1、第二章函数3函数的单调性第1课时函数的单调性基础过关练题组一函数单调性的概念及其应用1.下列说法中正确的是()A.定义在(a,b)上的函数f(x),若存在x1,x2(a,b),使得x1x2时有f(x1)f(x2),则f(x)在(a,b)上为增函数B.定义在(a,b)上的函数f(x),若有无穷多对x1,x2(a,b),使得x1x2时有f(x1)f(x2),则f(x)在(a,b)上为增函数C.若f(x)在区间A上为增函数,在区间B上也为增函数,则f(x)在AB上为增函数D.若f(x)在区间I上为增函数,且f(x1)f(x2)(x1,x2I),则x10B.(x1-x2)f(x1)-f(x2)0C.若
2、x1x2,则f(a)f(x1)f(x2)03.下列有关函数单调性的说法,不正确的是()A.若f(x)为增函数,g(x)为增函数,则f(x)+g(x)为增函数B.若f(x)为减函数,g(x)为减函数,则f(x)+g(x)为减函数C.若f(x)为增函数,g(x)为减函数,则f(x)+g(x)为增函数D.若f(x)为减函数,g(x)为增函数,则f(x)-g(x)为减函数4.已知函数f(x)在R上是增函数,则下列说法正确的是()A.y=-f(x)在R上是减函数B.y=1f(x)在R上是减函数C.y=f(x)2在R上是增函数D.y=af(x)(a为实数)在R上是增函数5.已知四个函数的图像如图所示,其中
3、在定义域内具有单调性的函数是()题组二函数单调性的判定与证明6.下图中是定义在区间-5,5上的函数y=f(x),则下列关于函数f(x)的说法错误的是()A.函数在区间-5,-3上单调递增B.函数在区间1,4上单调递增C.函数在区间-3,14,5上单调递减D.函数在区间-5,5上不具有单调性7.(2021吉林洮南第一中学高一上期中)下列函数f(x)中,满足对任意x1,x2(0,+),当x1f(x2)的是()A.f(x)=x2B.f(x)=1xC.f(x)=|x|D.f(x)=2x+18.函数y=2x-3的单调递增区间是()A.(-,-3B.32,+C.(-,1)D.-1,+)9.函数y=x(2-
4、x)的递增区间是.10.求函数y=-x2+2|x|+3的单调递增区间.11.(2019河南南阳一中高一上第一次月考)已知函数f(x)=ax+bx的图像经过点A(1,1),B(2,-1).(1)求函数f(x)的解析式;(2)判断函数f(x)在(0,+)上的单调性,并用定义证明.题组三函数单调性的综合应用12.已知函数y=f(x)在区间-5,5上是增函数,那么下列不等式中成立的是()A.f(4)f(-)f(3)B.f()f(4)f(3)C.f(4)f(3)f() D.f(-3)f(-)f(-4)13.(2021河北石家庄正中实验中学高一上第一次月考)若函数f(x)=a2x-1x-1在区间(a,+)
5、上单调递减,则a的取值范围是()A.(1,+) B.1,+)C.(-,-1)(1,+)D.(-,-11,+)14.若函数f(x)=2x2-ax+5在区间1,+)上单调递增,则a的取值范围是()A.(-,2B.2,+)C.4,+)D.(-,415.若f(x)=-x2+2ax与g(x)=ax+1在区间1,2上都是减函数,则a的取值范围是.16.已知函数f(x)=x2+4x,x0,4x-x2,xf(a),求实数a的取值范围.能力提升练一、选择题1.(2020河北石家庄二中高一上月考,)下列四个函数中,在(0,+)上为增函数的是()A.f(x)=3-x B.f(x)=x2-3xC.f(x)=-1x+1
6、 D.f(x)=-|x|2.(2021陕西咸阳高新一中高一上第三次月考,)函数f(x)在区间(-4,7)上是增函数,则使得y=f(x-3)为增函数的区间为()A.(-2,3)B.(-1,7)C.(-1,10)D.(-10,-4)3.(2019山东泰安一中高一上十月检测,)函数f(x)=|x2-6x+8|的单调递增区间为()A.3,+)B.(-,2),(4,+)C.(2,3),(4,+)D.(-,2,3,44.(2021河南洛阳一中高一上第一次月考,)函数f(x)=x2-2x-3的单调递增区间是()A.(-,1B.3,+)C.(-,-1D.1,+)5.(2021江苏南通高一上期中联考,)设aR,
