1、北京市海淀八模2019届高三理科数学模拟测试卷（二）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则下图中阴影部分所表示的集合为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由图象可知阴影部分对应的集合为A（UB），然后根据集合的基本运算即可【详解】Bx|x210x|x1或x1，UBx|1x1，又由图象可知阴影部分对应的集合为A（UB），A（UB）0，故选：B【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用图象先确定集合关系是解决本题的关键，比较基础2.已知复数在复平面内对应点是，为虚数单位，则（ ）A
2、. B. C. D. 【答案】D【解析】 ，选D.3.等比数列中，若，且成等差数列，则其前5项和为（ ）A. 30 B. 32 C. 62 D. 64【答案】C【解析】【分析】设等比数列an的公比为q，a48a1，可得a1q38a1，解可得q又a1，a2+1，a3成等差数列，可得2（a2+1）a1+a3，解可得a1，由等比数列前n项和公式计算可得答案【详解】根据题意，设等比数列an的公比为q，a48a1，a1q38a1，a10，解得q2又a1，a2+1，a3成等差数列，2（a2+1）a1+a3，2（2a1+1）a1（1+22），解得a12；则其前5项和S562；故选：C【点睛】本题考查等比数列
3、的通项公式与求和公式，掌握等比数列的通项公式和前n项和公式即可4.如图给出的是2000年至2016年我国实际利用外资情况，以下结论正确的是（ ）A. 2000年以来我国实际利用外资规模与年份呈负相关B. 2010年以来我国实际利用外资规模逐年增大C. 2008年以来我国实际利用外资同比增速最大D. 2010年以来我国实际利用外资同比增速最大【答案】C【解析】【分析】根据图表中的数据对选项逐项分析【详解】从图表中可以看出，2000年以来我国实际利用外资规模基本上是逐年上升的，因此实际利用外资规模与年份正相关，选项A错误；我国实际利用外资规模2012年比2011年少，所以选项B错误；从图表中的折线
4、可以看出，2008年实际利用外资同比增速最大，所以选项C正确；2008年实际利用外资同比增速最大，所以选项D错误；故选：C【点睛】本题主要考查对图表信息的提取能力，难度不大，属于基础题5.如图，在长方体中，点在侧面上，满足到直线和的距离相等的点（ ）A. 不存在 B. 恰有1个 C. 恰有2个 D. 有无数个【答案】D【解析】【分析】设P到AB的距离为x，到AA1的距离为y，求出P到直线CD的距离，列方程得出P点轨迹，得出答案【详解】设P到AB的距离为x，到AA1的距离为y，则P到直线CD的距离为，y，即y2x21（y1），P点轨迹为双曲线的一支的一部分，故选：D【点睛】本题考查了空间距离的计
5、算，属于中档题6.数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图，是源于其思想的一个程序框图.若输入的分别为8、2，则输出的（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】D【解析】【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，可得答案【详解】输入的a、b分别为8、2，n1第一次执行循环体后a12，b4，不满足退出循环的条件，第二次执行循环体后n2，a18，b8，不满足退出循环的条件，第三次执行循环体后n3，a27，b16，不满足退出循环的条件，第四次执行循环体后n4，a，b32
6、，不满足退出循环的条件，第五次执行循环体后n5，a，b64，满足退出循环的条件，故输出的n5，故选：D【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答7.小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午5:00-6:00之间送货上门.已知小李下班到家的时间为下午5:30-6:00.快递员到小李家时，如果小李未到家，则快递员会电话联系小李.若小李能在10分钟之内到家，则快递员等小李回来；否则，就将商品存放在快递柜中.则小李需要去快递柜收取商品的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设快递员送达的时刻为x，小李到家的时刻为y，根据题意列出
7、有序实数对（x，y）满足的区域，以及小李去快递柜收取商品对应的平面区域，计算面积比即可得出答案【详解】假设快递员送达的时刻为x，小李到家的时刻为y，则有序实数对（x，y）满足的区域为（x，y）|，小李需要去快递柜收取商品，即序实数对（x，y）满足的区域为（x，y）|，如图所示；小李需要去快递柜收取商品的概率为P故选：D【点睛】本题考查几何概型概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题8.将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）A. 函数的一条对称轴是B. 函数的一个对称中心是C. 函数的一条对称轴是D. 函数的一个
8、对称中心是【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式、函数yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，判断各个选项是否正确，从而得出结论【详解】将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，可得y2sin（2x）的图象，然后纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到函数yg（x）2sin（2x）2cos2x的图象，令x，求得g（x）0，可得（，0）是g（x）的一个对称中心，故排除A；令x，求得g（x）1，可得x是g（x）的图象的一条对称轴，故排除B，故C正确；令x，求得g（x），可得x不是g（x）的图象的对称中心，故排除D，故选：C【点睛】本题主要考查诱导公式、函数yAsin（x+）
