1、3.3 幂函数课标解读课标要求素养要求1.了解幂函数的概念，会求幂丽数的解析式.2.结合幂函数y=x ，y=x2 ，y=x3 ，y=x-1 ，y=x12 的图象，掌握它们的性质. 1.直观想象一一能够作出 5个幂函数的图象. 2.数学抽象一一会 概括幂丽数的性质. 自主学习必备知识教材研习教材原句要点一 幂函数的概念一般地，函数 y=x 叫做幂函数，其中x是自变量， 是 常数 .要点二 五个幂函数的图象与性质在同一坐标系中画出函数y=x ，y=x2 ，y=x3 ，y=x-1 ，y=x12 和y=x-1 的图象.我们得到：（1）函数y=x ，y=x2 ，y=x3 ，y=x12 和y=x-1 的图
2、象都通过点（1，1）；（2）函数y=x ，y=x2 ，y=x3 ，y=x-1 是 奇函数 ，函数y=x2 是 偶函数 ；（3）在区间(0,+) 上，函数y=x ，y=x2 ，y=x3 ，y=x12 单调递增 ，函数y=x-1 单调递减 ；（4）在第一象限内，函数y=x-1 的图象向上与 y轴 无限接近，向右 x轴 无限接近.自主思考1.函数y=2x ，y=2x2 是幂函数吗？答案：提示函数y=2x ，y=2x2 都不是幂函数.2.已知x0 ，则函数y=1x2 ，y=x0 是幂函数吗？答案：提示函数y=1x2 ，y=x0(x0) 都是幂函数.3.当0xg(x)f(x) .名师点睛1.幂函数的特征
3、（1）x 的系数是1；（2）x 的底数x 是自变量；（3）x 的指数 为常数只有同时满足这三个条件，才是幂函数形如y=(2x) ，y=2x5 ，y=x+6 的函数都不是幂函数2.幂函数的性质（1）所有的幂函数在(0,+) 上都有定义，并且图象都过点（1，1）.（2）如果0 ，那么幂函数的图象过原点，并且在区间(0,+) 上单调递增；如果0 ，那么幂函数的图象在区间(0,+) 上单调递减.（3）在(1,+) 上，随着指数的逐渐增大，函数图象越来越靠近y 轴互动探究关键能力探究点一 幂函数的概念精讲精练例 已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3 ，m 为何值时，f(x) 是：幂函数；正比例
4、函数；反比例函数；二次函数？答案：若f(x) 是幂函数，则m2-m-1=1 ，即m2-m-2=0 ，解得m=2 或m=-1 .若f(x) 是正比例函数，则-5m-3=1 ，解得m=-45 ，此时m2-m-10 ，故m=-45 .若f(x) 是反比例函数，则-5m-3=-1 ，解得m=-25 ，此时m2-m-10 ，故m=-25 .若f(x) 是二次函数，则-5m-3=2 ，解得m=-1 .此时m2-m-10 ，故m=-1 .解题感悟将正比例函数、反比例函数、二次函数和幂函数放在一起考查，要注意区分它们之间的不同点：正比例函数y=kx(k0) ；反比例函数y=kx(k0) ；二次函数y=ax2+
5、bx+c(a0) ；幂函数y=x(R) .迁移应用1.有以下函数：y=x3 ；y=4x2 ；y=x5+1 ；y=(x-1)2 ；y=x .其中幂函数的个数为( )A.1B.2C.3D.4答案：B解析：幂函数有两个.2.若f(x)=(m2-4m-4)xm 是幂函数，则m= .答案：5或-1解析：若f(x) 是幂函数，则m2-4m-4=1, 即m2-4m-5=0 ，解得m=5 或m=-1 .探究点二 幂函数的图象及应用例 若四个幂函数y=xa ，y=xb ，y=xc ，y=xd 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( ) A.dcba B.abcd C.dca
6、b D.abdc答案：B解析：依据图象的高低判断幂指数的大小，在（0，1）上，指数越大，幂函数的图象越靠近x 轴；在(1,+) 上，指数越大，幂函数图象越远离x轴.故选B.解题感悟1.在第一象限，幂函数的单调性由的正负决定.当0 时，函数单调递增；当0 时，函数单调递减.2.曲线在第一象限的凹凸性：1 时，曲线下凸;01 时，曲线上凸；g(x) ；f(x)=g(x) ；f(x)(109)121.112 ，即1.2120.9-121.1 .解题感悟利用幂函数的性质比较大小的方法1.直接法：当幂的指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较两个数的大小；2.转化法：当幂的指数不相同时，可以先转化为相
7、同的幂指数，再利用单调性比较两个数的大小.迁移应用1.比较下列各组中两个值的大小：（1）(23)0.5 与(45)0.5 ；（2）-3.143 与-3 ；（3）245 ，335 ，2515 .答案：（1）y=x0.5 在0,+) 上是增函数，且2345 ，(23)0.5(45)0.5 .（2）y=x3 是R 上的增函数，且3.14 ，3.1433 ，-3.143-3 .（3）245=1615 ，335=2715 .y=x15 为0,+ ）上的增函数，且162527，2452515335 .评价检测素养提升课堂检测1.已知幂函数f(x)=x 的图象经过点（4，2），则f(2)= ( )A.2B.
