1、2015-2016学年吉林省吉林一中高二（下）3月月考数学试卷（文科）一、选择题：（每小题5分，共计70分）1函数y=sinx2x的导数是（）Acosx2xBcosx2xln2Ccosx+2xDcosx2xln22函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点的个数为（）A1B2C3D43“函数f（x）在x0处取得极值”是“f（x0）=0“的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件4已知函数的单调减区间是（0，4），则实数m=（）A1B1C2D25已知函数f（x）=x3+ax在区间2，
2、1上是单调增函数，则实数a的最小值是（）A12B0C3D16函数的单调递减区间是（）A（，1）B（0，+）C（0，1）D（1，+）7函数f（x）=x2cosx在区间上的最小值是（）AB2CD8已知直线y=kx+1与曲线y=x3+mx+n相切于点P（1，3），则n=（）A1B1C3D49已知曲线y=lnx的切线过原点，则此切线的斜率为（）AeBeCD10若函数f（x）=2x2lnx在其定义域内的一个子区间（k1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是（）A1，+）B1，）C1，2）D，2）11定义在R上的函数f（x）的导函数为f（x），f（x）的图象关于直线x=1对称，且（x1）f（x）0
3、，若x1x2，且x1+x22，则f（x1）与f（x2）的大小关系是（）Af（x1）f（x2）Bf（x1）f（x2）Cf（x1）=f（x2）D不确定12函数f（x）是定义在（0，+）上的非负可导函数，且满足f（x）+xf（x）0对任意正数a、b，若ab，则必有（）Aaf（b）bf（a）Bbf（a）af（b）Caf（a）bf（b）Dbf（b）af（a）13若函数f（x）=xexa有两个零点，则实数a的取值范围是（）ABC（e，0）D（0，e）14已知函数，若存在x00，使得f（x0）0有解，则实数a的取值范围是（）A（2，+）B（，3）C（，1D3，+）二、填空题：（每小题5分，共计20分）15曲
4、线y=x32x24x+2在点（1，3）处的切线方程是16已知f（x）=x2+2xf（1），则f（0）=17已知直线y=x+a与曲线y=lnx相切，则a的值为18已知函数在内有极值，则实数a的取值范围是三、解答题：（共计60分）19已知函数f（x）=+lnx（I）当时，求f（x）在1，e上的最大值和最小值；（II）若函数g（x）=f（x）x在1，e上为增函数，求正实数a的取值范围20已知函数f（x）=ax3+bx23x在x=1处取得极值（1）求函数f（x）的解析式；（2）求证：对于区间1，1上任意两个自变量的值x1，x2都有|f（x1）f（x2）|421已知函数f（x）=x2（a+2）x+aln
5、x（a0）（）求函数f（x）的单调增区间；（）若a=4，y=f（x）的图象与直线y=m有三个不同交点，求m的取值范围22已知函数f（x）=axlnx+b（a，bR）的图象过点（1，0），且在该点处的切线斜率为1（）求f（x）的极值；（）若，存在x0（0，+）使得f（x0）g（x0）成立，求实数m的取值范围2015-2016学年吉林省吉林一中高二（下）3月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共计70分）1函数y=sinx2x的导数是（）Acosx2xBcosx2xln2Ccosx+2xDcosx2xln2【考点】导数的运算【分析】利用导数的运算法则即可得出【解答】解：
6、y=sinx2x，y=cosx2xln2故选：B2函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点的个数为（）A1B2C3D4【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】根据当f（x）0时函数f（x）单调递增，f（x）0时f（x）单调递减，可从f（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增减增减，然后得到答案【解答】解：从f（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增减增减，根据极值点的定义可知在（a，b）内只有一个极小值点故选：A3“函数f（x）在x0处取得极值”是“f（x0）=0
