1、吉林省吉化第一高级中学校2020届高三数学下学期适应性测试试题 文（含解析）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合，由此求得.【详解】因为，所以.故选：A【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.2. （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】复数的乘法类似于多项式乘多项式，遇到化为.【详解】.故选：A.【点睛】本题考查复数的乘法运算，考查运算求解能力，是基础题.3. 已知，是两个命题
2、，那么“是真命题”是“是假命题”的A. 既不充分也不必要条件B. 充分必要条件C. 充分不必要条件D. 必要不充分条件【答案】C【解析】【分析】由充分必要条件及命题的真假可得：“是真命题”是“是假命题”的充分不必要条件，得解.【详解】解：因为“是真命题”则命题，均为真命题，所以是假命题，由“是假命题”，可得为真命题，但不能推出“是真命题”，即“是真命题”是“是假命题”充分不必要条件，故选：【点睛】本题考查了充分必要条件及命题的真假，属于基础题4. 设函数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用函数的解析式先计算得出的值，进而可得出的值.【详解】，.故选：A.【点睛】本题
3、考查分段函数求值，要根据自变量的取值选择合适的解析式进行计算，考查计算能力，属于基础题.5. 设双曲线C：的渐近线方程为.则双曲线C的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】根据题意，由双曲线的渐近线方程可得，进而由离心率公式变形可得，代入计算可得的值，化简即可的答案【详解】根据题意，双曲线的方程为，其焦点在轴上，其渐近线方程为，则有，则其离心率，即，故选：【点睛】本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的离心率公式，属于基础题6. 某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了核校2016年和2019年的高考情况，
4、得到如图柱状图：则下列结论正确的是（ ）A. 与2016年相比，2019年一本达线人数减少B. 与2016年相比，2019年二本达线人数增加了倍C. 2016年与2019年艺体达线人数相同D. 与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加【答案】D【解析】【分析】设2016年该校参加高考的人数为，则2019年该校参加高考的人数为，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案.【详解】设2016年该校参加高考的人数为，则2019年该校参加高考的人数为.对于选项A：2016年一本达线人数为，2019年一本达线人数为，可见一本达线人数增加了，故选项A错误；对于选项B：2016
5、年二本达线人数为，2019年二本达线人数为，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B错误；对于选项C：2016年和2019年艺体达线率没变，但是人数是不相同，故选项C错误；对于选项D：2016年不上线人数为，2019年不上线人数为.不达线人数有所增加.故选：D【点睛】本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键7. 数列，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意得出，然后利用累加法可求得的值.【详解】且，.故选：B.【点睛】本题考查利用累加法求数列中的项，考查计算能力，属于中等题.8. 在
6、中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的面积为（ ）A. B. C. 2D. 【答案】D【解析】【分析】由余弦定理和题设条件，列出方程，求得，在结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】由余弦定理，可得，即，整理得，解得或（舍去），所以面积为.故选：D.【点睛】本题主要考查了余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题9. 已知函数，则函数的大致图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性和特殊值进行排除可得结果【详解】
7、由题意，所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，排除D；又，所以排除B,C故选A【点睛】已知函数的解析式判断图象的大体形状时，可根据函数的奇偶性，判断图象的对称性：如奇函数在对称的区间上单调性一致，偶函数在对称的区间上单调性相反，这是判断图象时常用的方法之一10. 过点作直线与圆交于，两点，若为，中点，则直线的方程为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由点为的中点，等价于，根据垂直关系求得直线的斜率，再根据点斜式，即可求解直线的方程，得到答案.【详解】由题意，圆的圆心为，若点为的中点，等价于，则，所以直线的斜率为1，所以直线的方程为，即，故选D.【点睛】本题主要考查了直线与圆的
