1、青浦区2012学年第一学期高三年级期终学习质量调研测试数学试题Q.2013.01.18（满分150分，答题时间120分钟）学生注意：1 本试卷包括试题纸和答题纸两部分2 在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题3 可使用符合规定的计算器答题一填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1已知集合，且，则实数的取值范围是_ 【答案】要使，则有2函数的反函数_ 【答案】由，得，所以，即。因为，所以，即，所以。3抛物线的焦点坐标是_ 【答案】抛物线的标准方程为，所以焦点在轴，且，所以焦点坐标为。4若，则化简
2、后的最后结果等于_ _【答案】2由行列式的定义可知行列式的值为，所以5已知正三棱柱的底面正三角形边长为2，侧棱长为3，则它的体积 【答案】正三棱柱的底面面积为，所以体积为。6若圆柱的侧面展开图是一个正方形，则它的母线长和底面半径的比值是 【答案】设圆柱的底面半径为，母线为，则，所以。7在中，则 【答案】由余弦定理得,所以.8若三个互不相等的实数成等差数列，适当交换这三个数的位置后变成一个等比数列，则此等比数列的公比为 （写出一个即可）【答案】设三个互不相等的实数为。（d0）交换这三个数的位置后：若是等比中项，则，解得d=0，不符合；若是等比中项则，解得，此时三个数为，公比为2或三个数为，公比为
3、若a+d是等比中项，则同理得到公比为，或公比为所以此等比数列的公比是或9如果执行右面的框图，输入，则输出的数等于 【答案】本程序计算的是，由，的，所以。10甲、乙等五名社区志愿者被随机分配到四个不同岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是 【答案】每个岗位至少有一名志愿者，则有种，如甲乙两人同时参加岗位服务，则有种，所以甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是。11已知与()直线过点与点，则坐标原点到直线MN的距离是 【答案】1由与()，可知，点和是直线上的两个点，所以直线的方程为，所以原点到直线MN的距离。12已知满足对任意都有成立，则的取值范围是_ _【答案】由对
4、任意都有成立在R上递增， ，解得，即的取值范围是。13正六边形的边长为1，它的6条对角线又围成了一个正六边形，如此继续下去，则所有这些六边形的面积和是 【答案】在RtA1B1A2中，A1B1A2=30，A1B1=1，A1A2= A2F2，又易知这些正六边形的边长组成等比数列，公比为，故所有所有这些六边形的面积和=。14设，且满足，则 【答案】-3函数是奇函数，且在R上是增函数，故若，则必有，本题中，u=x+4，v=y-1，x+4+y-1=0x+y=-3.二选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得
5、零分15设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ）. . . 【答案】D由题意知，所以，所以双曲线的渐近线方程为，选D.16对于原命题“周期函数不是单调函数”，下列陈述正确的是（ ） .逆命题为“单调函数不是周期函数”否命题为“周期函数是单调函数”.逆否命题为“单调函数是周期函数” . 以上三者都不对【答案】D周期函数不是单调函数得逆命题为“不是单调函数的函数，就是周期函数”，A错。否命题为“不是周期函数的函数是单调函数”，B错。逆否命题为“单调函数不是周期函数，C错，所以选D.17已知复数在复平面上对应点为，则关于直线的对称点的复数表示是（ ）. . . 【答案】B如图，直线
6、l即是线段OA的垂直平分线，P0的对称点即是(0,1)， 其对应的复数为i.选B.18已知函数是定义在上的单调增函数且为奇函数，数列是等差数列，则的值（ ）.恒为正数恒为负数 .恒为0 .可正可负 【答案】A同理，又，以上各式相加，得.选A.三解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分如图已知四棱锥的底面是边长为6的正方形，侧棱的长为8，且垂直于底面，点分别是的中点求（1）异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）四棱锥的表面积.20(本题满分1
7、4分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知数列满足 （1）设，证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）求数列的前项和21(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知，满足 （1）将表示为的函数，并求的最小正周期；（2）已知分别为的三个内角对应的边长，若对所有恒成立，且，求的取值范围22(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分,第3小题满分2分. 设直线交椭圆于两点，交直线于点（1）若为的中点，求证:；（2）写出上述命题的逆命题并证明此逆命题为真；（3）请你类比椭圆中（1）、（2）的结论，写出双曲
