.若直线a在平面外,则aC.若直线ab,直线b,则aD.若直线ab,b,那么直线a就平行于平面内的无数条直线【解析】选D.因为直线l虽与平面内无数条直线平行,但l有
2、可能在平面内,所以l不一定平行于,从而排除选项A.因为直线a在平面外,包括两种情况:a和a与相交,所以a和不一定平行,从而排除选项B.因为直线ab,b,则只能说明a和b无公共点,但a可能在平面内,所以a不一定平行于,从而排除选项C.因为ab,b,则a或a,所以a可以与平面内的无数条直线平行.2.在三棱台ABC-A1B1C1中,直线AB与平面A1B1C1的位置关系是()A.相交B.平行C.在平面内D.不确定【解析】选B.因为ABA1B1,AB平面A1B1C1,A1B1平面A1B1C1,所以AB平面A1B1C1.3.如图,一块矩形木板ABCD的一边AB在平面内,把这块矩形木板绕AB转动,在转动的过
3、程中,AB的对边CD与平面的位置关系是()A.平行B.相交C.在平面内D.平行或在平面内【解析】选D.在旋转过程中,CDAB,易得CD或CD.4.如图,已知S为四边形ABCD外一点,G,H分别为SB,BD上的点,若GH平面SCD,则()A.GHSAB.GHSDC.GHSCD.以上均有可能【解析】选B.因为GH平面SCD,GH平面SBD,平面SBD平面SCD=SD,所以GHSD,显然GH与SA,SC均不平行.5.点M,N分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1A与A1B1的中点,P是正方形ABCD的中心,则MN与平面PCB1的位置关系是()A.平行B.相交C.MN平面PCB1D.以上三种情
4、形都有可能【解析】选A.如图,因为M,N分别为A1A和A1B1的中点,所以MNAB1,又因为P是正方形ABCD的中心,所以P,A,C三点共线,所以AB1平面PB1C,因为MN平面PB1C,所以MN平面PB1C.6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点,则下列直线与平面ACE平行的是()A.BA1B.BD1C.BC1D.BB1【解析】选B.如图连接BD1,BD,设ACBD=O,则O是BD的中点,连接OE.因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点,所以OEBD1.又OE平面ACE,BD1平面ACE,所以BD1平面ACE.二、填空题(每小题4分,共8分)7.在正方
5、体ABCD-A1B1C1D1中和平面C1DB平行的面对角线有_条.【解析】如图,与平面C1DB平行的面对角线有3条:B1D1,AD1,AB1.答案:38.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是对角线A1D,A1C1的中点,则正方体6个表面中与直线EF平行的平面有_和_.【解析】如图.在A1C1D中,因为E,F分别为A1D,A1C1的中点,所以EF为中位线,所以EFC1D,又EF平面C1CDD1,C1D平面C1CDD1,所以EF平面C1CDD1,同理,EF平面A1B1BA,故与EF平行的平面有平面C1CDD1和平面A1B1BA.答案:平面C1CDD1平面A1B1BA【补偿训练】如图所
6、示,直线a平面,点B,C,Da,点A与a在的异侧.线段AB,AC,AD交于点E,F,G.若BD=4,CF=4,AF=5,则EG等于_.【解析】因为a,EG=平面ABD,所以aEG,又点B,C,Da,所以BDEG.所以=,所以EG=.答案:三、解答题(每小题14分,共28分)9.如图,已知两条异面直线AB与CD,平面MNPQ与AB,CD都平行,且点M,N,P,Q依次在线段AC,BC,BD,AD上,求证:四边形MNPQ是平行四边形.【解题指南】AB平面MNPQ,CD平面MNPQMNPQ,NPMQ四边形MNPQ是平行四边形.【证明】因为AB平面MNPQ,且过AB的平面ABC交平面MNPQ于MN,所以
