1、数学人教B选修2-1第三章3.2.5距离(选学)1理解图形F1与图形F2的距离的概念2掌握四种距离的概念3会解决一些简单的距离问题1距离的概念一个图形内的任一点与另一图形内的任一点的距离中的_，叫做图形与图形的距离此概念中的图形不仅仅是平面图形，也包括空间图形【做一做1】空间直角坐标系中，已知A(2,3,4)，B(2,1,0)，C(1,1,1)，则C到AB中点的距离为()A1 B C2 D2点到平面的距离一点到它在一个平面内_的距离，叫做点到这个平面的距离求点到平面的距离时，一般是过该点作平面的垂线，也可利用等积法求解【做一做2】在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，点A1到平面BB1
2、D1D的距离为()Aa BaCa Da3直线与它的平行平面的距离一条直线上的任一点，与它平行的平面的距离，叫做直线与这个平面的距离求线面距离时，注意在l上所取一点的位置，通常借助于面面垂直的性质过这一点作平面的垂线，从而转化为点到面的距离求解【做一做3】正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则BC到AB1C1D的距离为()A1 BC D4两个平行平面的距离(1)和两个平行平面_的直线，叫做两个平面的公垂线(2)公垂线_平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段(3)两平行平面的公垂线段的长度，叫做两平行平面的距离两平行平面的公垂线段就是在一个平面内取一点作另一个平面的垂线段，这样公垂线段的长
3、就是点到平面的距离，所以两平行平面的距离，可转化为点到平面的距离，可以用点到平面的距离求解【做一做4】已知平面平面，空间一点到的距离是4，到平面的距离是2，则平面与平面的距离是()A2 B6 C2或6 D以上都错如何求点到平面的距离？剖析：如图，BO平面，垂足为O，则点B到平面的距离就是线段BO的长度若AB是平面的任一条斜线段，则在RtBOA中，|cosABO.如果令平面的法向量为n，考虑到法向量的方向，可以得到点B到平面的距离为|.因此要求一个点到平面的距离，可以分以下几步完成：(1)求出该平面的一个法向量；(2)找出从该点出发到平面的任一条斜线段对应的向量；(3)求出法向量与斜线段向量的数
4、量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离由于n0可以视为平面的单位法向量，所以点到平面的距离实质就是平面的单位法向量与从该点出发的斜线段向量的数量积的绝对值，即d|n0|.线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解题型一 用向量求两点间的距离【例1】已知平行六面体ABCDABCD，AB4，AD3，AA5，BAD90，BAADAA60，求A与C的距离分析：解答本题可先用基底表示，然后平方求|.反思：空间距离本质上是点与点的距离，求空间两点的距离常常转化为求向量的模；点与直线的距离可以运用三垂线定理作直线的垂线，再运用解三角形求题型二 求点到平面的距离【例2】直三棱柱A
5、BCA1B1C1的侧棱AA1，在底面ABC中，C90，ACBC1，求点B1到平面A1BC的距离分析：直接作平面的垂线较难，故可考虑建立平面直角坐标系求解反思：点到平面的距离的求法：定义法即直接求所作公垂线段的长；等体积转化法；利用法向量求一个点到平面的距离可用点到平面的距离公式d|n0|，其中d为点P到平面的距离，A为平面内的一点，n0为平面的单位法向量，n为平面的法向量题型三 求平行平面的距离【例3】正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，求平面AB1D1与平面BDC1的距离反思：求两平面之间的距离首先要判定两平面的位置关系即证明它们平行然后再求面面距离通常转化为点面距离来求1在棱长为a的
6、正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离为()Aa Ba Ca Da2已知矩形ABCD的一边CD在平面内，AC与所成角为60，若AB2，AD4，则AB到的距离为()A B C D33已知正四棱台ABCDA1B1C1D1的上、下底面边长分别为2和4，侧面与下底面所成的角为45，则两底面的距离为()A B1 C2 D24把边长为a的正三角形ABC沿高AD折成60的二面角BADC，则点A到直线BC的距离等于_5平面内的MON60，PO是的斜线段，PO3，且POMPON45，则点P到的距离为_答案：基础知识梳理1最小值【做一做1】B用空间两点间的距离公式可求得距离
7、为.2正射影【做一做2】D设B1D1中点为O，则A1O即为点A1到平面BB1D1D的距离可求得A1Oa.【做一做3】C设AB1中点为O，则BO即为BC到AB1C1D的距离4(1)同时垂直(2)夹在【做一做4】C这一点可能在两平面之间也可能在两平面的外侧典型例题领悟【例1】解：如图，因为，所以|2()()|2|2|22()4232522(0107.5)85，因此|.【例2】解：如图，建立空间直角坐标系，由已知得直棱柱各顶点坐标如下：A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，A1(1,0，)，B1(0,1，)，C1(0,0，)则(0，1,0)，(1,0，)设平面A1BC的法向量为n(x
8、，y，z)，则n0，n0，即xz0，y0，令x，则y0，z1，所以平面A1BC的一个法向量为n(，0,1)所以点B1到平面A1BC的距离d.【例3】解：建立坐标系如图，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，D(0,0,0)，C1(0，a，a)，D1(0,0，a)，B1(a，a，a)(0，a，a)，(a，0，a)，(a,0，a)，(0，a，a)设n(x，y，z)为平面AB1D1的法向量，则得取z1，则n(1，1,1)又AD1BC1，AB1DC1，AD1AB1A，DC1BC1C1，平面AB1D1平面BDC1.两平面间的距离可转化为点C1到平面AB1D1的距离d.(a,0,0)，平面AB1D1的法向量为n(1，1,1)，da.随堂练习巩固1D点A1到平面MBD的距离等于点A到平面MBD的距离，利用VMABDVAMBD求解2A如图，作AE于点E，由三垂线逆定理可得EDDC，AC2，AEACsin 60.3B4a5
