1、创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 考纲要求：1.熟练掌握等差、等比数列的前 n 项和公式2掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 1公式法与分组求和法(1)公式法直接利用等差数列、等比数列的前 n 项和公式求和等差数列的前 n 项和公式：Snna1an2.等比数列的前 n 项和公式：Snna1，q1，a1anq1q a11qn1q，q1.na1nn12d创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学(2)分组求和法若一个
2、数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减2倒序相加法与并项求和法(1)倒序相加法如果一个数列an的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前 n 项和可用倒序相加法，如等差数列的前 n 项和公式即是用此法推导的创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学(2)并项求和法在一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如 an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解例如，Sn10029929829722212(1002992)(982972)(2212)(10099)(9897)(21)
3、5 050.创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 3裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和(2)常见的裂项技巧1nn11n 1n1.1nn2121n 1n2.12n12n11212n112n1.1n n1 n1 n.创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 4错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求，如等比数列的前 n 项和公式就是用此法推导的创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 自我查验1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的
4、打“”)(1)如果已知等差数列的通项公式，则在求其前 n 项和时使用公式 Snna1an2较为合理()(2)如果数列an为等比数列，且公比不等于 1，则其前 n 项和Sna1an11q.()创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学(3)求 Sna2a23a3nan 之和时只要把上式等号两边同时乘以 a 即可根据错位相减法求得()(4)如果数列an是周期为 k 的周期数列，那么 SkmmSk(m，k 为大于 1 的正整数)()答案：(1)(2)(3)(4)创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 2若数列an的通项公式为 an2n2n1，则数列an的前 n项和为()A2nn2
5、1 B2n1n21C2n1n22 D2nn2解析：选 C Sna1a2a3an(21211)(22221)(23231)(2n2n1)(2222n)2(123n)n212n12 2nn12n2(2n1)n2nn2n1n22.创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 3数列an的通项公式为 anncosn2，其前 n 项和为 Sn，则 S2 015等于()A1 002 B1 004 C1 006 D1 008解析：选 B 因为数列 anncosn2 呈周期性变化，观察此数列规律如下：a10，a22，a30，a44.故 S4a1a2a3a42.因此 S2 015S2 012a2 013a
6、2 014a2 015(a1a2a3a4)(a2 009a2 010a2 011a2 012)a2 013a2 014a2 0152 01242(2)1 004.创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 4已知数列an的前 n 项和为 Sn 且 ann2n，则 Sn_.解析：ann2n，Sn121222323n2n.2Sn122223(n1)2nn2n1.，得Sn222232nn2n1212n12 n2n12n12n2n1(1n)2n12.Sn(n1)2n12.答案：(n1)2n12创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 5设 an123n，则 Sn 1a1 1a2 1a
7、n_.解析：an123nnn12.1an2nn121n 1n1.Sn2112121313141n 1n121 1n1 2nn1.答案：2nn1创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 典题 1 已知数列an的通项公式是 an23n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，求其前 n 项和 Sn.听前试做 Sn2(133n1)111(1)n(ln 2ln 3)123(1)nnln 3，所以当 n 为偶数时，Sn213n13 n2ln 33nn2ln 31；创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 当 n 为奇数时，Sn213n13(ln 2ln 3)n12 n ln
8、33nn12 ln 3ln 21.综上所述，Sn3nn2ln 31，n为偶数，3nn12 ln 3ln 21，n为奇数.创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 分组转化法求和的常见类型(1)若 anbncn，且bn，cn为等差或等比数列，可采用分组转化法求an的前 n 项和(2)通项公式为 anbn，n为奇数，cn，n为偶数的数列，其中数列bn，cn是等比或等差数列，可采用分组转化法求和创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 在等差数列an中，已知公差 d2，a2 是 a1 与 a4 的等比中项(1)求数列an的通项公式；(2)设 bnann12，记 Tnb1b2b3b
9、4(1)nbn，求 Tn.解：(1)由题意知(a1d)2a1(a13d)，即(a12)2a1(a16)，解得 a12.所以数列an的通项公式为 an2n.创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学(2)由题意知 bnann12n(n1)所以 Tn122334(1)nn(n1)因为 bn1bn2(n1)，可得当 n 为偶数时，Tn(b1b2)(b3b4)(bn1bn)48122nn242n2nn22，当 n 为奇数时，TnTn1(bn)n1n12n(n1)n122.所以 Tnn122，n为奇数，nn22，n为偶数.创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 典题 2(2015天津
