1、1.5定积分的概念1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程教学建议1.教材分析本节主要就两类典型问题求曲边梯形的面积和求物体做变速直线运动的位移进行了详细讨论,利用“以直代曲”“以不变代变”的思想方法,抽象概括出它们的共同特征.引导学生体会定积分的背景、思想和方法,为引入定积分的概念奠定基础.本节的重点是解决两类典型问题的思想方法和步骤.难点是对“以直代曲”“以不变代变”的思想方法的理解.2.主要问题与教学建议(1)关于曲边梯形面积的定义的教学.建议教师考虑学生的接受能力,而且从直观上也比较容易接受矩形等“直边图形”面积逼近曲边梯形面积的方法.(2)关于求和符号的教学.建议教师根据学生
2、的实际情况,在讲述相关内容时对求和符号进行适当的介绍.例如:可给出S=S1+S2+Si+Sn=i=1nSi来帮助学生认识求和符号.(3)关于汽车行驶路程的一般表达式.建议教师注意合理地利用教材旁白中给出的路程的一般表达式:s=limt0i=1nv(i)t=limni=1n1nv(i),要求学生能直观感觉到这个一般表达式成立即可.备选习题1.在“近似代替”中,函数f(x)在区间xi,xi+1上的近似值等于()A.左端点的函数值f(xi)B.右端点的函数值f(xi+1)C.可以是该区间内任一点的函数值f(i)(ixi,xi+1)D.以上答案均正确答案:D2.求由抛物线y=x2与直线y=4所围成的图
3、形的面积.解:如图,y=x2为偶函数,图象关于y轴对称,所求图形的面积应为抛物线y=x2(x0)与直线x=0,y=4所围图形面积S阴影的2倍,下面求S阴影.由y=x2,y=4,x0,得交点为(2,4).如图,先求由直线x=0,x=2,y=0和曲线y=x2围成的图形的面积.(1)分割:将区间0,2n等分,则x=2n,取i=2(i-1)n.(2)近似代替、求和:Sn=i=1n2(i-1)n22n=8n312+22+32+(n-1)2=831-1n1-12n.(3)取极值:S=limnSn=limn831-1n1-12n=83.S阴影=24-83=163.2S阴影=323,即抛物线y=x2与直线y=
4、4所围成的图形的面积为323.3.弹簧在拉伸的过程中,力与伸长量成正比,即力F(x)=kx(k为常数,x是伸长量),求将弹簧从平衡位置拉长b所做的功.解:将物体用常力F沿力的方向拖动距离x,则所做的功W=Fx.(1)分割在区间0,b上等间隔地插入n-1个点,将区间0,b等分成n个小区间:0,bn,bn,2bn,(n-1)bn,b,记第i个区间为(i-1)bn,ibn(i=1,2,n),其长度为x=ibn-(i-1)bn=bn.把在分段0,bn,bn,2bn,(n-1)bn,b上所做的功分别记作:W1,W2,Wn.(2)近似代替取各小区间的左端点函数值作为小矩形的高,由条件知:WiF(i-1)bnx=k(i-1)bnbn(i=1,2,n).(3)求和Wn=i=1nWii=1nk(i-1)bnbn=kb2n20+1+2+(n-1)=kb2n2n(n-1)2=kb221-1n.从而得到W的近似值W=Wnkb221-1n.(4)取极限W=limnWn=limWi0i=1nWi=limnkb221-1n=kb22,所以将弹簧从平衡位置拉长b所做的功为kb22.3
