1、F单元平面向量 目录F单元平面向量1F1平面向量的概念及其线性运算1F2平面向量基本定理及向量坐标运算4F3平面向量的数量积及应用9F4 单元综合22 F1平面向量的概念及其线性运算【名校精品解析系列】数学（理）卷2015届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试（201501）】15.已知直线与圆交于两点，是坐标原点，向量满足，则实数的值是 。【知识点】直线与圆的位置关系，向量的加法与减法H4 F1【答案】【解析】2 解析：因为向量满足，所以OAOB，又直线x+y=a的斜率为1，所以直线经过圆与y轴的交点，所以a=2.【思路点拨】本题先由向量加法与减法的几何意义得到OAOB，再由所给直线与圆的
2、特殊性确定实数a的值.【名校精品解析系列】数学（理）卷2015届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试（201501）】15.已知直线与圆交于两点，是坐标原点，向量满足，则实数的值是 。【知识点】直线与圆的位置关系，向量的加法与减法H4 F1【答案】【解析】2 解析：因为向量满足，所以OAOB，又直线x+y=a的斜率为1，所以直线经过圆与y轴的交点，所以a=2.【思路点拨】本题先由向量加法与减法的几何意义得到OAOB，再由所给直线与圆的特殊性确定实数a的值.【名校精品解析系列】数学（理）卷2015届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试（201501）】15.已知直线与圆交于两点，是坐标原点，
3、向量满足，则实数的值是 。【知识点】直线与圆的位置关系，向量的加法与减法H4 F1【答案】【解析】2 解析：因为向量满足，所以OAOB，又直线x+y=a的斜率为1，所以直线经过圆与y轴的交点，所以a=2.【思路点拨】本题先由向量加法与减法的几何意义得到OAOB，再由所给直线与圆的特殊性确定实数a的值.【名校精品解析系列】数学（文）卷2015届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试（201501）】7.已知向量是两个不共线的向量,若与共线,则=（ ）A2 B. C. D. 【知识点】向量共线的充要条件，平面向量基本定理F1 F2【答案】【解析】C 解析：若与共线，则，得，解得，所以选C.【思路点
4、拨】先由向量共线得到两个向量关系，再利用平面向量基本定理确定向量的系数关系即可.【名校精品解析系列】数学（文）卷2015届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试（201501）】7.已知向量是两个不共线的向量,若与共线,则=（ ）A2 B. C. D. 【知识点】向量共线的充要条件，平面向量基本定理F1 F2【答案】【解析】C 解析：若与共线，则，得，解得，所以选C.【思路点拨】先由向量共线得到两个向量关系，再利用平面向量基本定理确定向量的系数关系即可.【名校精品解析系列】数学理卷2015届重庆市巴蜀中学高三上学期第一次模拟考试（201501）】6. 已知向量与的夹角为，且，若，且，则实数的值
5、为（ ） A B C D【知识点】向量加减混合运算及其几何意义F1【答案】【解析】D 解析：，且，=0又向量与的夹角为120，且，3222+（1）（3）=0，解得=故选：D【思路点拨】利用向量垂直与数量积之间的关系即可得出【名校精品解析系列】数学理卷2015届河南省安阳一中等天一大联考高三阶段测试（三）（201412）word版】(15)ABC中， ，若 ，则 =_.【知识点】平面向量的线性运算；向量的数量积. F1 F3【答案】【解析】 解析：因为,所以. 故填. 【思路点拨】先把用表示，再用向量数量积的运算性质求解. 【名校精品解析系列】数学文卷2015届重庆一中高三12月月考（20141
6、2）word版】9已知平面向量的夹角为，且，在中，D 为BC的中点，则（ ） A2 B4 C6 D8【知识点】向量的运算 向量的数量积F1 F3【答案】【解析】A 解析：AD=12(AB+AC)=2m-2n，所以AD=2m-2n，AD2=2m-2n2=4m2+4n2-8mn=4，所以AD=2.【思路点拨】本题主要考察向量的基本运算与向量模的计算，与向量模有关的一般用到向量的平方等于模的平方.F2平面向量基本定理及向量坐标运算【数学理卷2015届湖南省衡阳市八中高三上学期第六次月考（201501）】13. 已知点是锐角的外心，. 若，则 【知识点】平面向量基本定理及向量坐标运算F2【答案】5【解