7、已知函数y=f(x)是定义在-4,4上的减函数,且f(a+1)f(2a),则a的取值范围是()A.-4,1)B.(1,4C.(1,2D.-5,26.(2019广东中山纪念中学高一上第一次检测,)若函数f(x)=(3a-1)x+4a,x1,-ax,x1是定义在(-,+)上的减函数,则a的取值范围为()A.18,13B.18,13C.0,13D.-,137.(2020江西九江一中高一上期中,)已知函数f(x)的定义域为R,对任意x1x2,有f(x1)-f(x2)2x的解集为()A.(2,+)B.(1,+)C.(0,+)D.(-1,+)二、填空题8.()若函数y=|2x+c|是区间(-,1上的单调函
8、数,则实数c的取值范围是.9.()函数f(x)=x2,xt,x,0x0)是区间(0,+)上的增函数,则t的取值范围是.三、解答题10.()已知f(x)=xx-a(xa).(1)若a=-2,试证明f(x)在(-,-2)上单调递增;(2)若a0且f(x)在(1,+)内单调递减,求a的取值范围.11.()已知函数f(x)=3-axa-1(a1).(1)若a0,求f(x)的定义域;(2)若f(x)在区间(0,1上是减函数,求实数a的取值范围.12.()若f(x)是定义在(0,+)上的函数,且满足fxy=f(x)-f(y),当x1时,f(x)0.(1)判断并证明函数的单调性;(2)若f(2)=1,解不等
9、式f(x+3)-f1x2.答案全解全析第二章函数3函数的单调性第1课时函数的单调性基础过关练1.D2.C3.C4.A5.B6.C7.B8.B12.D13.A14.D1.D在A中,x1,x2不是任意的,不能推出f(x)在(a,b)上为增函数,A错误;在B中,无穷多对不能代表“任意”,B错误;在C中,例如f(x)=-1x在区间(-,0)上为增函数,在区间(0,+)上也为增函数,但f(x)在(-,0)(0,+)上不是增函数,C错误;在D中,若f(x)在区间I上为增函数,则当x1,x2I时,x1x2f(x1)f(x2),故选D.2.C因为f(x)在a,b上是增函数,所以当x1,x2a,b(x1x2)时
10、,x1x2f(x1)f(x2),即对于任意的x1,x2a,b(x1x2),x1-x2与f(x1)-f(x2)的符号相同,故A、B、D中的结论都正确,而C中应为若x1x2,则f(a)f(x1)f(x2)f(b),故选C.3.C若f(x)为增函数,g(x)为减函数,则f(x)+g(x)的增减性不确定.例如f(x)=x+2为R上的增函数,当g(x)=-12x时, f(x)+g(x)=x2+2在R上为增函数;当g(x)=-3x时, f(x)+g(x)=-2x+2在R上为减函数.故不能确定f(x)+g(x)的单调性.4.A设任意的x1,x2R,且x1x2,因为函数f(x)在R上是增函数,故必有f(x1)
11、-f(x2),A选项一定成立.其余三项不一定成立,如当f(x)=x时,B,C不成立,当a0时,D不成立.故选A.5.B对于A,函数在(-,1)及1,+)上分别单调递增,但存在x1(0,1),使f(x1)f(1),故A不对;对于C,函数在(-,1)及(1,+)上分别单调递增,但存在x11,使f(x1)f(1),故C不对;对于D,函数在(-,0)及(0,+)上分别单调递减,但存在x1=-1,x2=1,使f(x1)f(x2),故D不对;只有B完全符合增函数的定义,在定义域内具有单调性,故选B.6.C由题中函数图像可知, f(x)在-5,-3和1,4两个区间上单调递增,则A、B选项中说法是正确的;又由
12、题图可知,函数在-3,1和4,5两个区间上分别单调递减,但在区间-3,14,5上不具有单调性,所以C选项中说法错误;函数在-5,5上不具有单调性,则D选项中说法正确.故选C.7.B因为对任意x1,x2(0,+),当x1f(x2),所以函数f(x)是减函数.f(x)=x2,f(x)=|x|,f(x)=2x+1在(0,+)上是增函数,f(x)=1x在(0,+)上是减函数.故选B.8.B函数由t=2x-3与y=t复合而成,故利用复合函数单调性的规律来求.首先由2x-30,得x32.又因为t=2x-3在(-,+)上单调递增,y=t在定义域上是增函数,所以y=2x-3的单调递增区间是32,+.故选B.9
