1、专题强化练13函数极值的求解及其应用一、选择题1.(2020江苏宿迁沭阳高二下期中联考,)已知函数f(x)=x(x-c)2在x=1处有极大值,则常数c的值为()A.1或3B.3C.1D.-12.(2020江苏南京江宁高级中学高二下期中,)若函数y=f(x)存在n-1(nN*)个极值点,则称y=f(x)为n折函数,例如f(x)=x2为2折函数.已知函数f(x)=(x+1)ex-x(x+2)2,则f(x)为()A.2折函数B.3折函数C.4折函数D.5折函数3.(2020福建三明高三上期末质量检测,)函数f(x)=ln x2-x的图象大致为()4.(多选)(2020山东济宁高二上期末,)已知函数f
2、(x)的定义域为R且其导函数为f(x),如图是函数y=xf(x)的图象,则下列说法正确的是()A.函数f(x)的单调递增区间是(-2,0),(2,+)B.函数f(x)的单调递增区间是(-,-2),(2,+)C.x=-2是函数f(x)的极小值点D.x=2是函数f(x)的极小值点5.(2020江西上饶高三上第三次阶段测试,)已知函数f(x)=ax-x2-ln x存在极值,若这些极值的和大于5+ln 2,则实数a的取值范围为()A.(-,4)B.(4,+)C.(-,2)D.(2,+)6.(2020江苏扬州仙城中学高二下阶段测试,)已知函数f(x)=(x-3)ex+a(2ln x-x+1)在(1,+)
3、上有两个极值点,且f(x)在(1,2)上单调递增,则实数a的取值范围是()A.(e,+)B.(e,2e2)C.(2e2,+)D.(e,2e2)(2e2,+)7.(多选)(2020江苏连云港海头高级中学高二下四检,)已知f(x)是定义在R上的函数,f(x)是f(x)的导函数,给出下列四个结论,其中正确的是()A.若f(-1)=2,且f(x)2,则f(x)2x+4的解集为(-1,+)B.若f(x)+ f(x)x0,且f(0)=e,则函数xf(x)有极小值0C.若f(x)+f(x)0,且f(0)=1,则不等式exf(x)0,则 f(2020)ef(2 019)二、填空题8.()已知函数f(x)=x3
4、-3x2-9x-1的图象与函数g(x)=a的图象有三个交点,则实数a的取值范围是.三、解答题9.(2020河南新乡高二上期末,)已知函数f(x)=mx+nx的图象在x=14处的切线方程为y=-14.(1)求f(x)的解析式;(2)若关于x的方程f(x)=aln x在x(1,+)上有解,求a的取值范围.10.(2020江苏苏州四中高二下质检,)定义:若一个函数存在极大值,且该极大值为负数,则称这个函数为“YZ函数”.(1)判断函数f(x)=xex-1是不是“YZ函数”,并说明理由;(2)若函数g(x)=ln x-mx(mR)是“YZ函数”,求实数m的取值范围;(3)已知h(x)=13x3+12a
5、x2+bx-13b,x(0,+),a、bR,求证:当a-2,且0b0时,f(x)=2lnx-x,f(x)=2x-1=2-xx.当x2时,f(x)0,当0x0,f(x)在(0,2)上单调递增,在(2,+)上单调递减,且f(x)在(0,+)上的极大值为f(2)=2ln2-20,C、D错误.当x0时,f(x)=2ln(-x)-x,f(x)=2-xx0,f(x)在(-,0)上是减函数,A错误,B正确.故选B.解题模板由函数解析式确定函数图象时,往往由解析式确定其性质,再由性质逐一确定其大致图象.解题时,可通过求导得到极值点,从而确立函数的大致图象.4.BD由题图可知,当0x2时,f(x)2,f(x)0
6、;当-2x0时,f(x)0;当x0.所以函数f(x)在(-,-2)和(2,+)上单调递增,在(-2,2)上单调递减,所以函数f(x)在x=2处取得极小值,在x=-2处取得极大值.故选BD.5.Bf(x)=ax-x2-lnx(x0),f(x)=-2x2-ax+1x(x0).f(x)存在极值,f(x)=0在(0,+)上有实根,即2x2-ax+1=0在(0,+)上有解,即a=2x+1x在(0,+)上有解.由2x+1x22x1x=22(当且仅当x=22时取“=”),得a22(a=22时无极值).此时,f(x)=0有两个不相等的正实数根,设为x1,x2,则x1+x2=a2,x1x2=12,f(x1),f
7、(x2)是f(x)的两个极值,依题意得f(x1)+f(x2)=a(x1+x2)-(x12+x22)-(lnx1+lnx2)=a22-a24-1-ln12=a24+1+ln25+ln2,化简得a216,又a22,a4.a的取值范围是(4,+),故选B.解题模板与函数的极值有关的问题,在解题时常用“整体代入”的方法,如本题中用根与系数关系整体代入,有时还需将f(x0)=0整体代入f(x0),进而解决相关的极值问题.6.C由f(x)=(x-3)ex+a(2lnx-x+1),可得f(x)=ex+(x-3)ex+a2x-1=(x-2)ex-ax=(x-2)xex-ax,又函数f(x)在(1,+)上有两个