7、析】如图，点在上的射影是点，它们分别为的中点，由数量积的几何意义，可得，依题意有:，即，即将两式相加可得：.【思路点拨】由数量积的几何意义，可得，,再根据数量积求得。【数学理卷2015届湖南省衡阳市八中高三上学期第六次月考（201501）】13. 已知点是锐角的外心，. 若，则 【知识点】平面向量基本定理及向量坐标运算F2【答案】5【解析】如图，点在上的射影是点，它们分别为的中点，由数量积的几何意义，可得，依题意有:，即，即将两式相加可得：.【思路点拨】由数量积的几何意义，可得，,再根据数量积求得。【数学文卷2015届湖南省衡阳市八中高三上学期第六次月考（201501）】10.在ABC中，a、
8、b、c分别是内角A,B,C所对的边，C=,若且D、E、F三点共线（该直线不过点O），则 ABC周长的最小值是（ ） A. B. C. D. 【知识点】平面向量基本定理及向量坐标运算F2【答案】B【解析】，且D、E、F三点共线（该直该不过点O），a+b=2（a0，b0），ab()2=1c2=a2+b2-2abcosC，C=，c2=2ab-ab1当且仅当a=b=1时，c取得最小值1ABC周长的最小值是3.【思路点拨】利用三点共线的性质，可得a+b=2，再利用余弦定理结合基本不等式可求c的最小值，从而可得结论二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分【名校精品解析系列】数学（文）卷2015届
9、吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试（201501）】13.已知,向量，且 ，则= _ 【知识点】向量的坐标运算F2【答案】【解析】 解析：因为，所以2m-6=0,m=3,则 .【思路点拨】先利用两向量垂直，数量积等于0计算m值，再求模即可.【名校精品解析系列】数学（文）卷2015届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试（201501）】7.已知向量是两个不共线的向量,若与共线,则=（ ）A2 B. C. D. 【知识点】向量共线的充要条件，平面向量基本定理F1 F2【答案】【解析】C 解析：若与共线，则，得，解得，所以选C.【思路点拨】先由向量共线得到两个向量关系，再利用平面向量基本定理确
10、定向量的系数关系即可.【名校精品解析系列】数学（文）卷2015届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试（201501）】13.已知,向量，且 ，则= _ 【知识点】向量的坐标运算F2【答案】【解析】 解析：因为，所以2m-6=0,m=3,则 .【思路点拨】先利用两向量垂直，数量积等于0计算m值，再求模即可.【名校精品解析系列】数学（文）卷2015届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试（201501）】7.已知向量是两个不共线的向量,若与共线,则=（ ）A2 B. C. D. 【知识点】向量共线的充要条件，平面向量基本定理F1 F2【答案】【解析】C 解析：若与共线，则，得，解得，所以选C.【
11、思路点拨】先由向量共线得到两个向量关系，再利用平面向量基本定理确定向量的系数关系即可.【名校精品解析系列】数学理卷2015届重庆市巴蜀中学高三上学期第一次模拟考试（201501）】15. 已知中的内角为，重心为，若，则 _。【知识点】向量在几何中的应用；平面向量的基本定理及其意义F2 F3【答案】【解析】 解析：设a，b，c为角A，B，C所对的边，由正弦定理，可得，则，即，又,不共线，则，即，故答案为：【思路点拨】利用正弦定理化简已知表达式，通过,不共线，求出a、b、c的关系，利用余弦定理求解即可【名校精品解析系列】数学理卷2015届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性测试（201501
12、）word版】12已知是直角三角形的概率是。【知识点】向量的坐标运算 古典概型 F2 K2【答案】【解析】解析：因为，又因为，所以，在中，若为直角三角形可得，满足条件的有3个，所以所求概率为.故答案为.【思路点拨】根据求得k的集合为共有7个元素，根据直角三角形可得求得满足条件的k有3个，即可得所求概率.【名校精品解析系列】数学文卷2015届河南省安阳一中等天一大联考高三阶段测试（三）（201412）word版】(15)ABC中， ，若 ，则 =_.【知识点】平面向量的线性运算；向量的数量积. F2 F3【答案】【解析】 解析：因为,所以. 故填. 【思路点拨】先把用表示，再用向量数量积的运算性
