1、北京市昌平区第二中学2020-2021学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 已知全集，集合，集合，则集合（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】,则,故选B.考点：本题主要考查集合的交集与补集运算.2. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由奇偶性的定义和单调性根据解析式直接判断即可.【详解】对于A，在R上单调递减，故A错误；对于B，的定义域为R，关于原点对称，且，故是奇函数，又在R上单调递增，故B正确；对于C，的
2、定义域为，可知在分别单调递增，但在定义域不单调，故C错误；对于D，不是奇函数，故D错误.故选：B.3. 下列各式正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由指数的运算法则可判断AB；由换底公式可判断C；由对数的加法运算法则可判断D.【详解】对于A，故A错误；对于B，故B错误；对于C，故C错误；对于D，故D正确.故选：D.4. 若，则a，b，c的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接求出的值，即可得答案；【详解】，故选：C.5. 函数的反函数的图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求得函数的反函数，根据对数函数的图象，
3、结合选项，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，即，即函数的反函数，结合对数函数的图象，结合选项，可得A项符合.故选：A.6. 函数的单调递增区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】去掉绝对值符号得，再根据对数函数的单调性即可判断.【详解】，的单调递增区间是.故选：B.7. 设，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先求出两个不等式的解集，根据集合包含关系即可判断.【详解】由可解得，由可解得或，或，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一
4、般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）若是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）若是的既不充分又不必要条件，则对应的集合与对应集合互不包含8. 已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且有如下对应值表，那么函数一定存在零点的区间是（ ）x1235.12.6A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】找到区间端点的函数值异号，即可得答案；【详解】定义在上函数的图象是连续不断的，且，函数在区间一定存在零点，故选：D.9. 已知函数，则（ ）A. 是奇函数，且在R上是增函数B. 是
5、偶函数，且在R上是增函数C. 是奇函数，且在R上是减函数D. 是偶函数，且在R上是减函数【答案】A【解析】【分析】利用函数的奇偶性定义排除BD，用特殊点验证单调性可排除C.【详解】函数的定义域为，所以为奇函数，排除BD；因为，排除C，故选：A.10. 定义运算：，则函数的图像是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求解析式，再判断即可【详解】由题意故选：A【点睛】本题考查函数图像的识别，考查指数函数性质，是基础题二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分请把答案填在答题纸的相应位置）11. 设命题p：，则_【答案】，【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可求
6、出.【详解】根据特称命题的否定是全称命题，可知为：，.故答案为：，.12. 已知，是一元二次方程的两实数根，则_【答案】3【解析】【分析】由根与系数的关系得到，然后由求解.【详解】因为，是一元二次方程的两实数根，所以，所以.故答案为：313. 不等式的解集为_.【答案】【解析】分析】等价于且，然后解出即可.【详解】因为，所以且所以故答案为：【点睛】本题考查的是分式不等式的解法，较简单.14. 若不等式（）恒成立，则实数m的取值范围是_【答案】【解析】【分析】转化条件为在上恒成立，求得在上的最小值即可得解.【详解】由题意，不等式即在上恒成立，因为在上的最小值为，所以.故答案为：.15. 设为定义
7、在R上的奇函数，当时，（a为常数），则_；当时，_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据为定义在R上的奇函数，求得a，再由求得时的解析式.【详解】因为为定义在R上的奇函数，且当时，所以，解得，当时，当时，所以，故答案为：-1，16. 已知，若满足，和至少有一个成立，则m的取值范围是_【答案】【解析】【分析】先判断函数的取值范围，然后根据和至少有一个成立则可求得的取值范围.【详解】解：，当时，又，或，在时恒成立，即在时恒成立，则二次函数图象开口只能向下，且与轴交点都在的左侧，即，解得，实数的取值范围是：故答案为：【点睛】利用指数函数和二次函数的图象和性质，根据条件确定在时恒成立是解决
