1、一元二次不等式及其解法考试要求1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式1一元二次不等式把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式 ，称为一元二次不等式，其一般形式为ax2bxc0或ax2bxc0(a0)2一元二次不等式的解法步骤(1)将不等式化为右边为零，左边为二次项系数大于零的不等式ax2bxc0(a0)或ax2bxc0(a0)(2)求出相应的一元二次方程的根(3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集提醒：二次项系数为正的一元二次不等式的解集求法：“大于取两边，
2、小于取中间”3一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式b24ac000)的图象一元二次方程ax2bxc0 (a0)的根有两相异实根x1，x2(x10 (a0)的解集x|xx2x|xx1Rax2bxc0)的解集x|x1x0的解集是，则不等式x2bxa0的解集是()Ax|2x0的解集是，ax2bx10的解是x1和x2，且a0，解得则不等式x2bxa0即为x25x60，解得x2或x3.2不等式0x2x24的解集是()Ax|2x1Bx|2x3Cx|2x3Dx|2x1或2x3D原不等式等价于2x1或2x3，故选D.3(2020天津南开中学月考改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且
3、当x0时，f(x)x23x，则方程f(x)x3的根是x_，不等式f(x1)x4的解集是_3(4，)由当x0时，f(x)x23x，f(x)是定义在R上的奇函数，得当x0时，f(x)x23x，所以当x0时，方程f(x)x3即x23xx3，无解；当x0时，方程f(x)x3即x23xx3，解得x3或x1(舍去)则方程f(x)x3的根是x3.当x10时，由f(x1)x4，得(x1)23(x1)x4，得x4；当x10时，由f(x1)x4，得(x1)23(x1)x4，无解所以不等式f(x1)x4的解集为(4，) 考点二含参数的一元二次不等式 解含参不等式的分类讨论依据典例1解关于x的不等式(1)x2ax10
4、(aR)；(2)ax2(a1)x10.解(1)a24.当a240，即2a2时，原不等式无解当a240，即a2或a2时，方程x2ax10的两根为x1，x2，则原不等式的解集为.综上所述，当2a2时，原不等式无解当a2或a2时，原不等式的解集为.(2)若a0，原不等式等价于x10，解得x1.若a0，原不等式等价于(x1)0，解得x或x1.若a0，原不等式等价于(x1)0.当a1时，1，(x1)0无解；当a1时，1，解(x1)0，得x1；当0a1时，1，解(x1)0，得1x.综上所述，当a0时，解集为；当a0时，解集为x|x1；当0a1时，解集为；当a1时，解集为；当a1时，解集为.点评：(1)当判
5、别式能写成一个式子的平方的形式时，可先求方程的两根，再讨论两根的大小，从而写出解集(2)三个方面讨论：二次项系数的讨论，根有无的讨论，根大小的讨论(3)含参数分类讨论问题最后要写综述解关于x的不等式12x2axa2(aR)解原不等式可化为12x2axa20，即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0，解得x1，x2.当a0时，不等式的解集为；当a0时，不等式的解集为(，0)(0，)；当a0时，不等式的解集为. 考点三一元二次不等式恒成立问题 一元二次不等式恒成立问题的解法(1)函数法(图象法)设f(x)ax2bxc(a0)f(x)0在xR上恒成立a0且0；f(x)0在xR上恒成立a0且
6、0；当a0时，f(x)0在x，上恒成立或或f(x)0在x，上恒成立当a0时，f(x)0在x，上恒成立f(x)0在x，上恒成立或或(2)最值法(分离参数法)对于含参数的不等式恒成立问题，常通过分离参数，把求参数的范围问题转化为求函数的最值问题af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min.在R上的恒成立问题典例21若不等式(a2)x22(a2)x40对一切xR恒成立，则实数a的取值范围是()A(，2B2,2C(2,2D(，2)C当a20，即a2时，不等式为40，对一切xR恒成立当a2时，则即解得2a2.所以实数a的取值范围是(2,2点评：本题在求解中常因忽略“a20”的情形致
7、误，只要二次项系数含参数，必须讨论二次项系数为零的情况在给定区间上的恒成立问题典例22(1)若对任意的x1,2，都有x22xa0(a为常数)，则a的取值范围是()A(，3B(，0C1，)D(，1(2)已知函数f(x)x22ax1对任意x(0,2恒有f(x)0成立，则实数a的取值范围是()AB1,1C(，1D(1)A(2)C(1)法一(函数法)：令f(x)x22xa，则由题意，得解得a3，故选A.法二(最值法)：当x1,2时，不等式x22xa0恒成立等价于ax22x恒成立，则由题意，得a(x22x)min(x1,2)而x22x(x1)21，则当x1时，(x22x)min3，所以a3，故选A.(2
8、)f(x)x22ax1对任意x(0,2恒有f(x)0成立，即2ax在x(0,2上恒成立因为x2，当且仅当x1时取最小值2，所以2a2，即a1.故选C.母题变迁若将本例(1)改为“若存在x1,2，使得x22xa0(a为常数)，试求a的取值范围”解由题意知ax22x在x1,2时有解则a(x22x)max，x1,2，又x22x(x1)211，x1,2，a1，即a的取值范围是(，1点评：本例T(2)若用函数法求解有三种情况，较复杂1若不等式2kx2kx0对一切实数x都成立，则k的取值范围为()A(3,0)B3,0)C3,0D(3,0D当k0时，显然成立；当k0时，即一元二次不等式2kx2kx0对一切实数x都成立则解得3k0.综上，满足不等式2kx2kx0对一切实数x都成立的k的取值范围是(3,0故选D.2(2020深圳中学模拟)设函数f(x)ax22x2，对于满足1x0，则实数a的取值范围为_满足1x0恒成立，可知a0，a2，满足1x4的一切x的值恒成立，1,2，实数a的取值范围为.