13、质求解. F3平面向量的数量积及应用【数学（理）卷2015届四川省成都市高中毕业班第一次诊断性检测（201412）word版】11若非零向量，满足，则，的夹角的大小为_【知识点】向量的夹角 F3【答案】【解析】解析：，即，所以， ，的夹角为，故答案为.【思路点拨】由可得，所以夹角为.【数学理卷2015届湖北省部分高中高三元月调考（201501）】11.平面向量与的夹角为60，=(2,0)，|=1，则|+2| 【知识点】平面向量的数量积及应用F3【答案】2【解析】由已知|a|=2，|a+2b|2=a2+4ab+4b2=4+421cos60+4=12|a+2b|=2.【思路点拨】根据向量的坐标求出
14、向量的模，最后结论要求模，一般要把模平方，知道夹角就可以解决平方过程中的数量积问题，题目最后不要忘记开方【数学理卷2015届四川省绵阳中学高三上学期第五次月考（201412）word版】5在中，若，则( ) ABCD【知识点】向量的数量积 F3【答案】【解析】解析：由题意可得：，由同角三角函数基本关系式可得：所以，故选择.【思路点拨】根据已知可得，进而得到，即可得到三角形面积.【数学理卷2015届四川省绵阳中学高三上学期第五次月考（201412）word版】5在中，若，则( ) ABCD【知识点】向量的数量积 F3【答案】【解析】解析：由题意可得：，由同角三角函数基本关系式可得：所以，故选择.
15、【思路点拨】根据已知可得，进而得到，即可得到三角形面积.【数学文卷2015届湖南省衡阳市八中高三上学期第六次月考（201501）】12在边长为2的正ABC中，则_。【知识点】平面向量的数量积及应用F3【答案】-2【解析】等边ABC边长为2，则|cos（-B）=22（-cosB）=4（-cos60）=4（-）=-2【思路点拨】由|cos（-B）求出2.【数学文卷2015届四川省绵阳中学高三上学期第五次月考（201412）】5在中，若，则( ) ABCD【知识点】向量的数量积 F3【答案】【解析】解析：由题意可得：，由同角三角函数基本关系式可得：所以，故选择.【思路点拨】根据已知可得，进而得到，即
16、可得到三角形面积.【名校精品解析系列】数学（理）卷2015届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联考（201501）】7已知,点在内，且，设，则等于（ ）A B3 C D【知识点】平面向量数量积的运算；线段的定比分点F3【答案】【解析】B 解析：,在x轴方向上的分量为,在y轴方向上的分量为两式相比可得：故选B.【思路点拨】先根据可得，再计算出，又根据，可得答案【名校精品解析系列】数学（理）卷2015届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试（201501）】8.已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足,则的最大值是 ( ) A.1 B.2 C. D.【知识点】向量的数量积F3【答案】【解
17、析】C 解析：因为，所以，所以的最大值是，则选C.【思路点拨】利用向量的数量积的运算，把所求向量转化为夹角的三角函数再求最值，本题还可以建立直角坐标系，利用坐标运算进行解答.【名校精品解析系列】数学（理）卷2015届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试（201501）】8.已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足,则的最大值是 ( ) A.1 B.2 C. D.【知识点】向量的数量积F3【答案】【解析】C 解析：因为，所以，所以的最大值是，则选C.【思路点拨】利用向量的数量积的运算，把所求向量转化为夹角的三角函数再求最值，本题还可以建立直角坐标系，利用坐标运算进行解答.【名校精品解析
18、系列】数学（理）卷2015届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试（201501）】8.已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足,则的最大值是 ( ) A.1 B.2 C. D.【知识点】向量的数量积F3【答案】【解析】C 解析：因为，所以，所以的最大值是，则选C.【思路点拨】利用向量的数量积的运算，把所求向量转化为夹角的三角函数再求最值，本题还可以建立直角坐标系，利用坐标运算进行解答.【名校精品解析系列】数学（文）卷2015届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试（201501）】20.（本小题满分12分）的内角A，B，C所对的边分别,已知向量m=,n=, mn=.（1）若，求的面积