8、本题的关键，综合性较强，难度较大三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知函数的定义域为集合A，集合（）求A（）若，求；（）若，求实数a的取值范围（直接写出结论）【答案】（）；（）或；（）【解析】【分析】（）由根式函数和对数函数的定义域，由求解.（）由，得到，再利用集合的补集和交集运算求解.（）由，利用A是B的子集求解.【详解】（），解得，所以，所以.（）若，因为，所以或，所以或.（）因为，且，所以A是B的子集，所以实数a的取值范围是.18. 已知函数，其中a为常数（）若函数是偶函数，求a的值；（）解关于x的不等式【答案】（）；（）分类讨论，答案见解
9、析【解析】【分析】（）根据函数是偶函数，由函数的图象关于y轴对称求解.（）将不等式，转化为，再分，三种情况讨论求解.【详解】（）因为函数是偶函数，所以函数的图象关于y轴对称即，解得.（），因为，所以，令得或，当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为或.【点睛】方法点睛：含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论：（1）若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；（2）若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；（3）其次对相应方程的根进行讨论，比较大
10、小，以便写出解集19. 某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为（1）写出自变量x的取值范围；（2）为使每吨平均处理成本最低（如处理400吨垃圾时每吨垃圾平均处理成本为），该厂每月处理量垃圾应为多少吨？【答案】（）；（）400吨【解析】【分析】（1）根据已知可得答案；（2）根据已知可得每吨平均处理成本，然后利用基本不等式可得答案.【详解】（1）（2）依题意，每吨平均处理成本元，因为，当且仅当即时，等号成立所以，所以该厂每月处理量垃圾为400吨时，每吨平均处理成本最低为1
11、00元.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.20. 已知函数（1）若在区间上是增函数，求实数a的取值范围；（2）求函数在区间上的最小值【答案】（1）；（2）分类讨论，答案见解析【解析】【分析】（1）根据对称轴与区间的位置关系，即可得答案；（2）对称轴与区间分三
12、种位置关系进行讨论，即可得答案；【详解】解：（1）函数的对称轴方程为，因为函数区间上是增函数，所以所以；（2）当即时，函数区间上是增函数，所以；当即时，函数区间上是减函数，所以；当即时，函数区间上是减函数，在上时增函数所以，综上所述：当时，当时，；当时，；【点睛】二次函数轴变区间定的问题，若是求最小值，一般是考虑对称轴在区间的三种位置关系即可.21. 已知函数，其中、为常数，且，（1）求、的值；（2）利用单调性的定义证明函数在区间上是减函数；（3）求函数在区间上的最大值和最小值【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）最大值，最小值【解析】【分析】（1）由，可建立有关、的方程组，即可解出这两个
13、未知数的值；（2）任取、且，作差，因式分解并判断的符号，由此可证得结论成立；（3）利用定义证明出函数在区间上为增函数，再结合（2）中的结论可得出函数在区间上的最大值和最小值.【详解】（1），所以，解得：，；（2），任取、且，即，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以函数在区间上是减函数；（3）设，由（2）知：，因为，所以，所以，所以，所以，所以函数在区间上是增函数，由（2）知：在区间上是增函数，所以，因为，所以.【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法：（1）取值：设、是所给区间上的任意两个值，且；（2）作差变形：即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；
14、（3）定号：确定差的符号；（4）下结论：判断，根据定义得出结论.即取值作差变形定号下结论.22. 已知函数（）求的值；（）画出函数的图象，根据图象写出函数的单调区间；（）若，求x的取值范围【答案】（）2；（）图象见解析，单调递增区间为；（）【解析】【分析】（）依次求出，即可（）根据函数解析式即可画出图象，根据图象即可得出单调区间；（）分段讨论可解出不等式【详解】解：（），所以，所以；（）函数图象如下：由图可知，的单调递增区间为，无单调递减区间；（）当时，所以，所以，解得，所以；当时，所以，所以显然成立，所以符合题意；当时，所以，所以显然成立，所以符合题意，综上所述：x的取值范围为.【点睛】关键点睛：本题考查函数不等式求解，解题的关键是分段讨论的取值范围，根据不同范围函数的解析式求解.
