1、模板4 解析几何问题 例 4(满分 16 分)已知椭圆 C：9x2y2m2(m0)，直线l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M.()证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值；()若 l 过点m3，m，延长线段 OM 与 C 交于点 P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由.满分解答()证明 设直线 l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM).将 ykxb 代入 9x2y2m2 得(k29)x22kbxb2m20，解此方程后易得：x1x22kbk29，(3 分)
2、故 xMx1x22 kbk29，yMkxMb 9bk29.(5 分)于是直线 OM 的斜率 kOMyMxM9k，即 kOMk9.所以直线 OM 的斜率与 l 的斜率的积是定值.(7 分)()解 四边形 OAPB 能为平行四边形.(9 分)因为直线 l 过点m3，m，所以 l 不过原点且与 C 有两个交点的充要条件是 k0，k3.由(1)得 OM 的方程为 y9kx.设点 P的横坐标为 xP，由y9kx，9x2y2m2得 x2P k2m29k281，即 xP km3 k29.(12 分)将点m3，m 的坐标代入 l 的方程得 bm（3k）3，因此 xMkm（k3）3（k29）.(13 分)四边形
3、 OAPB 为平行四边形，当且仅当线段 AB与线段 OP 互相平分，即 xP2xM.于是 km3 k292k（k3）m3（k29），解得 k14 7，k24 7.因为 ki0，ki3，i1，2，所以当 l 的斜率为 4 7或 4 7时，四边形 OAPB 为平行四边形.(16 分)得分说明将直线方程与椭圆方程联立，化为一元二次方程形式得 3 分；利用求根公式表示出中点坐标得 2 分；求出斜率乘积为定值，得出结论得 2 分；先判断说明结果，四边形 OAPB 能为平行四边形得 2 分；求出 xP km3 k29得 3 分；求出 xMmk（k3）3（k29）得 1 分；结合平面几何知识求出斜率得 3
4、分.解题模板第一步 先假定：假设结论成立.第二步 再推理：以假设结论成立为条件，进行推理求解.第三步 下结论：若推出合理结果，经验证成立则肯定假设；若推出矛盾则否定假设.第四步 再回顾：查看关键点，易错点(特殊情况、隐含条件等)，审视解题规范性.【训练 4】如图，椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的短轴长为 2，点 P 为上顶点，圆 O：x2y2b2 将椭圆 C 的长轴三等分，直线 l：ymx45(m0)与椭圆 C 交于 A，B 两点，PA，PB 与圆 O 交于 M，N 两点.(1)求椭圆 C 的方程；(2)求证APB 为直角三角形；(3)设直线 MN 的斜率为 n，求证mn为定值.(1)
5、解 由已知2b2，2a6b，解得a3，b1，所求椭圆方程为x29y21.(2)证明 将 ymx45代入椭圆方程整理得(9m21)x2725 mx81250.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用求根公式求解上述一元二次方程的根，则 x1x272m5（9m21），x1x28125（9m21）.又 P(0，1)，PAPB(x1，y11)(x2，y21)x1x2(y11)(y21)x1x2(mx195)(mx295)(m21)x1x295m(x1x2)8125 81（m21）25（9m21）648m225（9m21）81250，因此 PAPB，则APB 为直角三角形.(3)证明 由(2)知直线 MN 方程为 ynx，代入 x2y21，得(n21)x210.设 M(x3，y3)，N(x4，y4)，则x3x40，x3x4 1n21，y11x1y31x3，y21x2 y41x4.两式相加整理得 2m95x1x2x1x2 2n，可求得mn15.
