1、课时评价作业基础达标练1.点(1,1)与椭圆x23+y22=1的位置关系为( )A.点在椭圆上B.点在椭圆内C.点在椭圆外D.不能确定答案：B2.（2020山东聊城高二检测）已知椭圆C左，右焦点的坐标分别是(-2,0)，(2,0)，离心率是63，则椭圆C的方程为( )A.x23+y2=1 B.x2+y23=1C.x22+y23=1 D.x23+y22=1答案：A3.（2021山东淄博高二检测）已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为13，则ab= ( )A.89 B.322C.43 D.324答案：D4.比较下列四个椭圆的形状，其中更接近于圆的是( )A.9x2+y2=36 B.3x
2、2+4y2=48C.x2+9y2=36 D.5x2+3y2=30答案：B5.（多选）（2021山东烟台高二月考）若椭圆C：x2m+y2m2-1=1的一个焦点坐标为(0,1)，则下列结论中正确的是( )A.m=2 B.C的长轴长为3C.C的短轴长为22 D.C的离心率为33答案：A ; C ; D6.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在原点，焦点F1,F2在x轴上，离心率为22，过F1的直线l交椭圆于A,B两点，且ABF2的周长为16，则椭圆C的方程为( )A.x28+y24=1 B.x216+y24=1C.x28+y216=1 D.x216+y28=1答案：D7.“蒙日圆”涉及几何学中的一
3、个著名定理，该定理的内容为椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆.若椭圆C：x2a+1+y2a=1(a0)的离心率为12，则椭圆C的蒙日圆方程为( )A.x2+y2=9 B.x2+y2=7C.x2+y2=5 D.x2+y2=4答案：B解析：因为椭圆C：x2a+1+y2a=1(a0)的离心率为12，所以1a+1=12，所以a=3，所以椭圆C的方程为x24+y23=1，所以椭圆的上顶点为A(0,3)，右顶点为B(2,0)，所以经过A,B两点的切线方程分别为y=3,x=2，所以两条切线的交点坐标为(2,3)，易知过A,B的切线互相垂直，由题意知交点必在一个与椭
4、圆C同心的圆上，则圆的半径r=22+(3)2=7，所以椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=7 .8.（2021山东济宁高二期末）“九天揽月”是中华民族的伟大梦想，我国探月工程的进展与实力举世瞩目.“嫦娥四号”探测器实现了历史上的首次月背着陆，月球上“嫦娥四号”的着陆点被命名为天河基地，如图是“嫦娥四号”运行轨道的示意图，圆形轨道距月球表面100千米，椭圆形轨道的一个焦点是月球球心，一个长轴端点位于两轨道相切的变轨处，另一个长轴端点距月球表面15千米，则椭圆形轨道的焦距为千米.答案：85解析：设椭圆的半长轴长为a千米，半焦距为c千米，月球半径为r千米，由题意，可得a+c=100+r,a-c=15+r
5、,解得2c=85，即椭圆形轨道的焦距为85千米.9.在椭圆C中，F为一个焦点，A、B为两个顶点.若|FA|=3，|FB|=2，则|AB|的所有可能值为 .答案：5,7,17解析：由|FA|=3，|FB|=2，得A,B两点不可能同时是短轴上的两个端点，若F,A,B三点均在长轴上，则a+c=3,a-c=2,解得a=52，所以|AB|=2a=5；若F与A在长轴上，且分布在y轴两侧，B在短轴上，则FB=a=2,FA=a+c=3,解得a=2,c=1，则b2=a2-c2=3，所以|AB|=22+3=7；若F,B均在长轴上，且分布在y轴同一侧，A在短轴上，则FB=a-c=2,FA=a=3,解得a=3，c=1
6、，则b2=a2-c2=8，所以|AB|=32+8=17 .10.已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点和x轴上的较近顶点的距离为4(2-1)，求椭圆方程，并求出长、短轴长，离心率.答案：椭圆焦点与短轴两端点的连线互相垂直，b=c,a=2c，又焦点和x轴上的较近顶点的距离为4(2-1)，a-c=2c-c=4(2-1)，解得c=4,a=2c=42,b=c=4，椭圆的标准方程为x232+y216=1，长轴长2a=82，短轴长2b=8，离心率e=ca=22 .素养提升练11.（2020福建龙岩一中高二检测）天文学家开普勒的行星运动定律可表述为绕同一中心天体的所有
7、行星的椭圆轨道的半长轴长a的三次方跟它的公转周期T的二次方的比值都相等，即a3T2=k,k=GM42，其中M为中心天体的质量，G为引力常量，已知地球绕以太阳为中心天体的椭圆轨道的半长轴长约为1.5亿千米，地球的公转周期为1年，距离太阳最远的冥王星绕以太阳为中心天体的椭圆轨道的半长轴长约为60亿千米，取103.1，则冥王星的公转周期约为( )A.157年B.220年C.248年D.256年答案：C解析：设地球椭圆轨道的半长轴长为a1，公转周期为T1，冥王星椭圆轨道的半长轴长为a2，公转周期为T2，则a13T12=GM42,a23T22=GM42,两式相除并化简得T22=a23a13T12=(60
