1、本章整合知识网络专题探究专题一合情推理和演绎推理的应用1合情推理的应用归纳推理和类比推理是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理从推理形式上看，归纳推理是由部分特殊的对象得到一般性的结论的推理方法，它在科学研究或数学学习中有着重要的作用，有助于发现新知识、探索新规律、检验新结论，或预测答案、探索解题思路等；类比推理是由特殊到特殊的推理，它以比较为基础，有助于启迪思维、触类旁通、拓宽知识、发现命题等合情推理的结论不一定正确，有待于演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的，合情推理可以为演绎推理提供方向和思路【例1】设f(
2、x)，利用推导等差数列前n项和的方法倒序相加法，求f(5)f(4)f(3)f(0)f(5)f(6)分析：本题要求利用类比推理的方法，即与倒序相加法相类比在等差数列求和中，我们采用倒序相加法的依据是等差数列的性质：a1ana2an1a3an2，因而本题可以采用类比方法解决解：由已知可得f(x)f(1x).设Sf(5)f(4)f(3)f(0)f(5)f(6)又Sf(6)f(5)f(0)f(3)f(4)f(5)，2S12f(5)f(6)126，S3.【例2】如图所示是一个有n层(n2，nN*)的六边形点阵，它的中心是一个点，算作第1层，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，第n层每边有n个点，则这
3、个点阵共有_个点解析：设第n层共有an个点，结合图形可知a11，a26，an1an6(n2，nN*)，则an6(n2)66n6(n2，nN*)，前n层所有点数之和为Sn13n23n1，故这个点阵共有3n23n1个点答案：3n23n12演绎推理的应用演绎推理是由一般到特殊的推理方法，又叫逻辑推理，其在前提和推理形式均正确的前提下，得到的结论一定正确，演绎推理的内容一般是通过合情推理获取的【例3】已知定义在R上的函数f(x)ax3bx2cx(abc)在x1时取得极值，且yf(x)的图象上有一点处的切线的斜率为a.(1)求证：01；(2)若f(x)在区间(s，t)上为增函数，求证：2st1.提示：充
4、分利用函数与其导数之间的关系，以及二次方程根的分布情况，将条件转化为a，b，c的关系来解决问题证明：(1)由f(x)ax3bx2cx，得f(x)ax2bxc.又函数yf(x)在x1处取得极值，故f(1)abc0.又abc，a0，c0.yf(x)的图象上有一点处的切线的斜率为a，方程ax2bxca有实数根b24a(ac)0，即b24a(aab)0，整理，得240，解得0或4.又由abc0，bc，得bab，.再由ab且a0，得1.综上可得01.(2)若f(x)在区间(s，t)上为增函数，则f(x)ax2bxc在区间(s，t)上恒非负a0，c0，b24ac0，故方程f(x)0必有两个不相等的实数根设
5、为x1，x2，且x1x2.二次函数f(x)ax2bxc的对称轴的方程为x，由(1)，得0，而f(1)0，故x21.又f(2)4a2bc4a2bab3(ab)0，x12.若f(x)在区间(s，t)上恒非负，则有x1stx2，即2st1.专题二直接证明和间接证明1综合法和分析法综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但这两种证明方法的思路截然相反分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，分析法和综合法可相互转换，相互渗透，在解题中综合法和分析法的联合运用，能转换解题思路，增加解题途径【例4】试用多种方法推证下列命题：已知(0，)，求证：2sin 2.提示：这是一道三角不等式的证
6、明题，可考虑分别使用比较法、综合法、分析法等证明方法进行证明证法一：(作差比较法)：2sin 24sin cos .(0，)，sin 0,1cos 0，(2cos 1)20.2sin 20，即2sin 2.证法二：(分析法)：要证明2sin 2成立，只要证明4sin cos .(0，)，sin 0，只要证明4cos .上式可变形为44(1cos )(0，)，1cos 0.4(1cos )24，当且仅当4(1cos )，即cos ，时取等号44(1cos )成立不等式2sin 2成立证法三：(综合法)：(0，)，1cos 0.4(1cos )24.当且仅当4(1cos )，即cos ，时取等号4
7、cos .(0，)，sin 0.4sin cos .2sin 2.2反证法反证法是一种间接证明命题的方法，它的理论基础是互为逆否命题的两个命题为等价命题反证法反映了“正难则反”的证明思想，它是从命题结论的反面出发引出矛盾，从而肯定命题的结论【例5】已知a3b32，求证ab2.分析：对于条件较少的题目，可假设结论不成立，通过假设推出矛盾，进而得出原命题成立证法一：假设ab2，那么a2b，所以a3(2b)3812b6b2b3，即a3b3812b6b2.因为a3b32，所以812b6b22，化简得b22b10，即(b1)20，这与(b1)20矛盾，所以假设不成立，故当a3b32时，ab2.证法二：假设ab2，则a3b3(ab)(a2abb2)2(a2abb2)因为a3b32，所以22(a2abb2)，即a2abb21，所以1aba2b22ab，从而ab1，所以a2b21ab2，故(ab)2a2b22ab2ab24，即2ab2，这与假设ab2矛盾，所以假设不成立，故当a3b32时，ab2.