7、“的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件【考点】函数在某点取得极值的条件；必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据极值的定义可知，前者是后者的充分条件若“f（x0）=0”，还应在导数为0的左右附近改变符号时，“函数f（x）在x0处取得极值”故可判断【解答】解：若“函数f（x）在x0处取得极值”，根据极值的定义可知“f（x0）=0”成立，反之，“f（x0）=0”，还应在导数为0的左右附近改变符号时，“函数f（x）在x0处取得极值”故选A4已知函数的单调减区间是（0，4），则实数m=（）A1B1C2D2【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】求出函数的导数，得
8、到4是方程f（x）=0的根，求出m的值即可【解答】解：f（x）=x22mx，若f（x）的单调减区间是（0，4），则x=4是方程f（x）=0的根，即168m=0，解得：m=2，故选：D5已知函数f（x）=x3+ax在区间2，1上是单调增函数，则实数a的最小值是（）A12B0C3D1【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】求出函数的导数，问题转化为a（3x2）max在2，1恒成立，求出a的范围即可【解答】解：f（x）=3x2+a，若f（x）在2，1递增，则3x2+a0在2，1恒成立，即a（3x2）max在2，1恒成立，故a12，故选：A6函数的单调递减区间是（）A（，1）B（0，+）C（0，1）D
9、（1，+）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递减区间即可【解答】解：f（x）=，令f（x）0，即1x0，解得：x1，故f（x）在（1，+）递减，故选：D7函数f（x）=x2cosx在区间上的最小值是（）AB2CD【考点】函数的最值及其几何意义【分析】求导，令f（x）0，求得单调递增区间，令f（x）0，求得函数的单调递减区间，根据函数的单调性即可求得当x=时，取最小值，代入即可求得函数的最小值【解答】解：由函数f（x）=x2cosx，求导f（x）=1+2sinx，x，令f（x）0，即sinx，即x0，令f（x）0，即sinx，即x，f（x）在
10、，）单调递减，在（，0单调递增，当x=时，取最小值，最小值为：f（）=2cos（）=，函数f（x）=x2cosx在区间上的最小值，故选D8已知直线y=kx+1与曲线y=x3+mx+n相切于点P（1，3），则n=（）A1B1C3D4【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求函数的导数，根据导数的几何意义，建立方程关系即可得到结论【解答】解：y=x3+mx+n，y=3x2+m，直线y=kx+1与曲线y=x3+mx+n相切于点P（1，3），f（1）=k=3+m，3=k+1=1+m+n，解得m=1，n=3，故选C9已知曲线y=lnx的切线过原点，则此切线的斜率为（）AeBeCD【考点】利用导数研
11、究曲线上某点切线方程【分析】设切点坐标为（a，lna），求函数的导数，可得切线的斜率，切线的方程，代入（0，0），求切点坐标，切线的斜率【解答】解：设切点坐标为（a，lna），y=lnx，y=，切线的斜率是，切线的方程为ylna=（xa），将（0，0）代入可得lna=1，a=e，切线的斜率是=；故选：C10若函数f（x）=2x2lnx在其定义域内的一个子区间（k1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是（）A1，+）B1，）C1，2）D，2）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】先确定函数的定义域然后求导数f（x），在函数的定义域内解方程f（x）=0，使方程的解在定义域内的一个子区间（
12、k1，k+1）内，建立不等关系，解之即可【解答】解：因为f（x）定义域为（0，+），又，由f（x）=0，得当x（0，）时，f（x）0，当x（，+）时，f（x）0据题意，解得故选B11定义在R上的函数f（x）的导函数为f（x），f（x）的图象关于直线x=1对称，且（x1）f（x）0，若x1x2，且x1+x22，则f（x1）与f（x2）的大小关系是（）Af（x1）f（x2）Bf（x1）f（x2）Cf（x1）=f（x2）D不确定【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】求出函数f（x）的单调区间，通过讨论x1的范围，比较出函数值的大小即可【解答】解：f（x）的图象关于直线x=1对称，且（x1）f（x）
