1、典题精讲例1 已知a,b,c依次成等比数列,且x,y分别是a,b和b,c的等差中项,求的值.思路分析:从题意推测所求应为一常数,应用特殊化思想,令a,b,c分别为1,3,9,则x=2,y=6,则=2.解:已知a,b,c成等比数列,设其公比为q,则b=aq,c=bq,x,y分别为a,b和b,c的等差中项,则.绿色通道:x=,似乎无法通分,但只要注意到a,b,c成等比数列,设公比为q,则b+c=q(a+b)就可以通分了.变式训练 （2006湖北高考,理2）若互不相等的实数a,b,c成等差数列,c,a,b成等比数列,且a+3b+c=10,则a等于( )A.4 B.2 C.-2 D.-4思路解析:由互
2、不相等的实数a,b,c成等差数列,可设a=b-d,c=b+d.由a+3b+c=10,得b=2.所以a=2-d,c=2+d.又c,a,b成等比数列,则a2=bc,即(2-d)2=2(2+d)得d=6.所以a=-4.答案:D例2 在等比数列an中,Sn=48,S2n=60,求S3n.思路分析:由已知可列的两个方程组成的方程组中有三个量a1,q,n,要独立求出这三个量的值是不可能的,但进行整体代换则问题很快得到解决.解:设等比数列an的公比为q,因Sn=48,S2n=60,所以q1,于是得方程组,得1+qn=,qn=.则q3n=.又1-qn=,代入,=64,所以S3n=.绿色通道:整体代换,求比值的
3、方法在处理数列问题及其他有关数学问题时经常遇到.另外,还可以运用等比数列性质做此题:若数列an是等比数列,Sn是其前n项的和,kN+,那么Sk,S2k-Sk,S3k-S2k成等比数列.则有,则(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n),(60-48)2=48(S3n-60),得S3n=63.变式训练1 (2006全国高考,文18)设等比数列an的前n项和为Sn,S4=1,S8=17,求通项公式an.思路分析:在求解过程中把q4-1看成一个整体,简化运算.解:设an的公比为q,由S4=1,S8=17,知q1,得=1, =17. 由式,得=17.解得q4=16.所以q=2或q=-2.将q=2代入式
4、,得a1=.所以an=.将q=-2代入式,得a1=.所以an=.变式训练2 (2006全国高考,文17)已知an为等比数列,a3=2,a2+a4=,求an的通项公式.解:设等比数列an的公比为q,则q0,a2=,a4=a3q=2q.所以,解得q=3或.当q=时,a1=18.所以an=18()n-1=233-n.当q=3时,a1=,所以an=3n-1=23n-3.变式训练3 (2006重庆高考,理14)在数列an中,若a1=1,an+1=2an+3(n1),则该数列的通项an=_.思路解析:在数列an中,若a1=1,an+1=2an+3(n1),an+1+3=2(an+3)(n1),即an+3是
5、以a1+3=4为首项,2为公比的等比数列.an+3=42n-1=2n+1.该数列的通项an=2n+1-3.答案:2n+1-3例3 已知等比数列的前n项和Sn=4n-1+a,则a的值为_.思路解析:S1=a1=1+a,S2=a1+a2=4+a,a2=3.S3=16+a,S3-S2=a3=12,q= =4.由a2=a1q,得(1+a)4=3.a=.答案:绿色通道:注意到等比数列前n项和的结构将有助于更快、更准确地求出a的值.变式训练 (2006辽宁高考,理9)在等比数列an中,a1=2,前n项和为Sn,若数列an+1也是等比数列,则Sn等于( )A.2n+1-2 B.3n C.2n D.3n-1思
6、路解析:因数列an为等比数列,则an=2qn-1,因数列an+1也是等比数列,则(an+1+1)2=(an+1)(an+2+1)an+12+2an+1=anan+2+an+an+2an+an+2=2an+1an(1+q2-2q)=0q=1,即an=2.所以Sn=2n.答案:C例4 设等比数列an的公比为q,前n项和Sn0(n=1,2,).(1)求q的取值范围;(2)设bn=an+2-an+1,记bn的前n项和为Tn,试比较Sn和Tn的大小.思路分析:根据Sn0,解不等式可求出q的取值范围;(2)中可以利用bn=an+2-an+1,找到前n项和Tn与Sn的关系式,再比较大小时就较容易了,另外要注