19、；（2）求的值.【知识点】解三角形。向量的数量积C8 F3【答案】【解析】(1)；(2)2 解析：(1)因为，所以，又,所以，由得b=4，所以的面积为；(2)= .【思路点拨】在解三角形时，当出现边角混合条件时，可先利用正弦定理或余弦定理先转化为角的关系或边的关系，再进行解答.【名校精品解析系列】数学（文）卷2015届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试（201501）】8.在中,点是中点,若,则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【知识点】向量的数量积F3【答案】【解析】A 解析：设三角形三边分别为a,b,c，由得bccos60=,得bc=1，当AD为三角形的高时取最小值，此时三角形为
20、等边三角形，所以b=c=1，所以选A.【思路点拨】先由的意义寻求出取最小值时三角形的特征，再计算其最小值即可.【名校精品解析系列】数学（文）卷2015届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试（201501）】20.（本小题满分12分）的内角A，B，C所对的边分别,已知向量m=,n=, mn=.（1）若，求的面积；（2）求的值.【知识点】解三角形。向量的数量积C8 F3【答案】【解析】(1)；(2)2 解析：(1)因为，所以，又,所以，由得b=4，所以的面积为；(2)= .【思路点拨】在解三角形时，当出现边角混合条件时，可先利用正弦定理或余弦定理先转化为角的关系或边的关系，再进行解答.【名校精品
21、解析系列】数学（文）卷2015届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试（201501）】8.在中,点是中点,若,则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【知识点】向量的数量积F3【答案】【解析】A 解析：设三角形三边分别为a,b,c，由得bccos60=,得bc=1，当AD为三角形的高时取最小值，此时三角形为等边三角形，所以b=c=1，所以选A.【思路点拨】先由的意义寻求出取最小值时三角形的特征，再计算其最小值即可.【名校精品解析系列】数学理卷2015届重庆市巴蜀中学高三上学期第一次模拟考试（201501）】15. 已知中的内角为，重心为，若，则 _。【知识点】向量在几何中的应用；平面向量的
22、基本定理及其意义F2 F3【答案】【解析】 解析：设a，b，c为角A，B，C所对的边，由正弦定理，可得，则，即，又,不共线，则，即，故答案为：【思路点拨】利用正弦定理化简已知表达式，通过,不共线，求出a、b、c的关系，利用余弦定理求解即可【名校精品解析系列】数学理卷2015届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性测试（201501）word版】15已知中，且，则的取值范围是。【知识点】向量的数量积 F3【答案】【解析】解析：因为，所以，即可得，因为可得，设，所以有，因为 ，可得，所以，故答案为.【思路点拨】根据题意可得，由平方可得，可得，根据角B的范围求得，而即可求得.【名校精品解析系列】
23、数学理卷2015届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性测试（201501）word版】7已知为的外心，若，且，则（ ）。A B C D【知识点】向量的数量积 F3【答案】B【解析】解析：根据为的外心，以及向量数量积的集合意义可得，同理可得，又因为，所以可得，故选择B.【思路点拨】根据为的外心，以及向量数量积的集合意义可得，同理可得，再利用，代入即可求得.【名校精品解析系列】数学理卷2015届河南省安阳一中等天一大联考高三阶段测试（三）（201412）word版】(17)（本小题满分10分）已知向量 ，记 (I) 若 ，求 的值；()将函数 的图象向右平移 个单位得到 的图象，若函数 在