8、1.5)31=640010，所以T2=8010803.1=248（年）.12.（多选）设椭圆C：x22+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2，P是C上的动点，则下列结论中正确的是( )A.|PF1|+|PF2|=22B.离心率e=62C.PF1F2面积的最大值为2D.以线段F1F2为直径的圆与直线x+y-2=0相切答案：A ; D解析：由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a=22，所以A中结论正确；依题意知a=2,b=1,c=1，所以e=ca=12=22，所以B中结论错误；|F1F2|=2c=2，当P为椭圆的短轴端点时，PF1F2的面积取得最大值，为122cb=cb=1，所以C中结论错误
9、；以线段F1F2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径r=1，圆心到直线x+y-2=0的距离为22=1，即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段F1F2为直径的圆与直线x+y-2=0相切，所以D中结论正确.13.把椭圆x225+y216=1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线，分别交椭圆的上半部分于点P1,P2,P7，F是椭圆的左焦点，则|P1F|+|P2F|+|P7F|等于( )A.21B.28C.35D.42答案：C解析：设椭圆的右焦点为F，则由椭圆的定义得|P1F|+|P1F|=10，由椭圆的对称性，知|P1F|=|P7F|，|P1F|+|P7F|=10 .同理，可知|P2F|+|P6
10、F|=10,|P3F|+|P5F|=10 .又|P4F|=5,|P1F|+|P2F|+|P7F|=35 .14.已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m0)的离心率e=32，求m的值及椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标、顶点坐标答案：椭圆方程可化为x2m+y2mm+3=1,m0 .m-mm+3=m(m+2)m+30,mmm+3，设椭圆的半长轴长为a，半短轴长为b，半焦距为c，则a2=m，b2=mm+3，c=a2-b2=m(m+2)m+3 .由e=32，得m+2m+3=32,m=1 .椭圆的标准方程为x2+y214=1,a=1,b=12,c=32 .椭圆的长轴长和短轴长分别为2a=2和2b=1，焦点坐标
11、为(-32,0),(32,0)，四个顶点的坐标分别为(-1,0),(1,0),(0,-12),(0,12) .15.分别求满足下列条件的椭圆的标准方程.（1）离心率是23，长轴长是6；（2）在x轴上的一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.答案：（1）设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0)或y2a2+x2b2=1(ab0) .由题意知2a=6,e=ca=23，则a=3,c=2 .b2=a2-c2=9-4=5 .椭圆的标准方程为x29+y25=1或x25+y29=1 .（2）设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0) .设F为椭圆的一个焦点，A1,A2分别为短轴的
12、两个端点，则A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线，且|OF|=c,|A1A2|=2b，c=b=3，a2=b2+c2=18，故所求椭圆的标准方程为x218+y29=1 .创新拓展练16.（2020山东德州高二月考）已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0)，若椭圆上存在一点P(非左、右顶点）使a|PF2|=c|PF1|，则该椭圆离心率e的取值范围为( )A.(2-1,1) B.(0,2-1)C.(22,1) D.(2-2,1)答案：A解析：命题分析本题条件涉及椭圆的焦点坐标和|PF1|,|PF2|，所以注意应用椭圆的定义解题.答题要
13、领由椭圆的定义和题设条件，可求得|PF1|=2aca+c，根据a-c|PF1|a+c，得到e2+2e-10，即可求解.详细解析由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a，因为a|PF2|=c|PF1|，所以a2a-|PF1|=c|PF1|，解得|PF1|=2aca+c，因为P在椭圆上，且不是左、右顶点，所以a-c|PF1|a+c，即a-c2aca+ca+c，化简得e2+2e-10，解得e-1-2或e2-1，又因为0e1，所以2-1e1 .方法感悟求椭圆的离心率（或取值范围）的常见方法有两种：求出a,c，代入公式e=ca；根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，转化为a,c的齐次式，然后转化为关于e的方程，即可得e的值（或取值范围）.
