1、广东省汕头市潮阳实验学校2020届高三数学下学期3月第一次测试试题 理（含解析）一、选择题（每小题5分，共60分每题有且仅有一项正确选项）1.若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求集合B，再根据并集定义求结果.【详解】.故选：C【点睛】本题考查集合并集定义，考查基本分析求解能力，属基础题.2.设i为虚数单位，复数，则在复平面内对应的点在第（ ）象限A. 一B. 二C. 三D. 四【答案】B【解析】【分析】先根据复数乘法求复数代数形式，再确定象限.【详解】，所以在复平面内对应的点为，在第二象限.故选：B【点睛】本题考查复数乘法运算以及复数几何意义，考查基本分析求解能力
2、，属基础题.3.“”是“”成立的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】通过和同号可得前者等价于或，通过对数的性质可得后者等价于或，结合充分条件，必要条件的概念可得结果.【详解】或，或，即“”是“”成立的必要不充分条件，故选：B.【点睛】本题主要考查了不等式的性质以及充分条件，必要条件的判定，属于中档题.4.已知实数满足约束条件，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据约束条件作出可行域，并且由得，当直线平移至经过点时，取得最大值，可得选项.【详解】如图，作出可行域，由得， 当直线平移至经过点时，取得最
3、大值，故选:C.【点睛】本题考查线性规划问题中已知约束条件，求目标函数的最值，属于基础题.5.已知正项等比数列an的公比为3，若aman9a22，则的最小值等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据正项等比数列an的公比为3，且aman9a22，得到，从而有，然后用“1”的代换将转化为，再用基本不等式求解.【详解】因为正项等比数列an的公比为3，且aman9a22，所以，所以，所以，当且仅当且，即时，取等号，所以则的最小值等于.故选：C【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.6.已知函数为偶函数，若曲线的一条切线与直线
4、垂直，则切点的横坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据偶函数求参数，再求导数，根据导数几何意义得斜率，最后根据直线垂直关系得结果.【详解】为偶函数，则，设切点得横坐标为，则解得，（负值舍去）所以.故选：D【点睛】本题考查偶函数性质、导数几何意义以及直线垂直关系，考查综合分析求解能力，属基础题.7.为椭圆上的一个动点，分别为圆与圆上的动点，若的最小值为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】圆外的点到圆上点的距离的最小值为：点到圆心的距离减去半径；从而得到两个不等式，再根据的最小值，得到关于的方程，进而求得答案.【详解】因为，恰好为椭圆的两个焦点
5、，因为，所以.因为，得，所以，则.故选：B.【点睛】本题考查圆外一点到圆上一点距离的最小值，考查数形结合思想的应用，求解时注意利用不等式结合最值进行运算求值.8.已知直角坐标原点为椭圆：的中心，为左、右焦点，在区间任取一个数，则事件“以为离心率的椭圆与圆：没有交点”的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】满足题意时，椭圆上的点 到圆心 的距离： ，整理可得 ，据此有： ，题中事件的概率 .本题选择A选项.9.过抛物线的焦点且斜率大于0的直线交抛物线于点(点位于第一象限)，交其准线于点，若，且，则直线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】作出图象如下图所
6、示，作准线于，准线于，于.根据抛物线的定义得，由，从而得出直线的斜率，再根据三角形相似求得，由直线的点斜式得出直线的方程.【详解】作出图象如下图所示，作准线于，准线于，于.在中，斜率为，又，所以，直线的方程为，即，故选：A.【点睛】本题考查抛物线的定义，标准方程，以及直线的方程，关键在于将已知条件中的线段间的关系通过抛物线的定义转化为角的关系，得出直线的斜率，属于中档题.10.半正多面体(semiregular solid) 亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的
7、半正多面体.如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据三视图作出该二十四等边体如下图所示，求出该几何体的棱长，可以将该几何体看作是相应的正方体沿各棱的中点截去8个三棱锥所得到的，可求出其体积.【详解】如下图所示，将该二十四等边体的直观图置于棱长为2的正方体中，由三视图可知，该几何体的棱长为，它是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，该几何体的体积为，故选：D.【点睛】本题考查三视图，几何体的体积，对于二十四等边体比较好的处理方式是由正方体各棱的中点得到，属于中档题.11.已
