数学专题-1 解答题2003.11.22.doc

1、解答题集锦（一） 陕西特级教师 安振平l 三角题 1.已知，试用k表示sincos的值讲解： k= 2sincos, (sincos)212sincos1k.又，于是sincos0，故 sincos 说明：本题可以变形为： 已知=，求的值(答案:)1. 已知函数. （1）将的整式；（2）若的图象在内至少有一个公共点，试求a的取值范围.讲解： (1) 请注意下面三角变换的方向性. = （2）, 当且仅当时，等号成立.故当内至少有一个公共点.说明：为了求出a的取值范围，我们采用了解出a，也就是分离变量的方法2. 已知函数的图象在y轴右侧的第一个最高点（函数取最大值的点）为，在原点右侧与 x轴的第一

2、个交点为.（1） 求函数y的解析式； (2)求函数y在区间上的对称轴方程.讲解： （1）根据题意，可知A=2，且，所以T=2,于是. 将点代入，得，即,所以满足的为最小正数解，即,故所求的函数解析式为.（2）由，得.令，解得 .由于kZ，所以k=5故在区间的对称轴方程为.说明：在应用三角函数的性质中，确定三角函数的解析式，此题值得重视3. 已知函数（、为正常数）最小正周期为，当时，取最小值-4. （1）求、的值；(2) 若在区间上存在的对称中心，求的最小值.讲解： 这是型问题（1）易得：, .令，得.（2）由题意得 .说明：解题需要进行一系列有效的连续变形，请思考：如何变？为什么这么变？还有其

3、它变法吗？4. 在ABC中，已知.（1）若任意交换的位置，的值是否会发生变化?试证明你的结论；（2）求的最大值.讲解：（1）对已知关系式实施三角恒等变形，得 ， 任意交换的位置，的值不会发生变化（2） 将看作是关于的二次函数（主元观点）. 当，且取到最大值1时，也即时，取得最大值说明：此题还有更简单的别解，请看： l 复数题5. 已知：A、B是ABC的两个内角，其中、为相互垂直的单位矢量若 | | =，试求tanAtanB的值 讲解：从化简变形| |入手|2=()2=()2 = ， =，cos(A-B)=cos(A+B) 4 cosAcosB+4sinAsinB=5cosAcosB5sinAs

4、inB， 9sinAsinB= cosAcosB又A、B是ABC的内角， cosAcosB， tanAtanB=说明：本题将复数、三角、向量溶为一体，综合性较强6. 设 （）若的值；（）若， 求的最小值讲解：（）， （）， 当且仅当，即时取等号， 说明：关于的最值问题是全国高考考过的一个题型，你记得吗？7. 已知复数z1和z2满足在复平面内对应的点分别为A和B，O为坐标原点，求AOB的面积.讲解：这里给出两种解法法设|z2|=r，则. 在， 由余弦定理，得， 解得r=2.即|z2|=2 . 法由.设， 即 由 则说明：复数与三角形综合是高考的一个常考常新的题型l 数列题8. 已知数列的前n项和

5、为Sn，且对任意自然数n，总有Sn=p(an1),（p是常数且p0，p1）. （）求数列的通项公式an；（）数列中，（q是常数），且求p的取值范围.讲解：（1）当时，当时， 即成等比数列，且公比为 （2） 已知，得： 消去q并整理得 解得 故所求p的取值范围为说明：在（1）题的解答中，易忽视的情形.9. 设数列an的前n项和为Sn，若对于任意的nN*，都有Sn=2 an3n . （1）求数列an的首项a1与递推关系式：an+1=f （an）； （2）先阅读下面定理：“若数列an有递推关系，其中A、B为常数，且 A1，B0，则数列是以A为公比的等比数列。”请你在第（1）题 的基础上应用本定理，求

6、数列an的通项公式； （3）求数列an的前n项和Sn .讲解：（1）令n=1,S1=2a13. a1 =3 由 Sn+1=2an+13(n+1), Sn=2an3n,两式相减，得 an+1 =2an+12an3， 则 an+1 =2an+3 （2）按照定理：A=2，B=3，知数列 an+3是公比为2的等比数列，则an+3=（a1+3）2n1=62n1， an =62n13 .（3）说明：模型是旧教材上的一个习题，有着广泛的应用.10. 试确定一个有理数a0，使得满足关系=3+（n=0，1，2，）的数列是单调递增数列（即，n=0，1，2，）讲解：由=3+， =3+=3（3+）+=9，令，即3+9

7、， 得 ，设n=0，得 ，即，故数列是单调递增数列说明：归纳、猜想、证明是解答数列考题的通性通法，值得重视.11. 在平面上有一系列点对每个自然数,点位于函数的图象上以点为圆心的与轴都相切，且与又彼此外切若,且 （1）求证：数列是等差数列； PnPn+1（2）设的面积为，, 求证：讲解：（1）依题意，的半径，与彼此外切， 两边平方，化简得 , 即 , ， ， 数列是等差数列 (2) 由题设， ， 说明：本题综合性极强，是考知识、考能力的好题，请读者多多回味. l 不等式题12. 解关于x的不等式：，（a0且a1）讲解：从化同底入手，易知原不等式等价于 即得 当a1时，不等式解集为； 当0a1时，不等式解集为 说明：本题考查分类讨论的数学思想，请注意两种情况的解集不能合并！13. 试问：是否存在常数c, 使得不等式 对任意正数和恒成立？试证明你的结论. 讲解： 取，得.先证左不等式，去分母有理化 得证.再证右不等式，去分母有理化 综合以上可知，存在常数，使原不等式成立.说明：先从特殊情况入手，探索c的存在性，然后给出证明.当中的变形终点统一于二元均值不等式，可谓数学的奇妙！