1、1.4 空间向量的应用1.4.1 用空间向量研究直线、平面的向量表示 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示课标解读课标要求素养要求1.能用向量语言描述点、直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量.1.数学抽象能够抽象出直线的方向向量与平面的法向量.2.数学运算会用空间向量的坐标运算求平面向量的法向量2.掌握直线的方向向量和平面的法向量自主学习必备知识教材研习教材原句要点一 空间中点、直线的向量表示1.点的位置向量：如图，在空间中，我们取一定点O 作为 基点 ，那么空间中任意一点P 就可以用向量OP 来表示我们把向量OP 称为点P 的 位置向量 .2.空间直线的向量表示式：如图1,a 是
2、直线l 的方向向量，在直线l 上取AB=a ，设P 是直线l 上的任意一点，则点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使得AP=ta ，即 AP=tAB . 如图2，取定空间中的任意一点O ，可以得到点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使OP=OA+ta 或OP=OA+tAB .上述两个式子都称为空间直线的 向量表示式 由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.要点二 空间平面的向量表示1.空间平面的向量表示式：如图，取定空间任意一点O ，空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在实数x,y , OP=OA+xAB+yAC 我们把这个式子称为空间平面ABC 的
3、向量表示式由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量 唯一确定 .2.平面的法向量：如图，直线la ，取直线l 的方向向量a ，我们称向量a 为平面 的法向量给定一个点A 和一个向量a ，那么过点A ，且以向量a 为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 p|aAP=0 .自主思考1.基点是确定的吗？提示 是.2.已知A(2,2,0) ,B(0,0,2) ,C(0,0,0) ,p(1,1,12) ，如何判断这四点共面？提示 因为不在同一直线上的三点确定一个平面，所以由A,B,C 三点确定一个平面，若P 在平面ABC 内，则存在实数x ,y 使AP=xAB+y=AC ，即(-1,-1,12
4、)=x(-2,-2,2)+y(-2,-2,0) ,即，-2x-2y=-1,2x=12, 解得x=y=14 ,所以P 在平面ABC 内，即A ,B ,C ,P 四点共面.3.“aAP=0 ”的含义是什么？提示“aAP=0 ”是指平面的法向量与该平面内的任一直线的方向向量的数量积为零，即平面的法向量与该平面内的任一直线的方向向量垂直.名师点睛 求平面法向量n 的三个注意点（1）选向量：在选取平面内的向量时,要选取不共线的两个向量.（2）取特殊值：在求n 的坐标时,可令x ,y ,z 中的任一个为特殊值,得另外两个值,从而得到平面的一个法向量.（3）注意0：假设法向量n=(x,y,z) 的某个坐标为
5、某特殊值时,一定要注意这个坐标不为0.互动探究关键能力探究点一 直线的方向向量精讲精练例（1）已知点M(3,1,2),N(1,-5,-4),A(4,1,3) ,C 为线段AB 上一点,且ACMN=13,MN 是直线AB 的方向向量,则点C 的坐标为( )A.(72,-12,52) B.(38,-3,2)C.(103,-1,1) D.(52,-72,32)（2）若M(2,0,-1),N(-1,3,1) 在直线l 上,则直线l 的方向向量的单位向量为 .答案：（1）C（2）(-34,34,12)解析：（1）C 在线段AB 上,ACAB ,又MN 是直线AB 的方向向量,MNAB,MNAC .设C(
6、x,y,z) ,易知MN=(-2,-6,-6),AC=(x-4,y-1,z-3) ,且ACMN=13 ,(x-4,y-1,z-3)=13(-2,-6,-6) ,即3(x-4)=-2,3(y-1)=-6,3(z-3)=-6, 解得x=103,y=-1,z=1, 点C 的坐标是(103,-1,1) ,故选C.（2）因为M(2,0,-1),N(-1,3,1) ,所以MN=(-3,3,2) ,所以|MN|=4 ,所以直线l 的方向向量的单位向量是MN|MN|=14(-3,3,2)=(-34,34,12) .解题感悟求直线的方向向量就是求与该直线共线的向量,注意直线的方向向量有无数个.迁移应用若A(-1
