1、加练课4 与圆有关的最值问题学习目标1.进一步熟悉圆的方程，直线与圆、圆与圆的位置关系.2.会求常见的与圆有关的最值问题.3.学会数形结合思想方法的应用.自主检测必备知识一、概念辨析，判断正误1.若一条直线被圆所截得的弦最长，则此直线过圆心.( )2.代数式(x-2)2+(y+3)2的几何意义是点(x,y)与(2,3)间的距离.( )3.设圆C的半径为r，圆心到直线l的距离为d（dr），则圆上的点到直线l距离的最大值为r+d，最小值为d-r . ( )二、夯实基础，自我检测4.已知直线ax+y-2=0与圆C:(x+1)2+(y+a)2=4相交于A，B两点，且线段AB是圆C的所有弦中最长的一条弦
2、，则实数a= ( )A.2B.1 C.1D.-1答案：D解析：易知C(-1,-a)，线段AB是圆C的所有弦中最长的一条弦，线段AB过圆心，-a-a-2=0，即a=-1 .5.（2021山东枣庄八中高二月考）已知点P在直线y=2x+1上，过点P作圆C:(x-2)2+y2=1的切线，切点为A，则|PA|的最小值为( )A.3 B.2C.5 D.3答案：B解析：易知圆C的半径r=1，|PA|=|PC|2-r2，因为P在直线y=2x+1，即2x-y+1=0上，所以圆心C(2,0)到P点距离的最小值为d=|22-0+1|22+(-1)2=5，所以|PA|min=d2-r2=(5)2-12=2 .6.若点
3、P在圆C1:(x-4)2+(y-2)2=9上，点Q在圆C2:(x+2)2+(y+1)2=4上，则|PQ|的最小值是 .答案：35-5解析：由题意可知C1(4,2)，C2(-2,-1)，r1=3，r2=2，则|C1C2|=(4+2)2+(2+1)2=35，所以|PQ|min=|C1C2|-3-2=35-5 .探究点一与切线长、弦长有关的最值问题精讲精练例（1）（2021山东潍坊高二月考）若圆C:x2+y2+2x-4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点(a,b)向圆所作的切线长的最小值是A.2B.4C.3D.6（2）（2020课标文，6，5分）已知圆C:x2+y2-6x=0，过点(1
4、,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )A.1B.2C.3D.4答案：（1）B（2）B解析：（1）x2+y2+2x-4y+3=0可化为(x+1)2+(y-2)2=2，由已知得，直线2ax+by+6=0过圆心C(-1,2)，即-2a+2b+6=0，即a-b-3=0，易知点(a,b)在直线x-y-3=0上，由平面几何知识得，要使由点(a,b)向圆所作的切线长最小，只需要圆心C(-1,2)与直线x-y-3=0上的点的连线最小，所以，切线长的最小值为(|-1-2-3|2)2-2=4，故选B.（2）圆x2+y2-6x=0化为(x-3)2+y2=9，所以圆心C的坐标为(3,0)，半径为3，设P(
5、1,2)，当过点P的直线和直线CP垂直时，圆心到过点P的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时|CP|=(3-1)2+(-2)2=22，根据弦长公式得最小值为29-|CP|2=29-8=2 .故选B.解题感悟解决与切线长、弦长有关的最值问题，一般考虑如下三步：第一步：确定圆的圆心和半径;第二步：根据点到直线的距离推出过点的最短弦长;第三步：由圆中垂径定理求出最短弦长.迁移应用1.（2020山东济南实验中学高二月考）点P是直线x+y-2=0上的一动点，过点P向圆C:(x+2)2+(y-8)2=4引切线，则切线长的最小值为( )A.22 B.23 C.2D.22-2答案：C解析：圆C:(x+2)2+
6、(y-8)2=4，圆心C(-2,8)，半径r=2 .由题意可知，点P到圆C:(x+2)2+(y-8)2=4的切线长最小时，CP垂直于直线x+y-2=0 .圆心到直线的距离d=|-2+8-2|2=22，切线长的最小值为(22)2-4=2 .2.（2021北京铁路二中高二期中）已知圆C:x2+y2-2x-2y-2=0，若直线y=k(x-2)与圆C交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )A.2B.22C.23 D.4答案：B解析：圆C:x2+y2-2x-2y-2=0可化为圆C:(x-1)2+(y-1)2=4，可得圆心C(1,1)，半径r=2，由直线y=k(x-2)，可得直线恒过定点P(2,0)，则
7、|PC|=(1-2)2+(1-0)2=2，根据圆的性质，要使得|AB|最小，则直线PCAB，所以|AB|的最小值为2r2-|PC|2=24-2=22 .探究点二利用代数式的几何意义求最值（范围）精讲精练例已知x2+y2=4，求2x2+y2+3x+4的最值，并求取得最值时x的值.答案：由x2+y2=4，可得-2x2，则2x2+y2+3x+4=(x2+y2)+x2+3x+4=x2+3x+8=(x+32)2+234，所以当x=-32时，最小值为234；当x=2时，最大值为(2+32)2+234=18 .解题感悟与圆有关的最值问题，常见的解题方法：（1）根据所求最值的代数式的结构特征，利用其几何意义求