13、0，f（x）在（，1）递增，在（1，+）递减，x11时，由x1x2，得：f（x1）f（x2），若x11，且x1+x22，则1x1x21，故f（x1）f（x2），综上，f（x1）f（x2），故选：A12函数f（x）是定义在（0，+）上的非负可导函数，且满足f（x）+xf（x）0对任意正数a、b，若ab，则必有（）Aaf（b）bf（a）Bbf（a）af（b）Caf（a）bf（b）Dbf（b）af（a）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】先构造函数，再由导数与原函数的单调性的关系解决【解答】解：xf（x）+f（x）0xf（x）0函数F（x）=xf（x）在（0，+）上为常函数或递减，又0ab且f（
14、x）非负，于是有：af（a）bf（b）00两式相乘得：0af（b）bf（a），故选：A13若函数f（x）=xexa有两个零点，则实数a的取值范围是（）ABC（e，0）D（0，e）【考点】函数零点的判定定理【分析】求导，令f（x）=0，解得：x=1，令f（x）0，求得单调递减区间，令f（x）0，求得函数的单调递增区间，当x=1时，函数取最小值f（1）=exa，函数f（x）=xexa有两个零点，则f（1）=exa0，a，由a0时，x（，1）时，f（x）=xexa恒成立，不存在零点，即可求得a的取值范围【解答】解：由函数f（x）=xexa的导函数f（x）=（x+1）ex，令f（x）=0，即（x+1）
15、ex=0，解得：x=1，当x（，1）时，f（x）0，函数f（x）单调递减；当x（1，+）时，f（x）0，函数f（x）单调递增；故当x=1时，函数取最小值f（1）=e1a，若函数f（x）=xexa有两个零点，则f（1）=e1a0，即a，又a0时，x（，1）时，f（x）=xexa恒成立，不存在零点，故a0，综上可知：a0，实数a的取值范围（，0），故选B14已知函数，若存在x00，使得f（x0）0有解，则实数a的取值范围是（）A（2，+）B（，3）C（，1D3，+）【考点】特称命题【分析】利用参数分离法进行转化，构造函数求出函数的单调性和极值即可得到结论【解答】解：若存在x00，使得f（x0）0有
16、解，则由f（x）=1+lnx0，即1lnx，即axxlnx，设h（x）=xxlnx，则h（x）=1（lnx+x）=1lnx1=lnx，由h（x）0得lnx0，即lnx0，得0x1，此时函数递增，由h（x）0得lnx0，即lnx0，得x1，此时函数递减，即当x=1时，函数h（x）取得极大值h（1）=1ln1=1，即h（x）1若axxlnx，有解，则a1，故选：C二、填空题：（每小题5分，共计20分）15曲线y=x32x24x+2在点（1，3）处的切线方程是5x+y2=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】没有判断点与曲线的位置关系，导致运算较繁或找不到方法，先判断点与曲线的位置关系，然
17、后求出函数在x=1处的导数，得到切线的斜率，从而求出切线方程【解答】解：易判断点（1，3）在曲线y=x32x24x+2上，故切线的斜率k=y|x=1=（3x24x4）|x=1=5，切线方程为y+3=5（x1），即5x+y2=0故答案为：5x+y2=016已知f（x）=x2+2xf（1），则f（0）=4【考点】导数的运算【分析】把给出的函数求导得其导函数，在导函数解析式中取x=1可求f（1）的值，再代入即可求出f（0）的值【解答】解：由f（x）=x2+2xf（1），得：f（x）=2x+2f（1），取x=1得：f（1）=21+2f（1），所以，f（1）=2故f（0）=2f（1）=4，故答案为：41
18、7已知直线y=x+a与曲线y=lnx相切，则a的值为1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】先设出切点坐标，根据导数的几何意义求出在切点处的导数，从而求出切点横坐标，再根据切点既在曲线y=lnx1的图象上又在直线y=x+a上，即可求出b的值【解答】解：设切点坐标为（m，n）y|x=m=1解得，m=1切点（1，n）在曲线y=lnx的图象上n=0，而切点（1，0）又在直线y=x+a上a=1故答案为：118已知函数在内有极值，则实数a的取值范围是（e+2，+）【考点】利用导数研究函数的极值【分析】求出函数的导数，令g（x）=x2（a+2）x+1=（x）（x），求出g（）0，解出a即可【解答】
19、解：函数的定义域为（0，1）（1，+）求导函数f（x）=，函数f（x）在（0，）内有极值f（x）=0在（0，）内有解，令g（x）=x2（a+2）x+1=（x）（x）=1，不妨设0，则eg（0）=10，g（）=+10，ae+2，故答案为：（e+2，+）三、解答题：（共计60分）19已知函数f（x）=+lnx（I）当时，求f（x）在1，e上的最大值和最小值；（II）若函数g（x）=f（x）x在1，e上为增函数，求正实数a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（）求导数，确定函数的单调性，进而可得函数的极值与最值；（）求导函数g（x）=，构造函数h（x）=ax2+4ax4，由题意知，