8、知函数满足， 且在上有最小值，无最大值.给出下述四个结论：； 若，则；的最小正周期为3； 在上的零点个数最少为1346个其中所有正确结论的编号是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的性质，结合对称性以及周期性分别进行判断即可【详解】区间中点为，根据正弦曲线的对称性知,正确.若，则，即，不妨取，此时，满足条件，但为上的最大值，不满足条件，故错误.不妨令，两式相减得,即函数的周期，故正确.区间的长度恰好为673个周期，当时，即时，在开区间上零点个数至少为，故错误.故正确的是，故选：C【点睛】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假关系，结合三角函数的图象和性质，利用特
9、值法以及三角函数的性质是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度12.若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】函数有三个不同的零点,即方程有三个不同实数根.设,则由,当时，单调递减，当时，单调递增,所以所以在恒有令，得或.当时，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.，时，时，所以时，时所以的大致图像如下: 方程有三个不同实数根.结合函数图像有：故选：C【点睛】本题考查函数的零点、导数的综合应用，考查转化与化归能力，运算求解能力、数形结合思想，属于难题.二、填空题（每题5分，共20分）13.平面向量与的夹角为，则_【答
10、案】【解析】【分析】由计算模【详解】由题意，故答案为：【点睛】本题考查求向量的模，考查向量的数量积求向量的模一般转化为数量积运算，即由公式转化即可14.若，则的值为_【答案】【解析】令，得，令，得，则.点睛：本题考查二项式定理的应用；在利用二项式定理求二项展开式的系数和时，往往采用赋值法或整体赋值法，要灵活注意展开式中未知数的系数的特点合理赋值，往往是1，0,或.15.已知等差数列an和等差数列bn的前n项和分别为An和Bn，且，则_【答案】【解析】【分析】根据，设，则有，然后求得相应的项再求解.【详解】由，设，所以，所以，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与前n项和之间的
11、关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16.如图，在平面四边形中，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】设，在中，利用正弦定理得，利用余弦定理得，从而得到与的关系，再由可得与之间的关系，利用余弦定理可得，再利用三角函数的有界性可得答案.【详解】设，在中，由正弦定理得，即，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，当时，.故答案：【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的综合运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意确定以什么为变量，建立函数关系.三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，第22、23题为选考题
12、，考生根据要求作答.）17.在ABC中，, sinB=.1. 求sinA的值；2.设AC=，求ABC的面积.【答案】17. ; 18. ABC的面积为.【解析】【详解】（1）由，且，又，（2）如图：由正弦定理得，又 .18.如图1四边形中，是的中点，将图1沿直线折起，使得二面角为60如图2（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的余弦值【答案】（1）详见解析；（2）【解析】试题分析：（1）取中点，连结，则，由余弦定理知，又平面，平面，由线面垂直的判定定理，即可证明结果.（2）以为原点建立空间直角坐标系，则，然后再利用空间向量即可求出结果.试题解析：（1）证明：取中点，连结，则，由余弦定理知，又平
13、面，平面，又，平面（2）以为原点建立如图示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，由，得，故直线与平面所成角的余弦值为考点：1.线面垂直的判定定理；2.二面角.【方法点睛】利用空间向量法求二面角的一般方法，设二面角的平面角为，设分别为平面的法向量，二面角的大小为，向量的夹角为，则有（图1）或（图2）其中.19.已知A，B是抛物线C：y24x上两点，线段AB的垂直平分线与x轴有唯一的交点P（x0，0）（1）求证：x02；（2）若直线AB过抛物线C的焦点F，且|AB|10，求|PF|【答案】（1）见解析；（2）5【解析】【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1x2），有，用点差法，