8、解，常见的类型：斜率型：u=y-bx-a；截距型：l=ax+by；距离型：(x-a)2+(y-b)2（2）根据题设条件，消去y，求得变量x的取值范围，以及转化为二次函数，结合二次函数的图像与性质求解是解答的关键.迁移应用1.在平面直角坐标系xOy中，已知(x1-2)2+y12=5，x2-2y2+4=0，则(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值为( )A.55 B.15C.1215 D.1155答案：B解析：由已知得点(x1,y1)在圆(x-2)2+y2=5上，点(x2,y2)在直线x-2y+4=0上，故(x1-x2)2+(y1-y2)2表示(x-2)2+y2=5上的点到直线x-2y+4=0
9、上的点的距离的平方，而距离的最小值为|2+4|1+4-5=55，故(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值为15 .故选B.2.若直线2ax-by+14=0(a0,b0)和函数f(x)=mx+1+1(m0,m1)的图像恒过同一个定点，且该定点始终落在圆(x-a+1)2+(y+b-2)2=25的内部或圆上，则ba的取值范围是( )A.34,43) B.(34,43C.34,43 D.(34,43)答案：C解析：函数f(x)=mx+1+1的图像恒过定点(-1,2) .将点(-1,2)代入直线2ax-by+14=0可得-2a-2b+14=0，即a+b=7(a0,b0) .由点(-1,2)在圆(x-
10、a+1)2+(y+b-2)2=25的内部或圆上可得(-1-a+1)2+(2+b-2)225，即a2+b225(a0,b0)，则a+b=7,a2+b2=25a=3b=4，或a=4,b=3.所以点(a,b)在以A(3,4)和B(4,3)为端点的线段上运动.ba表示以A(3,4)和B(4,3)为端点的线段上的点与坐标原点连线的斜率.所以(ba)min=3-04-0=34，(ba)max=4-03-0=43 .所以34ba43 .故C正确.探究点三与面积有关的最值问题精讲精练例已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆C:x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线，A，B是切点，求四边形PA
11、CB面积的最小值.答案：如图所示，连接PC，由点P在直线3x+4y+8=0上，可设点P的坐标为(x,-2-34x)，易知圆C的圆心为(1,1)，半径为1.所以S四边形PACB=2SPAC=212|AP|AC|=|AP| .因为|AP|2=|PC|2-|AC|2=|PC|2-1，所以当|PC|最小时，|AP|最小.因为点C到直线3x+4y+8=0的距离为|3+4+8|32+42=3，所以|PC|的最小值为3，此时|AP|=22，即四边形PACB面积的最小值为22 .解题感悟解答与圆有关的面积的最值问题，往往要利用圆的对称性，把平面图形面积的表达式求出来，再根据圆上的点的坐标的取值范围，或圆心到直
12、线的距离求解.迁移应用1.（2020福建厦门外国语学校高二期中）若直线l:x=my+2与曲线C:y=1-x2相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，实数m的值为( )A.0B.3 C.-1D.-3答案：D解析：曲线y=1-x2表示圆心在原点，半径为1的圆的上半圆，若直线l与曲线相交于A，B两点，则直线l的斜率1m0m0，则点O到l的距离d=21+m2，又SAOB=12|AB|d=1221-d2d1-d2+d22=12，当且仅当1-d2=d2，即d2=12时，SAOB取得最大值，所以d2=21+m2=12，解得m=-3（m=3舍去）.评价检测素养提升课堂检测1.过点P(1,-2
13、)向圆x2+y2-2mx-2y+m2=0作切线，当切线长最短时，m的值为( )A.-1B.1C.2D.0答案：B2.在平面直角坐标系xOy中，圆C与圆O:x2+y2=1外切，且与直线x-2y+5=0相切，则圆C的面积的最小值为( )A.45 B.3-5C.3-52 D.(6-25)答案：C3.若实数x，y满足(x+5)2+(y-12)2=142，则x2+y2的最小值是 .答案：1素养演练逻辑推理与圆有关的最值或范围问题1.已知圆O:x2+y2-4=0，圆C:x2+y2+2x-15=0，若圆O的切线l交圆C于A、B两点，则OAB面积的取值范围是( )A.27,215 B.27,8C.23,215
14、 D.23,8答案：A解析：审：本题考查两个圆的位置关系，直线与圆的位置关系，及圆中三角形面积的取值范围，考查计算能力，属于中等题.联：OAB面积的大小与线段AB的长度有关，要求OAB面积的取值范围，只需求出|AB|的范围即可求解.解：圆O的切线l交圆C于A、B两点，则SOAB= 12|AB|r（r为圆O的半径），圆O:x2+y2-4=0的半径r=2，AB是圆C:x2+y2+2x-15=0的一条弦，圆C:x2+y2+2x-15=0的圆心为C(-1,0)，半径R=4，圆心C到AB的距离最小时，|AB|最大，圆心C到AB的距离最大时，|AB|最小，如图：|AB|的最小值为242-32=27，|AB|的最大值为242-12=215，OAB面积的最小值为12272=27，OAB面积的最大值为122152=215 .因此，OAB面积的取值范围是27,215 .故选A.思：解决与圆有关的平面图形的面积问题，注意抓住两点：（1）圆及平面图形的对称性;（2）应用圆心到直线的距离求解.
