1、第2课时等比数列的性质学 习 任 务核 心 素 养1理解等比中项的概念(易错点)2掌握等比数列的性质及其应用(重点)3熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用(难点、易错点)1通过等比数列性质的学习，培养逻辑推理的素养2通过等比数列与等差数列的综合应用的学习，提升数学运算素养在等差数列an中，通项公式可推广为anam(nm)d，并且若mnpq，则amanapaq(n，m，p，qN)，特别地，若mn2p，则aman2ap问题：在等比数列中有无类似的性质？提示略知识点1等比中项定义如果x，G，y是等比数列，那么称G为x与y的等比中项关系式G2xy结论在等比数列中，中间每一项都是它的前一项与后一项的等比
2、中项G是x与y的等比中项的充要条件为G2xy吗？提示不是若G是x与y的等比中项，则G2xy，反之不成立拓展：(1)在等比数列an中，任取相邻的三项an1，an，an1，则an是an1与an1的等比中项由此可得等比数列的另一种判定方法等比中项法，即判断(n2)是否成立(2)“a，G，b是等比数列”与“G2ab”是不等价的前者可以推出后者，但后者不能推出前者如Ga0，b1，满足G2ab，而0，0，1不是等比数列因此“a，G，b是等比数列”是“G2ab”的充分不必要条件(3)等差中项与等比中项的区别：任意两数都存在等差中项，但并不是任意两数都存在等比中项，当且仅当两数同号且均不为0时才存在等比中项；
3、任意两数的等差中项是唯一的，而若两数有等比中项，则等比中项有两个，且互为相反数1已知a是1，2的等差中项，b是1，16的等比中项，则ab()A6B6C6D12C依题意知2a12，b2(1)(16)，解得a，b4，ab6知识点2等比数列的性质在等比数列an中，若stpq(s，t，p，qN)，则asatapaq(1)特别地，当2spq(s，p，qN)时，apaqa(2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1ana2an1akank1拓展：(1)“子数列”性质对于无穷等比数列an，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为ak1，公比为q；若取出所有的k的倍数项，
4、组成的数列仍为等比数列，首项为ak，公比为qk(2)两个等比数列合成数列的性质若数列an，bn均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列can，anbn，也为等比数列2在等比数列an中，已知a7a125，则a8a9a10a11_25an是等比数列，a8a11a9a10a7a12，a8a9a10a11(a9a10)2(a7a12)25225 类型1等比中项的应用【例1】(1)如果1，a，b，c，9成等比数列，那么()Ab3，ac9Bb3，ac9Cb3，ac9Db3，ac9(2)在等差数列an中，公差d0，且a1，a3，a9成等比数列，则_(1)B(2)(1)因为b2(1)(9)9，a21bb0，所
5、以b0，所以b3，且a，c必同号所以acb29(2)由题意知a3是a1和a9的等比中项，aa1a9，(a12d)2a1(a18d)，得a1d，由等比中项的定义可知：G2abG.这表明只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数.反之，若G2ab，则，即a，G，b成等比数列.所以a，G，b成等比数列G2ab(ab0).跟进训练1(对接教材P34练习AT3)等比数列an中，a44，则a2a6等于()A4B8C16D32Can是等比数列，a2a6a16 类型2等比数列性质的应用【例2】(1)已知数列an为等比数列若an0，且a2a42a3a5a4a636，则a3a5_(2)
6、在2和8之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则中间三个数的积等于_(1)6(2)64(1)a2a42a3a5a4a636，a2a3a5a36，(a3a5)236，又an0，a3a56(2)设a12，a58，a34，a2a3a4aa3a4364在等比数列的有关运算中，常常涉及到次数较高的指数运算.若按常规解法，往往是建立a1，q的方程组，这样解起来很麻烦.通过本例可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换，会起到化繁为简的效果.跟进训练2在等比数列an中，已知a4a72，a5a68，求a1a10解因为数列an为等比数列，所以a5a6a4a78联立可解得或当时，q3，故a1a10a7q37；当时，
7、q32，同理，有a1a107即a1a10的值为7 类型3等比数列的设法与求解1类比等差数列中相邻三项的设法，想一想：等比数列中的相邻三项如何设运算更方便？提示可设为，a，aq或a，aq，aq2(q0)2如果四个数成等比数列，如何设更方便运算？提示可设为，a，aq，aq2或，aq，aq3(q0)【例3】(对接教材P33例7)有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数解法一：设四个数依次为ad，a，ad，由条件得解得或所以，当a4，d4时，所求四个数为0，4，8，16；当a9，d6时，所求四个数为15，9，3，1
8、故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1法二：设四个数依次为a，a，aq(a0)，由条件得解得或当a8，q2时，所求四个数为0，4，8，16；当a3，q时，所求四个数为15，9，3，1故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1合理地设出所求数中的三个数，根据题意再表示出另一个数是解决这类问题的关键，一般地，三个数成等比数列，可设为，a，aq；三个数成等差数列，可设为ad，a，ad.跟进训练3三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数解设三个数依次为，a，aq，aaq512，a8(aq2)2a，2q25q20，q2或q，这三个数
9、为4，8，16或16，8，41等比数列an中，a1，q2，则a4与a8的等比中项为()A4B4CDAa4a1q3231，a8a1q72716，a4与a8的等比中项为42对任意等比数列an，下列说法一定正确的是()Aa1，a3，a9成等比数列Ba2，a3，a6成等比数列Ca2，a4，a8成等比数列Da3，a6，a9成等比数列D因为aa3a9，所以a3，a6，a9成等比数列3在等比数列an中，a1a9a(a0)，a11a19b，则a91a99等于()A B C DA记a1a9b1，a11a19b2，则a91a99b10，易知数列bn为等比数列，且b1a，公比q，所以b10b1q9a4在等比数列an
10、中，各项都是正数，a6a10a3a541，a4a84，则a4a8_7a6a10a，a3a5a，aa41又a4a84，(a4a8)2aa2a4a841849数列an各项都是正数，a4a875在递增等比数列an中，a1a964，a3a720，则a11_64在等比数列an中，a1a9a3a7，由已知可得a3a764且a3a720联立得或an是递增等比数列，a7a3取a34，a716，164q4，q44a11a7q416464回顾本节知识，自我完成以下问题：1等比数列的常用性质有哪些？提示(1)如果mnkl，则有amanakal；(2)如果mn2k，amana；(3)若m，n，p成等差数列，am，an，ap成等比数列；(4)在等比数列an中，每隔k项(kN)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列；(5)如果an，bn均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列，anbn，|an|仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，|q1|；(6)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1ana2an1a3an22如何根据等比中项和等比数列的性质巧设等比数列中的项？提示当三个数成等比数列且知这三个数的积时，一般将这三个数设为，a，aq；当有五个数成等比数列时，常设为，a，aq，aq2
