1、加练课3 恒成立与能成立问题基础达标练1.（2020山东烟台高一期中）若不等式x2-tx+10 对一切x(1,2) 恒成立，则实数t 的取值范围为( )A.t2 B.t52C.t1 D.t52答案：D2.（2020河北保定定州第二中学高一月考）当1x3 时，关于x 的不等式ax2+x-10 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.(-,0) B.(-,-14)C.(-14,+) D.(-12,+)答案：B3.（2020江苏南京高一期中）关于x 的不等式x2+x-2+a(x+x-1)+a+10 对任意的x0 恒成立，则a 的取值范围是( )A.a-2 B.a-1C.a0 D.a1答案：B4.（2
2、020山西兴县友兰中学高一期中）若“x-1,3,x2-2x+a0 ”为假命题，则实数a 的最小值为 .答案：15.关于x 的不等式(1+m)x2+mx+mx2+1 对xR 恒成立，则实数m 的取值范围是 .答案：(-,06.关于x 的不等式x2+ax-20 在区间1,4 上有实数解，则实数a 的取值范围是 .答案：(-,1)7.已知二次函数f(x) 满足f(x)=f(2-x) ，且f(1)=7,f(3)=3 .（1）求函数f(x) 的解析式；（2）是否存在实数m ，使得二次函数f(x) 在-1,3 上的图象恒在直线y=mx+1 的上方？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由.答案
3、：（1）因为f(x)=f(2-x) ，所以二次函数f(x) 的图象的对称轴为直线x=1 ，又f(1)=7 ，故可设二次函数解析式为f(x)=a(x-1)2+7 ，因为f(3)=3 ，所以4a+7=3 ，解得a=-1 .所以f(x)=-(x-1)2+7=-x2+2x+6 .（2）假设存在实数m ，使得二次函数f(x) 在-1,3 上的图象恒在直线y=mx+1 的上方，等价于不等式-x2+2x+6mx+1 ，即x2+(m-2)x-50 在-1,3 上恒成立.令g(x)=x2+(m-2)x-5 ，则g(-1)=-m-20,g(3)=3m-20, 解得-2m23 ，所以实数m 的取值范围为(-2,23
4、) .8.（2020北京八中高一期中）已知函数f(x)=mx2+(1-3m)x-4,mR .（1）当m=1 时，求f(x) 在区间-2,2 上的最大值和最小值；（2）解关于x 的不等式f(x)-1 .（3）当m0 时，若存在x0(1,+) ，使得f(x)0 ，求实数m 的取值范围.答案：（1）当m=1 时，f(x)=x2-2x-4 在-2,1) 上单调递减，在(1,2 上单调递增，所以f(x) 的最小值为f(1)=1-2-4=-5 ，最大值为f(-2)=4+4-4=4 .（2）不等式f(x)-1 可化为mx2+(1-3m)x-30 ，即(mx+1)(x-3)0 ，当m0 时，不等式化为(x+1
5、m)(x-3)0 ，解得x-1m 或x3 ；当m=0 时，不等式化为x-30 ，解得x3 ；当m0 时，不等式化为(x+1m)(x-3)0 ，当-1m3 ，即m-13 时，解得-1mx3 ；当-1m=3 ，即m=-13 时，不等式无解；当-1m3 ，即-13m0 时，解得3x-1m .综上，当m0 时，不等式的解集为x|x-1m或x3 ；当m=0 时，不等式的解集为x|x3 ；当-13m0 时，不等式的解集为x|3x-1m ；当m=-13 时，不等式的解集为空集；当m-13 时，不等式的解集为x|-1mx3 .（3）当m0，则f(x)在(1,+)上的最大值大于0，因为函数f(x)=mx2+(1
6、-3m)x-4 的图象开口向下，其对称轴为直线x=-1-3m2m=-12m+321 ，所以f(x)max=f(-1-3m2m)=m(1-3m)24m2+(1-3m)(-1-3m2m)-4=-(1-3m)24m-4 ，所以-(1-3m)24m-40 ，即(1-3m)2-16m ，即9m2+10m+10,解得m-1 或-19m0 .素养提升练9.（2020江苏苏州高一月考）已知正数a,b 满足9a+1b=2 ，若a+bx2+2x 对任意正数a,b 恒成立，则实数x 的取值范围是( )A.-4,2B.-2,4C.(-,-42,+)D.(-,-24,+)答案：A10.（2020安徽合肥一中高一月考）已
7、知mR ，函数f(x)=mx3-x ，若aR ，使得-2f(a+1)-f(a)2 ，则实数m 的最大值为( )A.12 B.9 C.8 D.0答案：A解析：f(a+1)-f(a)=m(a+1)3-(a+1)-ma3+a=m(3a2+3a+1)-1 ，若aR ，使得-2f(a+1)-f(a)2 ，则-2m(3a2+3a+1)-12 ，则-1m(3a2+3a+1)3 ，因为y=3a2+3a+1=3(a+12)2+140 ，所以-13a2+3a+1m33a2+3a+1 ，因为要求实数m 的最大值，所以只需m(33a2+3a+1)max 即可，而y=3a2+3a+1=3(a+12)2+14 的最小值为
