1、6简单几何体的再认识6.1柱、锥、台的侧面展开与面积 (15分钟30分)1.已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84,则该圆台较小底面的半径为()A.7B.6C.5D.3【解析】选A.设圆台较小底面的半径为r,则另一底面的半径为3r.由S侧=3(r+3r)=84,解得r=7.2.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是()A.4B.3C.2D.【解析】选C.底面圆半径为1,高为1,侧面积S=2rh=211=2.3.若一个圆柱的轴截面是面积为S的正方形,则该圆柱的表面积为_.【解析】设圆柱的底面半径为r,母线长为l,因为l=2
2、r,所以S=2rl=4r2.所以r2=.所以S表=2r2+2rl=6r2=S.答案:S4.若五棱台ABCDE-A1B1C1D1E1的表面积是30,侧面积是25,则两底面面积的和为_.【解析】S表=S侧+S两底,则S两底=S表-S侧=30-25=5.答案:55.圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为120,探究圆锥的表面积和底面积的关系.【解析】设圆锥底面半径为r,母线长为R.由圆锥底面周长为2r=2R,解得R=3r,所以圆锥的表面积S表=r2+rR=4r2,圆锥的底面积S底=r2,所以圆锥的表面积是底面积的4倍. (30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.若圆锥的底面直径为6,高是4,则
3、它的侧面积为()A.12B.24C.15D.30【解析】选C.由已知得圆锥的母线长为=5,于是侧面积S=35 =15.2.水平放置的ABC,用斜二测画法作出的直观图是如图所示的ABC,其中OA=OB=1,OC=,则ABC绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为()A.2B.4C.2+D.(4+3) 【解析】选B.根据“斜二测画法”可得AO=BO=1,OC=,所以AC=BC=2,如图所示,所以ABC是边长为2的等边三角形.ABC绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体,它的表面积为S=2rl=22=4.3.若圆台的高为3,一个底面半径是另一个底面半径的2倍,其轴截面的一个
4、底角为45,则这个圆台的侧面积是()A.27B.27C.9D.36【解析】选B.设圆台上底半径为r1,下底半径为r2,母线长为l,如图所示,2r2=2r1+6=4r1,所以r1=3,r2=6.S圆台侧=(r1+r2)l=(6+3)3=27.【补偿训练】九章算术中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”,已知某“堑堵”的底面是斜边为2 的等腰三角形,高为2,则该“堑堵”的表面积为()A.4B.6+4C.4+4D.2【解析】选B.由已知可得,该几何体的底面面积为21=1,底面周长为2+2=2+2,所以棱柱的表面积S=21+2(2+2)=6+4.4.正六棱柱的底面边长为2,最长的一条对角线长为2
5、,则它的表面积为()A.4(3+4)B.12(+2)C.12(2+1)D.3(+8)【解析】选B.正六棱柱的底面边长为2,最长的一条对角线长为2,则高BB1=2,它的表面积为S表面积=2S底面积+6S矩形=2622sin+622= 12+24=12(+2).二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.圆台的上、下底面半径分别是10和20,它的侧面展开图扇环的圆心角为180,则圆台的()A.母线长是20B.表面积是1 100C.高是10D.轴截面为等腰梯形【解析】选ABD.如图所示,设圆台的上底面周长为C,因为扇环的圆心角为180,所以C=SA,又C
6、=102,所以SA=20,同理SB=40,故圆台的母线AB=SB-SA=20,高h=10,表面积S=(10+20)20+100+400=1 100.6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,三棱锥D1-AB1C的表面积与正方体的表面积的比不可能是()A.11B.1C.1D.12【解析】选ABD.由题意可知三棱锥D1-AB1C的各面均是正三角形.其边长为正方体侧面对角线.设正方体的棱长为a,则面对角线长为a,S锥=4(a)2=2 a2,S正方体=6a2,故S锥S正方体=1.【光速解题】掌握从正方体中截出正四面体,进而掌握正四面体的棱长和正方体棱长的关系.三、填空题(每小题5分,共10分)7.已知
7、正四棱台两底面边长分别为4 cm,8 cm,侧棱长为8 cm,则它的侧面积为_ cm2.【解析】作出正四棱台的一个侧面如图,设E,F分别为AD,BC的中点,过D作DGBC于点G.由题知AD=4 cm,BC=8 cm,CD=8 cm,得DE=2 cm,FC=4 cm,解得GC=2 cm,在RtDGC中,DG=2(cm),即斜高为2 cm,所以所求侧面积为(16+32)2=48(cm2).答案:48【补偿训练】母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于,则该圆锥的底面圆的半径为_.【解析】设该圆锥的底面圆的半径为r,高为h.因为母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于,所以侧面展开图的弧长为5=8.
8、又弧长=底面周长,即8=2r,所以r=4.答案:48.已知正四棱锥底面正方形的边长为4 cm,高与斜高夹角为30,其侧面积为_cm2,全面积为_cm2. 【解析】如图所示,正四棱锥的高PO,斜高PE,底面边心距OE组成RtPOE.因为OE=2 cm,OPE=30,所以斜高h=PE=4(cm).所以S正四棱锥侧=ch=444=32(cm2),S正四棱锥全=42+32=48(cm2).答案:3248四、解答题(每小题10分,共20分)9.等腰直角三角形直角边长为1,现将该三角形绕其某一边所在直线旋转一周,求所形成的几何体的表面积.【思路导引】将平面图形绕直线进行旋转时,一定要把握住哪条直线是旋转轴
9、.【解析】若绕一条直角边旋转一周时,则圆锥的底面半径为1,高为1,所以母线长l=,这时表面积为21l+12=(1+);若绕斜边旋转一周时,旋转体则为两个倒立圆锥对底组合在一起,且由题意知底面半径为,一个圆锥的母线长为1,所以表面积S=221=,综上所述该几何体的表面积为(1+)或.【补偿训练】某广场设置了一些石凳供大家休息,这些石凳是由正方体截去八个一样大的四面体得到的(如图),则该几何体共有_个面;如果被截正方体的棱长是50 cm,那么石凳的表面积是_cm2.【解析】由题意知,截去的八个四面体是全等的正三棱锥,几何体有8个底面三角形,再加上6个小正方形,所以该几何体共有14个面;如果被截正方体的棱长是50 cm,那么石凳的表面积是S表面积=82525sin 60+62525=(7 500+2 500)(cm2).答案:147 500+2 50010.圆锥的高和底面半径相等,它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等,求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比.【解析】如图所示,设圆柱和圆锥的底面半径分别为r,R,圆锥母线长为l,则=,即=.所以R=2r,l=R.所以=-1.