13、.答案(-,1解析y=x(2-x)=-x2+2x,其图像开口向下,图像的对称轴是直线x=1,故其递增区间是(-,1.10.解析y=-x2+2|x|+3=-x2+2x+3,x0,-x2-2x+3,x0,作出函数图像如图所示:由图像,知函数y=-x2+2|x|+3的单调递增区间是(-,-1和0,1.11.解析(1)f(x)的图像过点A(1,1),B(2,-1),a+b=1,2a+b2=-1,解得a=-1,b=2,f(x)=-x+2x.(2)函数f(x)在(0,+)上是减函数.证明:任取x1,x2(0,+),且x10,x1x2+20,由x10,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),函数f
14、(x)=-x+2x在(0,+)上是减函数.12.D由函数y=f(x)在区间-5,5上是增函数得, f(4)f()f(3)f(-3)f(-)f(-4),故选D.13.A由题意可得f(x)=a2+a2-1x-1,因为函数f(x)在区间(a,+)上单调递减,所以1a,a2-10,故a1,故选A.14.D依题意得,函数f(x)的图像的对称轴为直线x=a4,且图像开口向上,由函数f(x)=2x2-ax+5在区间1,+)上单调递增,得a41,即a4,故选D.15.答案(0,1解析f(x)=-x2+2ax的图像开口向下,其图像的对称轴为直线x=a,由f(x)在1,2上是减函数,可得a1;由g(x)=ax+1
15、在1,2上是减函数,可得a0,0a1.16.解析当x0时, f(x)=x2+4x,其图像的对称轴为直线x=-2,且图像开口向上,因此f(x)在0,+)上是增函数, f(0)=0;当xf(a)4-aa,解得af(2a),所以a+12a,-42a4,-4a+14,解得1a2,故选C.6.A要使f(x)在R上是减函数,需满足3a-10,-a0,(3a-1)1+4a-a1,解得18a13,故选A.7.A由f(x1)-f(x2)x1-x2,得f(x1)-x1+12x得, f(2x-1)-(2x-1)+12,又F(3)=f(3)-3+1=2,所以F(2x-1)F(3),所以2x-13,解得x2,故选A.二
16、、填空题8.答案c-2解析由函数y=|2x+c|=2x+c,x-c2,-2x-c,x-c2,得函数y=|2x+c|在-,-c2上单调递减,在-c2,+上单调递增.因为函数在区间(-,1上单调,所以-c21,解得c-2.9.答案t1解析函数f(x)=x2,xt,x,0x0)的图像如图所示:由题意知,函数f(x)=x2,xt,x,0x0)是区间(0,+)上的增函数,则由图可得t1.三、解答题10.解析(1)证明:当a=-2时, f(x)=xx+2(x-2).设任意x1,x2(-,-2),且x1x2,则f(x1)-f(x2)=x1x1+2-x2x2+2=2(x1-x2)(x1+2)(x2+2).x1
17、,x2(-,-2),且x10,x1-x20,f(x1)f(x2),f(x)在(-,-2)上单调递增.(2)设任意x1,x2(1,+),且x10,x2-x10,要使f(x1)-f(x2)0,只需(x1-a)(x2-a)0恒成立,a1.综上所述,00且a1时,由3-ax0得x3a,所以函数f(x)的定义域是-,3a.(2)当a-10,即a1时,要使f(x)在区间(0,1上是减函数,则需3-a10,此时1a3;当a-10,即a0,此时ax20,则x1x21,由题意,知fx1x2=f(x1)-f(x2),又当x1时,f(x)0,fx1x20,f(x1)-f(x2)0,函数f(x)在定义域内是增函数.(2)令x=4,y=2,由题意,知f42=f(4)-f(2),f(4)=2f(2)=12=2,f(x+3)-f1x=fx(x+3)f(4),又f(x)是增函数,x(x+3)0,1x0,解得0x1.方法总结解抽象函数时,重要的一点是要抓住函数中的某些性质,通过局部性质或图像的局部特征,利用常规数学思想方法(如化归法、数形结合法等),这样就能突破“抽象”带来的困难,做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想,寻找具体的函数模型,再由具体函数模型的图像和性质来解决抽象函数问题.