14、两式相减得，有，得到线段AB的垂直平分线方程为，再令y0求解.（2）由抛物线的弦长公式有|AB|x1+x2+p10，得到x1+x28，再由求解.【详解】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1x2），由，两式相减得，即，线段AB的垂直平分线方程为，令y0，x1x2，y1+y20，得，x10，x20，x1x2，x1+x20，x02（2）|AB|x1+x2+p10，x1+x28，【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20.某企业为确定下一年度投入某种产品的生产所需的资金，需了解每投入2千万资金后，工人人数(单位:百人)对年产能(单位：千万元
15、)的影响，对投入的人力和年产能的数据作了初步处理，得到散点图和统计量表.（1）根据散点图判断:与哪一个适宜作为年产能关于投入的人力的回归方程类型？并说明理由？（2）根据（1）的判断结果及相关的计算数据，建立关于的回归方程；（3）现该企业共有2000名生产工人，资金非常充足，了使得年产能达到最大值，则下一年度共需投入多少资金（单位：千万元）？附注：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，(说明:的导函数为)【答案】（1）选择，理由见解析；（2）；（3）20千万【解析】【分析】（1）由图可知适宜作为年产能关于投入的人力的回归方程类型；（2）由,得，再利用最小二乘法求出，从而得到关
16、于回归方程；（3）利用导数求得当时，取得最大值.【详解】（1）由图可知适宜作为年产能关于投入人力的回归方程类型若选择，则，此时当接近于0时，必小于0，故选择作为年产能关于投入的人力的回归方程类型（2）由,得，故与符合线性回归，.，即，关于的回归方程.（3）当人均产能达到最大时，年产能也达到最大，由(2)可知人均产能函数，时，时，时，单调递增，时，单调递减，当时，人均产能函数达到最大值，因此，每2千万资金安排2百人进行生产，能使人均产能达到最大，对于该企业共有2000名生产工人，且资金充足，下一年度应该投入20千万资金进行生产，可以适当企业的产能达到最大.【点睛】本题考查统计中的散点图、回归方程
17、的最小二乘法求解、统计中的决策问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查数据处理能力、逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意知识的交会.21.已知函数（）若直线且曲线在A处的切线与在B处的切线相互平行，求a的取值范围；（）设在其定义域内有两个不同的极值点且若不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（）（）.【解析】试题分析：（）求出可得在有解，转化为函数与的图象在上有交点，求出相切时，利用数形结合思想可得结果；（）根据极值点的定义可得，作差可得，等价于 令，则，不等式在上恒成立，讨论两种情况，分别利用导数研究函数的单调性，根据单调性可得函数最值，从而筛选符合题意的的取值范围.试题解析：（）依题
18、意，函数的定义域为（0，），因为曲线在A处的切线与在B处的切线相互平行，所以有解，即方程有解. 方程有解转化为函数的图像在上有交点，如图，令过原点且与函数的图像相切的直线的斜率为，只须令切点为，所以，所以（）因为在其定义域内有两个不同的极值点，所以的两个根，即因为 令，则，由题意知，不等式上恒成立.令如果所以上单调递增，又 上恒成立，符合题意. 如果时， 上单调递增，在上单调递减，又上不能恒小于0，不符合题意，舍去.综上所述，若不等式恒成立，只须.选考题:请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以为极点，轴的正半轴
19、为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为()，将曲线向左平移2个单位长度得到曲线.（1）求曲线的普通方程和极坐标方程；（2）设直线与曲线交于两点，求的取值范围.【答案】（1）的极坐标方程为，普通方程为；（2）【解析】【分析】（1）根据三角函数恒等变换可得， ，可得曲线的普通方程，再运用图像的平移得依题意得曲线的普通方程为，利用极坐标与平面直角坐标互化的公式可得方程；（2）法一：将代入曲线的极坐标方程得，运用韦达定理可得，根据，可求得的范围；法二:设直线的参数方程为(为参数，为直线的倾斜角)，代入曲线的普通方程得，运用韦达定理可得，根据，可求得的范围；【详解】（1）， ，即曲线的普通方程为，依题意
20、得曲线的普通方程为，令，得曲线的极坐标方程为；（2）法一：将代入曲线的极坐标方程得，则，异号，；法二:设直线的参数方程为(为参数，为直线的倾斜角)，代入曲线的普通方程得，则，异号，.【点睛】本题考查参数方程与普通方程，极坐标方程与平面直角坐标方程之间的转化，求解几何量的取值范围，关键在于明确极坐标系中极径和极角的几何含义，直线的参数方程，参数的几何意义，属于中档题.23.已知函数，且（1）若，求的最小值，并求此时的值；（2）若，求证:【答案】（1）最小值为，此时；（2）见解析【解析】【分析】（1）由已知得，法一:，根据二次函数的最值可求得；法二:运用基本不等式构造，可得最值；法三：运用柯西不等式得：，可得最值；（2）由绝对值不等式得，又，可得证.【详解】（1），法一:，的最小值为，此时；法二:，即的最小值为，此时；法三：由柯西不等式得：，,即的最小值为，此时；（2），又，.【点睛】本题考查运用基本不等式，柯西不等式，绝对值不等式进行不等式的证明和求解函数的最值，属于中档题.