8、线中类似性质的结论（不必证明）23(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.我们把定义在上，且满足（其中常数满足）的函数叫做似周期函数（1）若某个似周期函数满足且图像关于直线对称求证：函数是偶函数；（2）当时，某个似周期函数在时的解析式为，求函数，的解析式；（3）对于确定的时，试研究似周期函数函数在区间上是否可能是单调函数？若可能，求出的取值范围；若不可能，请说明理由青浦区2012学年第一学期高三年级期终数学参考解答（满分150分，答题时间120分钟）Q.2013.01.18一填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的
9、空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1；2；3；42；5；6；7；8；9；10；111；12；13；14-31已知集合，且，则实数的取值范围_ 2函数的反函数3抛物线的焦点坐标是_ 4若，则化简后的最后结果等于_2 5已知：正三棱柱的底面正三角形边长为2，侧棱长为3，则它的体积 6若圆柱的侧面展开图是一个正方形，则它的母线长和底面半径的比值是 7在中，则 8若三个互不相等的实数成等差数列，适当交换这三个数的位置后变成一个等比数列，则此等比数列的公比为 （写出一个即可）9如果执行右面的框图，输入，则输出的数等于 10甲、乙等五名社区志愿者被随机分配到四个不同岗位服务，每个岗位至
10、少有一名志愿者，则甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是 11已知与()直线过点与点，则坐标原点到直线MN的距离是 1 12已知满足对任意都有成立，那么的取值范围是_ 13正六边形的边长为1，它的6条对角线又围成了一个正六边形，如此继续下去，则所有这些六边形的面积和是 14设且满足，则_ 二选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ）. . . 16对于原命题“周期函数不是单调函数”，下列陈述正确的是（ D ） .逆命题为“单调函数不是周
11、期函数”否命题为“周期函数是单调函数” .逆否命题为“单调函数是周期函数” . 以上三者都不对17已知复数在复平面上对应点为，则关于直线的对称点的复数表示是（ ）. . . 18已知函数是定义在上的单调增函数且为奇函数，数列是等差数列，则的值（ A ）.恒为正数恒为负数.恒为0.可正可负 三解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分如图已知四棱锥中的底面是边长为6的正方形，侧棱的长为8，且垂直于底面，点分别是的中点求（1）异面直线与所成角的大小（结果用反三角函
12、数值表示）；（2）四棱锥的表面积.（1）解法 一：连结，可证，直线与所成角等于直线与所成角 2分因为垂直于底面,所以,点分别是的中点, 在中,4分即异面直线与所成角的大小为6分解法二：以为坐标原点建立空间直角坐标系可得， 2分直线与所成角为，向量的夹角为 4分又，即异面直线与所成角的大小为6分（说明：两种方法难度相当）(2) 因为垂直于底面,所以，即，同理8分底面四边形是边长为6的正方形，所以又所以四棱锥的表面积是144 12分20(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知数列满足 （1）设证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）求数列的前项和解：
13、（1），2分 为等差数列又，4分6分（2）设，则310分 14分 21(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知，满足 （1）将表示为的函数，并求的最小正周期；（2）已知分别为的三个内角对应的边长，若对所有恒成立，且，求的取值范围解：（I）由得 2分即4分所以，其最小正周期为 6分（II）因为对所有恒成立所以，且 8分因为为三角形内角，所以，所以 9分由正弦定理得， 12分，所以的取值范围为 14分22(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分，第3小题满分2分.设直线交椭圆于两点，交直线于点（1）若为的中点，求证：；（2）写
14、出上述命题的逆命题并证明此逆命题为真；（3）请你类比椭圆中（1）、（2）的结论，写出双曲线中类似性质的结论（不必证明）解：（1）解法一：设2分 ，4分又7分解法二（点差法）：设，两式相减得即3分 7分（2）逆命题：设直线交椭圆于两点，交直线于点若，则为的中点9分证法一：由方程组10分因为直线交椭圆于两点，所以，即，设、则 ，12分又因为，所以，故E为CD的中点14分证法二：设则，两式相减得即9分又，即 12分得，即为的中点14分（3）设直线交双曲线于两点，交直线于点则为中点的充要条件是16分23(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.我们把定义在上，且满足（其中常数满足）的函数叫做似周期函数（1）若某个似周期函数满足且图像关于直线对称求证：函数是偶函数；（2）当时，某个似周期函数在时的解析式为，求函数，的解析式；（3）对于确定的时，试研究似周期函数函数在区间上是否可能是单调函数？若可能，求出的取值范围；若不可能，请说明理由解：因为关于原点对称，1分又函数的图像关于直线对称，所以 2分又， 用代替得 3分由可知，即函数是偶函数；4分（2）当时，；10分（3）当时，12分显然时，函数在区间上不是单调函数 13分又时，是增函数， 此时14分若函数在区间上是单调函数，那么它必须是增函数，则必有， 16分解得 18分