24、上有零点，求实数k的取值范围【知识点】向量的数量积；三角函数的求值；三角函数的图像. F3 C3 C7 【答案】【解析】(I)1(II) 解析：(I)由已知得，于是(II)将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，当x时，所以，所以，若函数 在 上有零点，则k【思路点拨】由向量的关系可求出函数的解析式，再根据三角函数的性质求出函数的取值,从而求得使函数 在 上有零点得k范围. 【名校精品解析系列】数学理卷2015届河南省安阳一中等天一大联考高三阶段测试（三）（201412）word版】(15)ABC中， ，若 ，则 =_.【知识点】平面向量的线性运算；向量的数量积. F1 F3【答案】【解析】
25、 解析：因为,所以. 故填. 【思路点拨】先把用表示，再用向量数量积的运算性质求解. 【名校精品解析系列】数学理卷2015届四川省石室中学高三一诊模拟（201412）word版】2.已知均为单位向量，且它们的夹角为，那么（）A.1 B. C. D.【知识点】向量的数量积F3【答案】【解析】 A 解析：因为，所以选A.【思路点拨】一般遇到求向量的模时，通常利用向量模的性质：向量的平方等于其模的平方进行解答.【名校精品解析系列】数学理卷2015届四川省石室中学高三一诊模拟（201412）word版】2.已知均为单位向量，且它们的夹角为，那么（）A.1 B. C. D.【知识点】向量的数量积F3【答
26、案】【解析】 A 解析：因为，所以选A.【思路点拨】一般遇到求向量的模时，通常利用向量模的性质：向量的平方等于其模的平方进行解答.【名校精品解析系列】数学理卷2015届四川省石室中学高三一诊模拟（201412）word版】2.已知均为单位向量，且它们的夹角为，那么（）A.1 B. C. D.【知识点】向量的数量积F3【答案】【解析】 A 解析：因为，所以选A.【思路点拨】一般遇到求向量的模时，通常利用向量模的性质：向量的平方等于其模的平方进行解答.【名校精品解析系列】数学文卷2015届重庆市巴蜀中学高三上学期第一次模拟考试（201501）】10 如图，为的外心，为钝角， 是边的中点，则的值为
27、( ). A4 B5 C6 D7【知识点】平面向量数量积的运算F3【答案】【解析】B 解析：（如图）取AB、AC的中点D、E，可知ODAB，OEACM是边BC的中点，=,由数量积的定义可得，而|，故；同理可得，故=5，故选D【思路点拨】取AB、AC的中点D、E，可知ODAB，OEAC，所求，由数量积的定义结合图象可得，代值即可【名校精品解析系列】数学文卷2015届重庆一中高三12月月考（201412）word版】9已知平面向量的夹角为，且，在中，D 为BC的中点，则（ ） A2 B4 C6 D8【知识点】向量的运算 向量的数量积F1 F3【答案】【解析】A 解析：AD=12(AB+AC)=2m
28、-2n，所以AD=2m-2n，AD2=2m-2n2=4m2+4n2-8mn=4，所以AD=2.【思路点拨】本题主要考察向量的基本运算与向量模的计算，与向量模有关的一般用到向量的平方等于模的平方.【名校精品解析系列】数学文卷2015届湖北省部分高中高三元月调考（201501）】16已知，向量a=（m，1），b=（12，4），c=（2，4）且ab，则向量c在向量a方向上的投影为 .【知识点】平面向量的数量积及应用F3【答案】-【解析】由于向量=（m，1），=（-12，4），且，则4m=-12，解得，m=-3则=（-3，1），=-32-4=-10，则向量在向量方向上的投影为=-【思路点拨】运用向量共
29、线的坐标表示，求得m=-3，再由数量积公式求得向量，的数量积，及向量的模，再由向量在向量 方向上的投影为，代入数据即可得到【名校精品解析系列】数学文卷2015届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性测试（201501）word版】16已知中，且，则的取值范围是。【知识点】向量的数量积 F3【答案】【解析】解析：因为，所以，即可得，因为可得，设，所以有，因为 ，可得，所以，故答案为.【思路点拨】根据题意可得，由平方可得，可得，根据角B的范围求得，而即可求得.【名校精品解析系列】数学文卷2015届四川省石室中学高三一诊模拟（201412）word版】3.已知均为单位向量，且它们的夹角为，那么（）A.1 B. C. D.【知识点】向量的数量积F3【答案】【解析】 A 解析：因为，所以选A.【思路点拨】一般遇到求向量的模时，通常利用向量模的性质：向量的平方等于其模的平方进行解答.F4 单元综合