7、ABMN.又过AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ,所以ABPQ,所以MNPQ.同理可证NPMQ.故四边形MNPQ是平行四边形.10.已知直线a平面,a平面,=b,求证ab.【解题指南】若直接证明两条直线a与b平行,则相当困难,注意到线面平行的条件,联想到性质定理,则可想到用构造法作辅助平面来帮助证明.【证明】在平面上任取一点A,在上任取一点B,且A,B都不在直线b上.因为a,a,所以Aa,Ba,所以由a与A,a与B可分别确定平面1,2,设1=c,2=d,则ac,且ad,所以cd.又d,且c,所以c.又c且=b,所以cb.因为ac,所以ab.(25分钟50分)一、选择题(每小题4分,共12分)
8、1.点E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,则空间四面体的六条棱中与平面EFGH平行的条数是()A.0B.1C.2D.3【解析】选C.如图,由线面平行的判定定理可知,BD平面EFGH,AC平面EFGH.2.下列选项中,一定能得出直线m与平面平行的是()A.直线m在平面外B.直线m与平面内的两条直线平行C.平面外的直线m与平面内的一条直线平行D.直线m与平面内的一条直线平行【解析】选C.选项A不符合题意,因为直线m在平面外也包括直线与平面相交;选项B与D不符合题意,因为缺少条件m;选项C中,由直线与平面平行的判定定理,知直线m与平面平行,故选项C符合题意.3.下
9、列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB平面MNP的图形是()A.B.C.D.【解析】选B.对于题图,连接BC交PN于D,则D为BC的中点,又M是AC的中点,连接MD,则MD是ABC的中位线,所以MDAB,又MD平面MNP,AB平面MNP,所以AB平面MNP;对于题图,可通过证明ABPN得到AB平面MNP.二、填空题(每小题4分,共12分)4.已知m,n是平面外的两条直线,给出下列三个论断:mn;m;n,以其中两个为条件,余下的一个为结论,写出你认为正确的一个_.【解析】若mn,m,则n.同样,若mn,n,则m.答案:(或)5.用一个截面去截正三棱柱
10、ABC-A1B1C1,交A1C1,B1C1,BC,AC分别于E,F,G,H,已知A1AA1C1,则截面的形状可以为_(把你认为可能的结果的序号填在横线上).一般的平行四边形;矩形;菱形;正方形;梯形.【解析】由题意知,当截面平行于侧棱时,所得截面为矩形,当截面与侧棱不平行时,所得截面是梯形,即EFHG且EH不平行于FG.答案:6.若P为矩形ABCD所在平面外一点,矩形对角线的交点为O,M为PB的中点,给出以下四个结论:OM平面PCD;OM平面PBC;OM平面PDA;OM平面PBA.其中正确的个数是_.【解析】由已知可得OMPD,所以OM平面PCD且OM平面PAD.故正确的只有.答案:2三、解答
11、题(共26分)7.(12分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱BC,C1D1的中点,求证:EF平面BB1D1D.【证明】如图,连接C1E,并延长交B1B的延长线于点G,连接D1G.因为C1CB1B,所以C1CE=GBE,因为E是BC的中点,所以BE=CE,又因为C1EC=GEB,所以C1CEGBE,所以C1E=GE,所以E是C1G的中点.在C1D1G中,F是D1C1的中点,E是C1G的中点,所以EFD1G.又因为D1G平面BB1D1D,而EF平面BB1D1D,所以EF平面BB1D1D.8.(14分)如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q分别
12、是BC,C1D1,AD1,BD的中点.(1)求证:PQ平面DCC1D1.(2)求PQ的长.(3)求证:EF平面BB1D1D.【解析】(1)如图,连接AC,CD1.因为P,Q分别是AD1,AC的中点,所以PQCD1.又PQ平面DCC1D1,CD1平面DCC1D1,所以PQ平面DCC1D1.(2)由(1)易知PQ=D1C=a.(3)取B1D1的中点O1,连接FO1,BO1,则有FO1B1C1.又BEB1C1,所以BEFO1.所以四边形BEFO1为平行四边形,所以EFBO1,又EF平面BB1D1D,BO1平面BB1D1D,所以EF平面BB1D1D.