7、,0,1),B(1,4,7) 在直线l 上.（1）则直线l 的一个方向向量是( )A.（1,2,3）B.（1,3,2）C.（2,1,3）D.（3,2,1）（2）若直线l 的一个方向向量为(2x-1,x+1,3) ,则x 的值为 . 答案：（1）A （2）1解析：（1）易知AB=(2,4,6)=2(1,2,3) ,取a=(1,2,3) ,则aAB ,即a是直线l的一个方向向量,故选A.（2）由（1）知AB=(2,4,6) ,又直线l 的一个方向向量为(2x-1,x+1,3) ,所以2x-12=x+14=36 ,解得x=1 .探究点二 平面的法向量精讲精练例如图,已知四边形ABCD 是直角梯形,A
8、BC=90,SA 平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=12 .（1）求平面ABCD 的一个法向量;（2）求平面SAB 的一个法向量.解析：以点A 为原点,AD、AB、AS 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D(12,0,0),S(0,0,1) .答案：（1）SA 平面ABCD ,AS=(0,0,1) 是平面ABCD 的一个法向量.（2）易知ADAB ,ADSA ,且ABSA=A ,AB ,SA 平面SAB ,AD 平面SAB ,AD=(12,0,0) 是平面SAB 的一个法向量.解题感悟求平面法向
9、量的步骤：（1）设出法向量;（2）选向量,在平面内选取两个不共线向量;（3）由垂直关系列出方程组;（4）解方程组;（5）赋非零值：取法向量中一个坐标为非零值（常取1）;（6）得结论.迁移应用在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为棱A1D1、A1B1 的中点,在如图所示的空间直角坐标系中,求：（1）平面BDD1B1 的一个法向量;（2）平面BDEF 的一个法向量.答案：（1）设正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为2,则D(0,0,0) ,B(2,2,0) ,A(2,0,0) ,C(0,2,0) ,E(1,0,2) .连接AC （图略）,易知AC 平面BDD1B1,所以AC=
10、(-2,2,0) 为平面BDD1B1 的一个法向量.（2）易知DB=(2,2,0) ,DE=(1,0,2) .设平面BDEF 的法向量为n=(x,y,z) ,nDB=0,nDE=0,2x+2y=0,x+2z=0,令x=2 ,得y=-2 ,z=-1 ,即n=(2,-2,-1) 为平面BDEF 的一个法向量.探究点三 平面法向量的应用精讲精练例如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1 中,点E,F 分别是棱BC ,CC1 的中点.求平面AEF 的一个法向量.答案：以D 为原点,DA 所在直线为x 轴,DC 所在直线为y 轴,DD1 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),
11、E(1,2,0),F(0,2,1) ,所以AE=(-1,2,0) ,AF=(-2,2,1),设平面AEF 的法向量为n=(x,y,z) ,则nAE=-x+2y=0,nAF=-2x+2y+z=0,取y=1 ,得n=(2,1,2) ,所以平面AEF 的一个法向量为n=(2,1,2) .解题感悟涉及平面法向量的问题,合理建立空间直角坐标系和利用垂直关系联立方程是解题的关键.迁移应用1.在平面ABCD 中,A(0,1,1) ,B （1,2,1）,C(-1,0,3) ,若a=(-1,y,z) ,且a 为平面ABCD 的法向量,则y2 等于( )A.2B.0C.1D.无意义答案：C解析：由题意得AB=(1
12、,1,0),AC=(-1,-1,2) ,又a 为平面ABCD 的法向量,所以aAB=0,aAC=0, 即-1+y=0,1-y+2z=0, 解得y=1, 所以y2=1 .2.在直三棱柱ABC-A1B1C1 中,CA=CB=1 ,ACB=90 ,平面A1B1C 的一个法向量为n=(-2,-2,1) ,则棱AA1 的长为 .答案：2解析：以C 为原点,CA,CB,CC1 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,设AA1=h ,由题意可知C(0,0,0) ,A1(1,0,h) ,所以CA1=(1,0,h) ,因为n=(-2,-2,1),根据法向量的定义可得,nCA1=(-2,-2,1)(1,0,h)=-2+h=0 ,解得h=2 ,所以AA1=2 .