20、只需h（x）0在1，e上恒成立，从而可求正实数a的取值范围【解答】解：（）当时，（x0），当x1，2）时，f（x）0；当x（2，e时，f（x）0，f（x）在1，2）上单调递减，在（2，e上单调递增，f（x）在区间1，e上有唯一极小值点，故f（x）min=f（x）极小值=f（2）=ln21又f（1）=0，f（e）=f（x）在区间1，e上的最大值为f（x）max=f（1）=0综上可知，函数f（x）在1，e上的最大值是0，最小值是ln21（）g（x）=f（x）x，g（x）=，设h（x）=ax2+4ax4，由题意知，只需h（x）0在1，e上恒成立，因为a0，h（x）图象的对称轴为x=2，所以只需h（1
21、）=3a40，所以a20已知函数f（x）=ax3+bx23x在x=1处取得极值（1）求函数f（x）的解析式；（2）求证：对于区间1，1上任意两个自变量的值x1，x2都有|f（x1）f（x2）|4【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值【分析】（1）f（x）=3ax2+2bx3，依题意，f（1）=f（1）=0，由此能求出函数f（x）的解析式（2）由f（x）=x33x，知f（x）=3（x+1）（x1）当1x1时，f（x）0，由此能够证明对于区间1，1上任意两个自变量的值x1，x2都有|f（x1）f（x2）|4【解答】（1）解：f（x）=ax3+bx23x，f（x）=3ax2+2
22、bx3，函数f（x）=ax3+bx23x在x=1处取得极值，f（1）=f（1）=0即3a+2b3=3a2b3=0，解得a=1，b=0，f（x）=x33x（2）证明：f（x）=x33xf（x）=3x23=3（x+1）（x1）当1x1时，f（x）0，故f（x）在区间1，1上为减函数 f（x）max=f（1）=2，f（x）min=f（1）=2对于区间1，1上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）f（x2）|f（x）maxf（x）min|=2（2）=421已知函数f（x）=x2（a+2）x+alnx（a0）（）求函数f（x）的单调增区间；（）若a=4，y=f（x）的图象与直线y=m有三个不同交
23、点，求m的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断【分析】（）求出函数的导数，通过a的讨论判断导函数的符号，然后求解函数f（x）的单调增区间；（）求出函数的极大值以及极小值，推出结果即可【解答】（本小题满分15分）解：（）函数f（x）的定义域是（0，+），当0a2时，f（x）的单调递增区间是和（1，+），当a=2时，f（x）的单调递增区间是（0，+）当a2时，f（x）的单调递增区间是（0，1）和，（）若a=4，由（1）得f（x）在（0，1）上单调递增，（1，2）上递减，（2，+）递增f（x）在x=1处取得极大值，f（1）=5，在x=2处取得极小值 f（2）=4ln28
24、y=f（x）的图象与直线y=m有三个交点时，m的取值范围是（4ln28，5）22已知函数f（x）=axlnx+b（a，bR）的图象过点（1，0），且在该点处的切线斜率为1（）求f（x）的极值；（）若，存在x0（0，+）使得f（x0）g（x0）成立，求实数m的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（）利用导函数通过图象过点（1，0），且在该点处的切线斜率为1求出a，b，判断函数的单调性，然后求解函数的极值（）由题意转化为存在x0（0，+），使得成立，设（x0），求出导函数，利用导函数的单调性求解函数的极值即可得到结果【解答】（本小题满分15分）解：（）因
25、为f（x）=alnx+a，f（1）=a所以a=1因为f（1）=0，所以b=0，所以f（x）=xlnx由f（x）=lnx+10，得f（x）=lnx+10，得，所以f（x）在区间上为减函数，在区间上为增函数，所以时f（x）取得极小值，无极大值（）由题意存在x0（0，+），使得成立，所以存在x0（0，+），使得成立设（x0），则因为当x（0，3）时，h（x）0，故函数h（x）在（0，3）上单调递减，当x（3，+）时，h（x）0，故函数h（x）在（3，+）上单调递增，所以f（x）在区间（0，+）上有唯一的极小值点也是最小值点，故h（x）min=h（3）=2ln3，所以实数m的取值范围（2ln3，+）2017年4月7日