8、位置关系的应用，其中解答中熟练应用圆的弦的性质，以及直线的点斜式方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11. 将偶函数的图象向右平移个单位，得到的图象，则的一个单调递增区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据辅助角公式，结合偶函数的性质求出值，再根据余弦函数图象的变换规律求出函数的解析式，最后根据余弦型函数的单调性进行求解即可.【详解】.因为函数是偶函数，所以，因为，所以，所以，因为函数的图象向右平移个单位，得到的图象，所以，当时，函数单调递增，即当时，函数单调递增，当时，函数在时单调递增.故选：A【点睛】本题考查了辅助角公式的应用，考查了偶函数的性
9、质，考查了余弦函数图象的变换规律，考查了余弦型函数单调性，考查了数学运算能力.12. 设，已知函数，对于任意，都有，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，转化为任意，利用导数得到函数的单调性，求得和，由，即可求解.【详解】设函数，由当时，对于任意，都有，即对于任意，由于，那么在上单调递减，而，在上单调递减，所以，则，那么，或，结合，所以，故选C.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求
10、函数的单调区间，判断单调性与，以及函数单调性，求解参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13. 已知平面向量_【答案】【解析】试题分析：由向量平行可知，考点：向量平行14. 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示.为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量为_；抽取的高中生近视人数为_.【答案】 (1). 200 (2). 20【解析】【分析】根据总体容量，由抽样比，即可确定样本容量；进而可确定高中生近
11、视人数.【详解】因为该地区共有学生人，抽样比为，所以样本容量为：；其中高中生抽取人数为：，因为高中生近视率为，所以高中生近视人数为.故答案为：200；20.【点睛】本题主要考查由分层抽样确定样本容量，以及各层抽取的样本数，属于基础题型.15. 已知，若，则_.【答案】3【解析】【分析】由题意利用函数的解析式和函数部分奇函数的特征可得的值.【详解】由题意可得：， 而.故答案为：3.【点睛】本题主要考查函数值的求解，函数部分奇偶性的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16. 九章算术是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著.是算经十书中最重要的一部，其中将有三条棱互相平行且有一个面
12、为梯形的五面体称之为“羡除”，现有一个羡除如图所示，已知上底面是高为2的等腰梯形，右侧面是高为1的等腰梯形，下底面是梯形，前、后侧面均为三角形.，且平面平面，则该“羡除”的表面积为_.【答案】【解析】【分析】分别取的中点，连接，由已知条件可得，从而求出，再在三个等腰梯形中分别求出的长，从而可求出的面积，再求出三个等腰梯形的面积即可得答案.【详解】解：分别取的中点，连接，则由题意可知，分别是等腰梯形，的高，则 ，因为平面平面，所以，所以，因为四边形，均为等腰梯形，所以，所以，梯形的面积为梯形的面积为梯形的面积为所以该“羡除”的表面积为，故答案为：【点睛】此题考查了求几何体的表面积，面面垂直的性质
13、，等腰梯形和等腰三角形面积的求法，属于基础题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17. 已知等比数列中，等差数列中，且（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）等比数列中，有两个参数知道两个条件，可确定可求；（2）求数列的前项和，首项考虑数列的通项公式，然后根据通项公式的特点选择合适的求和方法，对等差数列而言，已知也知道两个条件，所以可求的通项公式，从而可求.试题解析：(1)当时，当时，不满足题意，所以，=.(
14、2)由已知，,.考点：1、等比数列的通项公式；2、等差数列的前项和.18. 2020年5月7日吉林市新增本地新冠肺炎确诊病例1例，随后几天随着疫情形式的严峻，为进一步强化社区封闭措施，城区以居民小区为单位，全面实行封闭管理。为了做好扫码，登记，测温等工作，许多志愿者积极承担了此项任务，现对吉林市丰满区某杜区服务情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查，已知某校19届毕业大学生共960人，其中男生560人，从毕业大学牛中抽取了容量为n的样本，得到一天参加社区服务的时间统计数据如下表：服务时间超过4小时服务时间不超过4小时男208女12m（1）求m，n；（2）将下面表格补充完整，并判断能否有的把握认
15、为该校学生一天参加社区服务时间是否超过4小时与性别有关？服务时间超过4小时服务时间不超过4小时合计男208女12m合计（3）以样本中大学生参加社区服务时间超过4小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校学生中随机调查6名学生，试估计6名学生中一天参加社区服务时间超过4小时的人数.附：【答案】（1），；（2）表格见解析，没有把握；（3）4【解析】【分析】（1）根据分层抽样比例列方程求出的值，再计算的值；（2）根据题意完善列联表，计算，对照临界值表得出结论；（3）计算参加社区服务时间超过1小时的频率，用频率估计概率，计算所求的频数即可【详解】解：（1）由已知，该校有女生400人，故，得（2）作出列联