8、2 C.22 D.12答案：B解析：因为幂函数f(x)=x 的图象经过点（4，2），所以f(4)=4=2 ，解得=12, 所以f(x)=x12, 所以f(2)=2 .故选B.2.设M=(x2+1)3 ，N=8x3 ，则M 与N 的大小关系是( )A.MN B.MN C.MN D.MN答案：B解析：易知函数y=x3 是R 上的增函数，且x2+12x ，所以(x2+1)3(2x)3=8x3 ，即MN .故选B.3.已知y=(2a+b)xa+b+(a-2b) 是幂函数，则a= ，b= .答案：25 ; 154.比较下列各组数的大小（1）-8-1 和-9-1 ；（2）(15)3 和(12)3 ；（3）
9、(-0.31)65 ，0.3565 .答案：（1）函数f(x)=x-1 在(0,+) 上是减函数，89-1 ，-8-1-9-1 .（2）函数y=x3 在R 上是增函数，且1215, 则(12)3(15)3 .（3）y=x65 为R 上的偶函数，(-0.31)65=0.3165 .又函数y=x65 为0,+) 上的增函数，且0.310.35 ，0.31650.3565 ，即(-0.31)650.3565 .素养演练数学抽象幂函数的综合应用1.已知幂函数y=f(x)=x-2m2-m+3 ，其中mm|-2m2,mZ ，若：f(x) 是区间(0,+) 上的增函数；对任意的xR ，都有f(-x)+f(x
10、)=0 .求同时满足的幂函数f(x) 的解析式，并求当x0,3 时，f(x) 的值域.答案：因为mm|-2m2,mZ ，所以m=-1,0,1 .因为对任意的xR ，都有f(-x)+f(x)=0 ，即f(-x)=-f(x) ，所以f(x) 是奇函数.当m=-1 时，f(x)=x2 ，只满足条件而不满足条件；当m=1 时，f(x)=x0 ，条件都不满足；当m=0 时，f(x)=x3 ，条件都满足，且在区间0 ，3 上是增函数.f(0)=0 ，f(3)=33=27 ，所以当x0,3 时，函数f(x) 的值域为0，27.素养探究：解决幂函数的综合问题时应注意：（1）充分利用幂函数的图象、性质，如图象过
11、定点、单调性、奇偶性等；（2）注意运用常见的思想方法，如分类讨论、数形结合思想.通过解题培养学生数学抽象的核心素养.迁移应用1.已知幂函数f(x)=(a2-a+1)x9+a5(aZ) 是偶函数，且在(0,+) 上为增函数，试求实数a 的值.答案：由幂函数的定义可知，a2-a+1=1 ，即a2-a=0 ，解得a=0 或a=1 ，则f(x)=x95 或f(x)=x2 .若f(x)=x95 ，则其定义域为(-,+) ，关于原点对称，又f(-x)=(-x)95=-x95=-f(x) ，f(x) 为奇函数，不符合题意；若f(x)=x2 ，则其定义域为(-,+) ，关于原点对称，又f(-x)=(-x)2=x2=f(x) ，f(x) 为偶函数，且在(0,+) 上单调递增，符合题意， 实数a 的值为1.