8、极值点,所以f(x)=0,即(x-2)xex-ax=0在(1,+)上有两个解,即xex-a=0在(1,+)上有一个不等于2的解,令g(x)=xex(x1),则g(x)=(x+1)ex0(x1),所以函数g(x)=xex在(1,+)上单调递增,所以ag(1)=e且ag(2)=2e2,又f(x)在(1,2)上单调递增,所以f(x)0在(1,2)上恒成立,即(x-2)xex-ax0在(1,2)上恒成立,即xex-a0在(1,2)上恒成立,即axex在(1,2)上恒成立,由函数g(x)=xex在(1,+)上单调递增,可得ag(2)=2e2.综上所述,实数a的取值范围是(2e2,+),故选C.7.ABD
9、设g(x)=f(x)-2x-4,因为f(-1)=2,且f(x)2,所以g(x)=f(x)-20,所以g(x)是R上的增函数,又因为g(-1)=f(-1)+2-4=0,所以当x-1时,g(x)=f(x)-2x-40,即f(x)2x+4的解集为(-1,+),故A正确.设h(x)=xf(x),则h(x)=f(x)+xf(x),因为f(x)+f(x)x=xf (x)+f(x)x0,所以当x(-,0)时,h(x)=f(x)+xf(x)0,h(x)为增函数,故当x=0时,h(x)=xf(x)取得极小值,极小值为h(0)=0,故B正确.设m(x)=exf(x),则m(x)=exf(x)+exf(x)=exf
10、(x)+f(x),因为f(x)+f(x)0,ex0,所以m(x)0,故m(x)是R上的增函数.又因为f(0)=1,所以m(0)=e0f(0)=1,所以当x(0,+)时,m(x)=exf(x)1,故C错误.设n(x)=f(x)ex,则n(x)=f (x)-f(x)ex,因为f(x)-f(x)0,所以n(x)=f (x)-f(x)ex0,故n(x)是R上的增函数,所以n(2020)n(2019),即 f(2020)e2020f(2019)e2019,即 f(2020)ef(2019),故D正确.故选ABD.二、填空题8.答案(-28,4)解析易得f(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3).
11、令f(x)0,得x3;令f(x)0,得-1x3.所以f(x)在(-,-1),(3,+)上单调递增,在(-1,3)上单调递减.所以当x=-1时,f(x)取得极大值,极大值为f(-1)=4,当x=3时,f(x)取得极小值,极小值为f(3)=-28.因为函数f(x)=x3-3x2-9x-1的图象与函数g(x)=a的图象有三个交点,所以-28ag(1)=1.当2a1,即a12时,F(x)0,此时F(x)在(1,+)上单调递增,又F(1)=0,所以F(x)0.当2a1,即a12时,存在x0(1,+),使得F(x0)=0,所以函数F(x)在(1,x0)上单调递减,在(x0,+)上单调递增,又F(1)=0,
12、所以F(x0)0,当x+时,F(x)+,所以F(x)=0在(1,+)上有解,即f(x)=alnx在x(1,+)上有解.综上,a的取值范围为12,+.解题模板解决含参函数的相关问题时,要注意寻找特殊值,利用特殊值解决问题,如本题中的特殊值为F(1)=0,结合F(x)的单调性可顺利解决本题.10.解析(1)函数f(x)=xex-1是“YZ函数”,理由如下:因为f(x)=xex-1,所以f(x)=1-xex.当x0;当x1时,f(x)0,所以函数f(x)=xex-1的极大值为f(1)=1e-10,函数g(x)单调递增,无极大值,不满足题意;当m0时,令g(x)=1x-m0,得0x1m,故函数g(x)
13、在0,1m上单调递增,令g(x)=1x-m1m,故函数g(x)在1m,+上单调递减,所以函数g(x)的极大值为g1m=ln1m-m1m=-lnm-1,易知g1m=-lnm-11e,因此实数m的取值范围是1e,+.(3)证明:易得h(x)=x2+ax+b,因为a-2,0b0,所以h(x)=x2+ax+b=0有两个不等实根,设为x1、x2,易得x1+x2=-a0,x1x2=b0,所以x10,x20,不妨设0x1x2,当0x0,函数h(x)单调递增;当x1xx2时,h(x)0,函数h(x)单调递减.所以函数h(x)的极大值为h(x1)=13x13+12ax12+bx1-13b,由h(x1)=x12+ax1+b=0得x13=x1(-ax1-b)=-ax12-bx1,因为a-2,0b1,所以h(x1)=13x13+12ax12+bx1-13b=13(-ax12-bx1)+12ax12+bx1-13b=16ax12+23bx1-13b-13x12+23bx1-13b=-13(x1-b)2+13b(b-1)0.所以函数h(x)是“YZ函数”.