9、的图象变换规律，以及正弦函数、余弦函数的图象的对称性，属于基础题9.设函数，“是偶函数”是“的图象关于原点对称”（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】“yf（x）的图象关于原点对称”，xR，可得y|f（x）|是偶函数反之不成立，例如f（x）x2【详解】“yf（x）的图象关于原点对称”，xR，可得y|f（x）|是偶函数反之不成立，例如f（x）x2，满足y|f（x）|是偶函数，xR因此，“y|f（x）|是偶函数”是“yf（x）的图象关于原点对称”的必要不充分条件故选：B【点睛】本题考查了函数的奇偶性、简易逻辑的判定方法，
10、考查了推理能力与计算能力，属于基础题10.已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆、两点，若的最大值为5，则b的值为（ ）A. 1 B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】由题意可知椭圆是焦点在x轴上的椭圆，利用椭圆定义得到|BF2|+|AF2|8|AB|，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB垂直于x轴时|AB|最小，把|AB|的最小值b2代入|BF2|+|AF2|8|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于5列式求b的值即可【详解】由0b2可知，焦点在x轴上，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，则|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|2a+2a4a8|BF2|+|
11、AF2|8|AB|当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，此时|AB|b2，则58b2，解得b，故选：C【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的定义，考查椭圆的通径公式，考查计算能力，属于中档题11.已知过球面上三点、的截面到球心距离等于球半径的一半，且，则球面面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设出球的半径，小圆半径，通过已知条件求出两个半径，再求球的表面积【详解】如图，设球的半径为R，O是ABC的外心，外接圆半径为r，则OO面ABC在RtACD中，cosA，则sinA在ABC中，由正弦定理得2r，r，ABC外接圆的半径，故选：C【点睛
12、】本题考查立体几何中的球的截面问题和球的表面积问题，考查球面距离弦长问题，正弦定理的应用，考查学生分析问题解决问题能力，空间想象能力，属于难题12.数学上称函数（，）为线性函数.对于非线性可导函数，在点附近一点的函数值，可以用如下方法求其近似代替值： .利用这一方法，的近似代替值（ ）A. 大于 B. 小于 C. 等于 D. 与的大小关系无法确定【答案】A【解析】设，令，则，故近似值大于.点睛：本题主要考查新定义概念的理解，考查基本初等函数的导数的求法，考查近似值的一种求法，考查比较大小的方法.题目所给新定义是一种近似值的求法，阅读理解后，将所求的近似值利用新定义的概念来表示，即，然后利用平方
13、的方法进行大小的比较.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设满足约束条件，则的最小值为_【答案】-5【解析】【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案【详解】由x，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A，联立，解得A（1，1）z3x2y的最小值为31215故答案为：5【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题14.已知向量满足，则向量在向量上的投影为_【答案】-1【解析】【分析】由已知结合向量数量积的性质可求，然后代入到向量在向量上的投影公式可求【详解】，5，则向量在
14、向量上的投影为1，故答案为：1【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的性质的简单应用，熟练掌握基本性质是求解问题的关键15.已知双曲线 的右焦点为，左顶点为.以为圆心，为半径的圆交的右支于、两点，的一个内角为60，则的离心率为_【答案】【解析】【分析】由题意可得PAPB，又，APQ的一个内角为60，即有PFB为等腰三角形，PFPAa+c，运用双曲线的定义和离心率公式，计算即可得到所求【详解】如图，设左焦点为F1，圆于x轴的另一个交点为B，APQ的一个内角为60PAF30，PBF60PFAFa+c，PF13a+c，在PFF1中，由余弦定理可得3c2ac4a203e2e40，故答案为：【点睛】本题考
15、查双曲线的定义、方程和性质，考查直径所对的圆周角为直角，以及等腰三角形的性质，考查离心率公式的运用，属于中档题16.已知数列满足，表示不超过的最大整数（如，记，数列的前项和为）.若数列是公差为1的等差数列，则_；若数列是公比为的等比数列，则_【答案】 (1). 6 (2). 【解析】若数列是公差为的等差数列，且，则，所以，则；故填6.若数列是公比为的等比数列，且，则，则， ；故填.【点睛】本题考查等差数列、等比数列、二项式定理和新定义型数列的求解；本题的难点是第二问如何确定数列的通项公式，采用了二项式展开式，利用二项式的性质进行求解，难度较大.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出