7、意分类讨论.解:(1)因为an是等比数列,Sn0,可得a1=S10,q0.当q=1时,Sn=na10;当q1时,Sn=,即0(n=1,2,).上式等价于不等式组(n=1,2,).解式,得q1;解式,由于n可为奇数、可为偶数,得-1q1.综上,q的取值范围是(-1,0)(0,+).(2)由bn=an+2an+1,得bn=an(q2q).Tn=(q2q)Sn.于是Tn-Sn=Sn(q2-q-1)=Sn(q+)(q-2).又Sn0且-1q0或q0,当-1q或q2时,Tn-Sn0,即TnSn;当q2且q0时,Tn-Sn0,即TnSn;当q=或q=2时,Tn-Sn=0,即Tn=Sn.黑色陷阱:在求q的取
8、值范围,尤其是在解第二个不等式组时,容易忽视n为偶数的讨论,这一点要重视;在比较Sn和Tn的大小时,上来就直接作差,这样计算量大,且不直观.变式训练 （2006四川高考,文17）数列an的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n1).(1)求an的通项公式;(2)等差数列bn的各项为正,其前n项和为Tn,且T3=15,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列,求Tn.思路分析:(1)利用Sn-Sn-1=an(n2)找出相邻两项之间的关系式,进而判断数列是否为特殊数列,(2)关键是求出等差数列bn的首项和公差.解:(1)由an+1=2Sn+1,得an=2Sn-1+1(n2).两式
9、相减,得an+1-an=2an.an+1=3an(n2).又a2=2S1+1=3,a2=3a1.故an是首项为1,公比为3的等比数列.an=3n-1.(2)设bn的公差为d,由T3=15,得b1+b2+b3=15,则b2=5.故可设b1=5-d,b3=5+d,又a1=1,a2=3,a3=9,由题意,得(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)2.解得d1=2,d2=-10.等差数列bn的各项为正,d0.d=2.b1=3.Tn=3n+2=n2+2n.问题探究问题 怎样灵活处理求通项公式的问题?导思:如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项,则可以根据前几项的规律,观察分析、归纳、猜想出数列的通项
10、公式,然后再用数学归纳法证明之.但对于特殊数列则可直接求解.探究:如果已知数列为等差(或等比)数列,可直接根据等差(或等比)数列的通项公式,求得a1,d(或q),然后直接套公式即可.已知数列的前n项和求通项时,通常用公式an=S1,Sn-Sn-1,n=1,n2.用此公式时应当注意结论有两种可能,一种是“一分为二”,即分段式;另一种是“合二为一”,即a1和an合为一个表达式.对于形如an+1=an+f(n)型或形如an+1=f(n)an型的数列,其中f(n)又是等差数列或等比数列,可以根据递推公式,写出n取1到n时的所有的递推关系式,然后将它们分别相加(或相乘)即可得到通项公式.有些数列本身并不是等差或等比数列,但可以经过适当的变形,构造出一个新的数列为等差或等比数列,从而利用这个数列求其通项公式.这叫做构造法.例如:在数列an中,a1=1,a2=2,an+2=an+1+an,两边减去an+1,得an+2-an+1=(an+1-an),即可构造另一个等比数列来解决问题.当然了,求数列的通项还有很多其他的类型,但是,肯定的一点是,在求通项时,应尽可能将已知数列转化成等差(或等比)数列,从而利用等差(或等比)数列的通项公式求其通项.
