1、课后提升作业 二十六直线与圆的位置关系(45分钟70分)一、选择题(每小题5分，共40分)1.如果a2+b2=c2，那么直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.相交或相切【解析】选C.圆的半径r=1，圆心(0，0)到直线ax+by+c=0的距离d=1.2.(2016德州高一检测)设直线过点(a，0)，其斜率为-1，且与圆x2+y2=2相切，则a的值为()A.B.2C.2D.4【解析】选B.因为切线的方程是y=-(x-a)，即x+y-a=0，所以=，a=2.3.直线x+2y-5+=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为()A.1B.2C.4D.4
2、【解题指南】由圆的半径、弦心距、半弦长组成直角三角形，利用勾股定理即可求得半弦长.【解析】选C.由(x-1)2+(y-2)2=5得圆心(1，2)，半径r=，圆心到直线x+2y-5+=0的距离d=1，在半径、弦心距、半弦长组成的直角三角形中，弦长l=2=2=4.4.(2016天水高一检测)过点P(-2，4)作圆O：(x-2)2+(y-1)2=25的切线l，直线m：ax-3y=0与直线l平行，则直线l与m间的距离为()A.4B.2C.D.【解析】选A.根据题意，知点P在圆上，所以切线l的斜率k=-=-=.所以直线l的方程为y-4=(x+2).即4x-3y+20=0.又直线m与l平行，所以直线m的方
3、程为4x-3y=0.故直线l与m间的距离为d=4.5.(2016汉中高一检测)过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是()A.y=xB.y=-xC.y=xD.y=-x【解析】选C.设切线方程为y=kx，圆的方程化为(x+2)2+y2=1，而圆心(-2，0)到直线y=kx的距离为1，所以=1.所以k=.又因为切点在第三象限，所以k=.【补偿训练】圆x2+y2-4x=0在点P(1，)处的切线方程是()A.x+y-2=0B.x+y-4=0C.x-y+4=0D.x-y+2=0【解析】选D.圆心为C(2，0)，则直线CP的斜率为=-，又切线与直线CP垂直，故切线斜
4、率为，由点斜式得切线方程为：y-=(x-1)，即x-y+2=0.6.已知圆C：(x-a)2+(y-2)2=4(a0)及直线l：x-y+3=0，当直线l被圆C截得的弦长为2时，a等于()A.B.2-C.-1D.+1【解析】选C.因为圆的半径为2，且截得弦长的一半为，所以圆心到直线的距离为1，即=1，解得a=-1，因为a0，所以a=-1.7.(2016长沙高一检测)由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线，则切线长的最小值为()A.1B.2C.D.3【解析】选C.设圆心为C(3，0)，P为直线上一动点，过P向圆引切线，切点设为N，所以(PN)min=()min=，又(PC)min=
5、2，所以(PN)min=.8.过点P(-，-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是()A.030B.060C.030D.060【解题指南】求出直线与圆相切时的直线的斜率，数形结合即可得到直线l的倾斜角的取值范围.【解析】选D.设过点P与圆相切的直线方程为y+1=k(x+)，则圆心到该直线的距离d=1，解得k1=0，k2=，画出图形可得直线l的倾斜角的取值范围是060.二、填空题(每小题5分，共10分)9.(2016郑州高一检测)过点A(1，)的直线l将圆(x-2)2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=_.【解析】点A(1，)在圆(x-2
6、)2+y2=4内，当劣弧所对的圆心角最小时，l垂直于过点A(1，)和圆心M(2，0)的直线.所以k=-=-=.答案：10.(2016全国卷)已知直线l:mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=2,则|CD|=.【解析】取AB的中点E,连接OE,过点C作BD的垂线,垂足为F,圆心到直线的距离d=,所以在RtOBE中,BE2=OB2-d2=3,所以d=3,得m=-,又在CDF中,FCD=30,所以CD=4.答案:4三、解答题(每小题10分，共20分)11.(2016广州高一检测)已知圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=1，P
7、点坐标为(2，3)，求圆的过P点的切线方程以及切线长.【解析】如图，此圆的圆心C为(1，1)，CA=CB=1，则切线长|PA|=2.(1)若切线的斜率存在，可设切线的方程为y-3=k(x-2)，即kx-y-2k+3=0，则圆心到切线的距离d=1，解得k=，故切线的方程为3x-4y+6=0.(2)若切线的斜率不存在，切线方程为x=2，此时直线也与圆相切.综上所述，过P点的切线的方程为3x-4y+6=0和x=2.12.(2016杭州高一检测)已知过点A(-1，0)的动直线l与圆C：x2+(y-3)2=4相交于P，Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x+3y+6=0相交于N.(1)求证：当l与m垂直
8、时，l必过圆心C.(2)当|PQ|=2时，求直线l的方程.【解析】(1)因为l与m垂直，且km=-，所以kl=3，故直线l的方程为y=3(x+1)，即3x-y+3=0.因为圆心坐标为(0，3)满足直线l的方程，所以当l与m垂直时，l必过圆心C.(2)当直线l与x轴垂直时，易知x=-1符合题意.当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k(x+1)，即kx-y+k=0，因为|PQ|=2，所以|CM|=1，则由|CM|=1，得k=，所以直线l：4x-3y+4=0.故直线l的方程为x=-1或4x-3y+4=0.【能力挑战题】(2015广东高考)已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2-6x+5=0
9、相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标.(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程.(3)是否存在实数k，使得直线L：y=k(x-4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由.【解析】(1)由x2+y2-6x+5=0得(x-3)2+y2=4，所以圆C1的圆心坐标为(3，0).(2)设M(x，y)，则因为点M为弦AB的中点，所以C1MAB，所以kAB=-1即=-1，所以线段AB的中点M的轨迹的方程为+y2=.(3)由(2)知点M的轨迹是以C为圆心，r=为半径的部分圆弧EF(如图所示，不包括两端点)且E，F，又直线L：y=k(x-4)过定点D(4，0)，当直线L与圆C相切时，由=得k=，又kDE=-kDF=-=-，kDF=，结合图形可知当k时，直线L：y=k(x-4)与曲线C只有一个交点.6