10、高考)已知an是各项均为正数的等比数列，bn是等差数列，且 a1b11，b2b32a3，a53b27.(1)求an和bn的通项公式；(2)设 cnanbn，nN*，求数列cn的前 n 项和创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 听前试做(1)设数列an的公比为 q，数列bn的公差为 d，由题意知 q0.由已知，有2q23d2，q43d10，消去 d，整理得 q42q280，解得 q24.又因为 q0，所以 q2，所以 d2.所以数列an的通项公式为 an2n1，nN*；数列bn的通项公式为 bn2n1，nN*.创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学(2)由(1)有 cn
11、(2n1)2n1，设cn的前 n 项和为 Sn，则 Sn120321522(2n3)2n 2(2n1)2n1，2Sn 121 322 523 (2n 3)2n 1 (2n 1)2n，上述两式相减，得Sn122232n(2n1)2n2n13(2n1)2n(2n3)2n3，所以，Sn(2n3)2n3，nN*.创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 探究 1 若 cnbnan，如何求解？解：an2n1，nN*，bn2n1，nN*.cn2n12n1.设数列cn的前 n 项和为 Sn，则Snc1c2c3cn 120 321 5222n12n112Sn 121 3222n32n1 2n12n创
12、 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 上述两式相减，得12Sn12121 122 12n1 2n12n121 12n1 2n12n 3 12n22n12n 32n32n.Sn62n32n1，nN*.创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 探究 2 若 cnanbn，如何求解？解：设数列cn的前 n 项和为 Sn，则Sn(a1a2an)(b1b2bn)(12222n1)135(2n1)12n12 n12n122n1n2，即 Sn2nn21，nN*.创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 利用错位相减法求和的两点注意(1)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特
13、别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式(2)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解同时要注意等比数列的项数是多少创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 裂项相消法求和是历年高考的重点，命题角度凸显灵活多变，在解题中要善于利用裂项相消的基本思想，变换数列an的通项公式，达到求解目的常见的命题角度有：角度一：an1nknp型典题 3(2015新课标全国卷)Sn 为数列an的前 n 项和已知an0，a2n2an4Sn3.(1)求an的通项公式；(2)设 bn1anan1，求数列bn的前 n 项和创 新 方 案
14、 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 听前试做(1)由 a2n2an4Sn3，可知 a2n12an14Sn13.，得 a2n1a2n2(an1an)4an1，即 2(an1an)a2n1a2n(an1an)(an1an)由 an0，得 an1an2.又 a212a14a13，解得 a11(舍去)或 a13.所以an是首项为 3，公差为 2 的等差数列，通项公式为 an2n1，nN*.创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学(2)由 an2n1 可知bn1anan112n12n31212n112n3.设数列bn的前 n 项和为 Tn，则Tnb1b2bn121315 1517 12n11
15、2n3n32n3.创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 角度二：an1n nk型典题 4 已知函数 f(x)xa 的图象过点(4,2)，令 an1fn1fn，nN*.记数列an的前 n 项和为 Sn，则 S2 016()A.2 0151 B.2 0161C.2 0171 D.2 0171创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 听前试做 由 f(4)2 可得 4a2，解得 a12，则 f(x)x12.an1fn1fn1n1 n n1 n，S2 016a1a2a3a2 016(2 1)(3 2)(43)(2 0162 015)(2 0172 016)2 0171.答案：C
16、创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 角度三：ann1n2n22型典题 5 正项数列an的前 n 项和 Sn 满足：S2n(n2n1)Sn(n2n)0.(1)求数列an的通项公式 an；(2)令 bnn1n22a2n，数列bn的前 n 项和为 Tn.证明：对于任意的 nN*，都有 Tn0，Snn2n.于是 a1S12，当 n2 时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.综上，数列an的通项公式为 an2n.创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学(2)证明：由于 an2n，故 bnn1n22a2nn14n2n22 1161n21n22.Tn 1161 132 12
17、2 142 132 1521n121n12 1n21n22 1161 1221n121n22 1161 122 564.创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学(1)利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等(如角度一)(2)将1n1 n转化为 n1 n是解决典题 4的关键(3)典题 5在错位相减后，前后各剩余两项创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 方法技巧非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想：(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 易错防范1在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如 an，an1 的式子应进行合并2在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项，特别是隔项相消