16、表如下：超过4小时的人数不超过4小时的人数合计男20828女12820合计321648.所以没有的把握认为该校学生一天参加社区服务时间是否超过4小时与性别有关. （3）根据以上数据，学生一天参加社区服务时间超过4小时的概率，故估计这6名学生一天参加社区服务时间超过4小时的人数是（人）.【点睛】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了用频率估计概率的应用问题，属于基础题19. 如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面底面，E为的中点.（1）求证：平面；（2）当时，求点E到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中点，连接、，推导出四边形为平行四边形，可得出，再
17、利用线面平行的判定定理可得出结论；（2）分别取、的中点、，连接、，由平面，可知点到平面的距离与点到平面的距离相等，计算出三棱锥的体积以及的面积，利用等体积法可计算出点到平面的距离.【详解】（1）如下图，取中点F，连接、，在中，、分别为，的中点， ，,四边形为平行四边形，又平面，平面，平面；（2）分别取、的中点、，连接、，为正三角形，为的中点，平面底面，且平面底面，平面，底面，由（1）知平面，则点到平面的距离与点到平面的距离相等， ，由，设点到平面的距离为， 在四边形中，四边形为等腰梯形，为的中点，则且，四边形为平行四边形，又，为等边三角形，则，在中，由余弦定理得，为等边三角形，底面，底面，则，
18、在中，为的中点，则，因此，点到平面的距离为.【点睛】本题考查线面平行的判定，同时也考查了利用等体积法计算点到平面的距离，考查计算能力与推理能力，属于中等题.20. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，椭圆C短轴两顶点和两焦点构成的四边形为正方形，且周长为，经过与坐标轴不垂直的直线l交椭圆于M，N两点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）当点，满足时，求直线l的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）依题意可得且，再根据，求出，即可求出椭圆方程；（2）由（1）知，设直线l的方程为，设，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，设中点为G，得，由，则，即，即可得到方程求出参数的值，即可求出直线方
19、程；【详解】解：（1）设，由椭圆C的短轴顶点和焦点构成的四边形为正方形，得椭圆中由椭圆定义得正方形周长为，即，得 在椭圆中，解得 椭圆C的标准方程为. （2）由（1）知，设直线l的方程为设，联立，得 所以设中点为G，得，由点，满足，可知， 即，得，解得或，所以直线l的方程为或【点睛】本题考查待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用，考查转化思想，方程思想，属于中档题.21. 已知函数.（1）求在区间上的极值；（2）求在上的最大值.【答案】（1）取极小值为，极大值为；（2）当时，的最大值为；当时，的最大值为2.【解析】【分析】（1）当时，对其求导，用导数的方法研究单调性，即可得出极值；（2）先
20、由（1）求出在上的最大值；当时，对其求导，得到，分别讨论，两种情况，用导数的方法求出的最大值，即可得出结果.【详解】（1）当时，则 ，令，得或；故x，的变化情况如下表，x0负0正0负递减极小值递增极大值递减当时函数取极小值；当时函数取极大值；（2）当时，由（1）知在和上单调递减，在上单调递增，在上最大值为2. 当时， ，令，得（*），其判别式， （i）当时，在上恒成立，从而在上单调递增， （ii）当时， ，记（*）式两根分别为，若，则，进而知在上单调递增，此时 （iii）当时， 此时由得， 综上，当时，在区间上的最大值为；当时，在区间上的最大值为2.【点睛】本题主要考查导数的方法求函数的极值，
21、以及函数的最值，灵活运用分类讨论的方法求解即可，属于常考题型.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分22. 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1参数方程为(t为参数)，曲线C2的直角坐标方程为.以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为，.（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）设A，B分别为射线l与曲线C1，C2除原点之外的交点，求的最大值【答案】（1）C1：；C2：；（2）2【解析】【分析】（1）结合参数方程、直角坐标方程和极坐标方程间的关系，求出曲线C1，C2的极坐标方程即可；（2）将射线
22、l的极坐标方程分别与曲线C1，C2的极坐标方程联立，可求得A，B的极坐标，进而可求得的表达式，求最大值即可.【详解】（1）由曲线C1的参数方程(t为参数)，消去参数t得，即，所以曲线C1的极坐标方程为.由曲线C2的直角坐标方程，得，所以曲线C2的极坐标方程为.（2）联立，得，所以，联立，得，所以，所以，因为，所以当时，有最大值，最大值为2.【点睛】本题考查极坐标方程、直角坐标方程和参数方程间的转化，利用极坐标求线段长度是解决本题的关键，考查学生的推理论断能力与计算求解能力，属于基础题.23. 已知函数和的图象关于原点对称，且（1）解关于的不等式；（2）如果对，不等式恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用零点分段法解含绝对值不等式即可；（2）对，不等式恒成立，即，求的最小值即可.【详解】（1）由题意可得，所以.时，解得，所以；时，解得，所以；综上：.（2）因为，即.令，所以.即.【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立问题，考查转化能力与计算能力，属于中档题.