8、14 ，所以(33a2+3a+1)max=12 ，故m12 .故选A.11.已知二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1 ，若在区间-1,1 内至少存在一个实数x ，使得f(x)0 ，则实数p 的取值范围是 .答案：(-3,32)解析：因为二次函数f(x) 在区间-1,1 内至少存在一个实数x ，使得f(x)0 的否定是“在区间-1,1 内的任意实数x ，都有f(x)0 ”，所以f(1)m120,f(-1)m120, 即4-2(p-2)-2p2-p+10,4+2(p-2)-2p2-p+10, 整理得2p2+3p-90,2p2-p-10, 解得p32 或p-3 ，所以二次函数在区
9、间-1,1 内至少存在一个实数x ，使得f(x)0 的实数p 的取值范围是(-3,32) .12.函数f(x)=x2+ax+3-a, 当x-2,2 时，f(x)0 恒成立，则实数a 的取值范围是 .答案：-7,2解析：函数f(x)=x2+ax+3-a 的图象开口向上，其对称轴为直线x=-a2 .当-a2-2 ，即a4 时，函数f(x) 在区间-2,2 上为增函数，f(x)min=f(-2)=-3a+7 ，解不等式-3a+70 ，得a73 ，显然不符合题意；当-2-a22 ，即-4a4 时，f(x)min=f(-a2)=-14a2-a+3 ，解不等式-14a2-a+30 ，得-6a2 ，-4a2
10、 ；当-a22 ，即a-4 时，函数f(x) 在区间-2,2 上为减函数，f(x)min=f(2)=a+7 ，解不等式a+70 ，得a-7 ，-7a-4 .综上，实数a 的取值范围是-7,2 .13.（2020河南郑州高一期中）已知函数f(x)=2x2-ax+a2-4,g(x)=x2-x+a2-8,aR .（1）当a=1 时，解不等式f(x)0 ；（2）若对任意x0 ，都有f(x)g(x) 成立，求实数a 的取值范围；（3）若对任意x10,1 ，任意x20,1 ，都有不等式f(x1)g(x2) 成立，求实数a 的取值范围.答案：（1）当a=1 时，f(x)=2x2-x-3 ，令f(x)0 ，得
11、(2x-3)(x+1)0 ，解得-1x32 ，所以f(x)0 的解集为(-1,32) .（2）若对任意x0 ，都有f(x)g(x) 成立，即f(x)-g(x)=x2+(1-a)x+40 在x0 时恒成立，令h(x)=x2+(1-a)x+4(x0) ，当=(1-a)2-160 ，即-3a5 时，函数h(x) 的图象和x轴无交点，且开口向上，符合题意；当0 ，即a5 或a-3 时，只需h(0)=40,-1-a20, 解得a1 ，又a5 或a-3 ，所以a-3 .综上，实数a 的取值范围是a5 .（3）若对任意x10,1 ，任意x20,1 ，都有不等式f(x1)g(x2) 成立，则只需满足f(x)m
12、ing(x)max,x0,1 .g(x)=x2-x+a2-8 ，其图象的对称轴为直线x=12 ，则g(x) 在0,12) 上单调递减，在(12,1 上单调递增，g(x)max=g(0)=g(1)=a2-8 .f(x)=2x2-ax+a2-4 ，其图象的对称轴为直线x=a4 ，当a40 ，即a0 时，f(x) 在0,1 上单调递增，f(x)min=f(0)=a2-4g(x)max=a2-8 恒成立；当0a41 ，即0a4 时，f(x) 在0,a4) 上单调递减，在(a4,1 上单调递增，f(x)min=f(a4)=78a2-4,g(x)max=a2-8 ，令78a2-4a2-8 ，得0a4 ；当
13、a41 ，即a4 时，f(x) 在0,1 上单调递减，f(x)min=f(1)=a2-a-2,g(x)max=a2-8,令a2-a-2a2-8 ，解得4a6 .综上，实数a 的取值范围为(-,6) .创新拓展练14.（2021山东烟台高一期末）已知函数f(x)=x2+ax+b(a,bR) .（1）若关于x 的不等式f(x)0 的解集是(-,-2)(-12,+) ，求a、b 的值；（2）若a=-2,b=0,g(x)=kx,f(x) 与g(x) 的定义域都是0,2 ，使得|f(x)-g(x)|1 恒成立，求实数k 的取值范围；（3）若方程f(x)=0 在区间(1,2)上有两个不同的实根，求f(1)
14、 的取值范围.答案：（1）因为f(x)0 的解集为(-,-2)(-12,+) ，所以方程f(x)=0 的两根为-2和-12 ，由根与系数的关系得，(-2)+(-12)=-a,(-2)(-12)=b, 所以a=52,b=1 .（2）因为a=-2,b=0, 所以f(x)=x2-2x,因为|f(x)-g(x)|1 在0,2 上恒成立，所以-1x2-2x-kx1 在0,2 上恒成立.当x=0 时，-101满足题意，当x(0,2 时，x-1x-2kx+1x-2 在(0,2 上恒成立，即(x-1x-2)maxk(x+1x-2)min ，因为y=x-1x-2 在(0,2 上单调递增，y=x+1x-2 在(0,1 上单调递减，在(1,2 上单调递增，所以(x-1x-2)max=-12 ，(x+1x-2)min=0 ，所以-12k0 .（3）因为方程f(x)=0 在区间(1,2)上有两个不同的实根,所以f(1)=1+a+b0,f(2)=4+2a+b0,10,因为b=f(1)-1-a ，所以f(1)0,4+2a+f(1)-1-a0,-4a-2,a2-4(f(1)-1-a)0,由a2-4(f(1)-a-1)0 ，得4f(1)(a+2)24 ，解得f(1)1 .综上，f(1) 的取值范围是(0,1).
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