16、文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在中，内角、的对边分别为，.若的面积为，且，. （1）求角的大小；（2）若，求角的大小.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）根据余弦定理和三角形的面积公式化简即可得出，从而得出B的值；（2）利用正弦定理及B，直接求出C【详解】（1）在中，由余弦定理，得，；（2）由正弦定理得，.【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理的应用，属于中档题18.在如图所示的多面体中，平面，是的中点. （1）求证：；（2）求平面与平面所成锐二角的余弦值.【答案】（）证明见解析；（）【解析】试题分析：（）由题意可知，两两垂直，以点为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
17、由已知得，即证得（）由已知得是平面的法向量，设平面的法向量为，计算得令，得 设平面与平面所成锐二面角的大小为，则 通过计算即得结果.试题解析：（）平面，平面，平面，又，两两垂直以点为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，由已知得，（）由已知得是平面的法向量，设平面的法向量为，即，令，得，设平面与平面所成锐二面角的大小为，则 平面与平面所成锐二面角的余弦值为19. （本小题满分13分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，8，其中X5为标准A，X3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂
18、得产品都符合相应的执行标准（I）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：且X1的数字期望EX1=6，求a，b的值；（II）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望.在（I）、（II）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由.注：（1）产品的“性价比”=；（2）“性价比”大的产品更具可购买性.【答案】【解
19、析】略【此处有视频，请去附件查看】20.已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于两点，且.（1）求该抛物线的方程；（2）已知抛物线上一点，过点作抛物线的两条弦和，且，判断直线是否过定点？并说明理由.【答案】（1）；（2）定点【解析】试题分析：（1）利用点斜式设直线直线的方程,与抛物线联立方程组,结合韦达定理与弦长公式求,再根据解得.（2）先设直线方程, 与抛物线联立方程组,结合韦达定理化简，得或,代入方程可得直线过定点试题解析：（1）拋物线的焦点 ，直线的方程为:.联立方程组，消元得:，. 解得.抛物线的方程为：.（2）由（1）可得点，可得直线的斜率不为0，设直线的方程为：，联立，得，则.设
20、，则. 即，得：，即或，代人式检验均满足，直线的方程为：或.直线过定点（定点不满足题意，故舍去）.点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21.已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若函数存在两个极值点且满足，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）求出，分五种情况讨论的范围，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函
21、数的减区间；（2）由(1)可知，不等式化为，令，则，利用导数研究函数的单调性，证明当时，不等式不成立，当时，可证明，适量题意，即.试题解析：(1)定义域为，当或时，恒成立，当时，由得或，于是结合函数定义域的分析可得：当时，函数在定义域上是增函数；当时，函数定义域为，此时有，于是在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，当时，函数定义域为，于是在上为减函数，在上为增函数，当时，函数定义域为，此时有，于是在上是增函数，在上是减函数，在上是减函数，在上是增函数，当时，函数定义域为，于是在上是增函数，在上是增函数.(2)由(1)知存在两个极值点时，的取值范围是，由(1)可知，；不等式化为，令，所以，令
22、，当时，所以，不合题意；当时，所以在上是减函数，所以，适量题意，即.综上，若，此时正数的取值范围是.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的坐标方程为，若直线与曲线相切.（1）求曲线的极坐标方程；（2）在曲线上取两点、于原点构成，且满足，求面积的最大值.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）求出直线l的直角坐标方程为y2，曲线C是圆心为（，1），半径为r的圆，直线l与曲线C相切，求出r2，曲线C的普通方程为（x）2+（y1）24，由此能求出曲线C的
23、极坐标方程（2）设M（1，），N（2，），（10，20），由2sin（2），由此能求出MON面积的最大值【详解】（1）由题意可知将直线的直角坐标方程为，曲线是圆心为，半径为的圆，直线与曲线相切，可得：；可知曲线的方程为，曲线的极坐标方程为，即.（2）由（1）不妨设，.当时，面积的最大值为.【点睛】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的最大值的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题23.若，且.（1）求的最小值；（2）是否存在，使得的值为？并说明理由.【答案】（1）； （2）不存在，使得的值为.【解析】【分析】（1）由条件利用基本不等式求得，再利用基本不等式求得的最小值（2）根据及基本不等式求得，从而可得不存在a，b，使得=【详解】（1），当且仅当时等号，.，当且仅当时取等号；（2），不存在，使得的值为.【点睛】本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题
