1、返回目录 导数及其应用第三章返回目录 3.3 导数在研究函数中的应用3.3.3 函数的最大(小)值与导数返回目录 课前教材预案课堂深度拓展课末随堂演练课后限时作业返回目录 一般地，如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条_的曲线，那么它必有最大值和最小值 课前教材预案要点一 函数在闭区间a，b上的最值连续不断返回目录(1)求函数yf(x)在(a，b)内的_；(2)将函数yf(x)的_与_比较，其中最大的一个是_，最小的一个是_.要点二 求函数yf(x)在a，b上的最值的步骤极值各极值端点处的函数值f(a)，f(b)最大值最小值思考：函数极值和最值的区别与联系是什么？提示 如果函数在某些点处
2、连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点、函数的最大值点和最小值点观察一个定义在闭区间a，b上的函数 f(x)的图象，如图所示图中 f(x1)与 f(x3)是极小值，f(x2)是极大值函数 f(x)在a，b上的最大值是 f(b)，最小值是 f(x3)返回目录 说明(1)在开区间(a，b)内连续的函数 f(x)不一定有最大值与最小值如函数 f(x)1x在(0，)上连续，但没有最大值与最小值(2)函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的(3)函数 f(x)在闭区间a，b上连续，是 f(x)在闭区间a，b上有最大值与最小值的充分不必要条件(4)函数在其定
3、义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能一个也没有返回目录 若函数f(x)在给定区间a，b上连续可导，则必有最大值和最小值求最大值与最小值的步骤如下：(1)求函数f(x)的导数f(x)；(2)求方程f(x)0的全部实根；(3)将导数值为0的点处的函数值与f(a)，f(b)比较，确定函数f(x)在区间a，b上的最大值和最小值，当极值点个数较多时，可用列表法完成 课堂深度拓展考点一 利用导数求函数的最值返回目录【例 题 1】已知函数f(x)x44x3ax21在区间0,1上单调递增，在区间1,2上单调递减(1)求a的值；(2)在区间2,2上，试求函数f(x)的最大值和最
4、小值 思维导引：(1)根据f(x)的单调性确定f(x)的极值点，进而求a的值(2)利用导数求最值 返回目录 解析(1)f(x)x44x3ax21在区间0,1上单调递增，在区间1,2上单调递减，x1时，f(x)有极大值，f(1)0.又f(x)4x312x22ax，f(1)4122a0，得a4.显然a4时，f(x)4x(x23x2)4x(x1)(x2)，在(0,1)上，f(x)0，在(1,2)上，f(x)0，令 f(x)0，解得 x a.因为 x0,1，所以只考虑 x a的情况返回目录(1)若 0 a1，即 0a1.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表.x0(0，a)a(a，1)1f
5、(x)0f(x)02a a3a1故当 x a时，f(x)取得最大值 f(a)2a a.返回目录(2)若 a1，即 a1，当 0 x1 时，f(x)0，函数 f(x)在0,1上单调递增，当 x1 时，f(x)取得最大值 f(1)3a1.综上可知，当 a0，x0 时，f(x)有最大值 0.当 0a0)，f(x)a1xax1x.当 a0 时，f(x)0 时，若1ae，即 0a1e，则 f(x)在0，1a 上单调递减，f(x)在(0，e上也单调递减，这时 f(x)在(0，e上的最小值为 f(e)ae1.返回目录 令 ae12，解得 a3e，不符合 0a0 时，x，f(x)，f(x)的变化情况如下表.x
6、1,0)0(0,2f(x)0f(x)极大值 b返回目录 从表中易知，这个极大值就是f(x)在1,2上的最大值，所以，当x0时，f(x)取最大值f(0)b3.又f(1)7a3，f(2)16a3，f(1)f(2)，即当x2时，f(x)取最小值f(2)16a329，得a2.返回目录(2)当 af(1)即当 x2 时，f(x)取最大值 f(2)16a293，得 a2.综上所述，a2，b3 或 a2，b29.返回目录【变式 3】设23af(a)，f(1)0，f(x)的最大值为 f(0)b1.f(1)f(a)12(a33a2)12(a1)2(a2)g(x)(f(x)0(F(x)f(x)g(x)0)(1)求
7、f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)2tm对t(0,2)恒成立，求实数m的取值范围 思维导引：先通过配方求f(x)的最小值，然后由h(t)2tm，得h(t)2tm0，转化为函数g(t)h(t)2tm在区间(0,2)上的最大值小于0.解析 ，返回目录(2)令 g(t)h(t)(2tm)t33t1m，由 g(t)3t230 得 t11，t21(不符合题意，舍去)列表：t(0,1)1(1,2)g(t)0g(t)极大值 1mg(t)在(0,2)内有最大值 g(1)1m.h(t)2tm 在(0,2)内恒成立等价于 g(t)0 在(0,2)内恒成立，即等价于 1m1.m 的取值范围为(1，)返回目录
8、【变式4】设函数f(x)exax2.(1)求f(x)的单调区间；(2)若a1，k为整数，且当x0时，(xk)f(x)x10，求k的最大值 解析(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)exa.若a0，则f(x)0，所以f(x)在(，)上单调递增 若a0，则当x(，ln a)时，f(x)0，所以f(x)在(，返回目录(2)由于 a1，所以(xk)f(x)x1(xk)(ex1)x1.故当 x0 时，(xk)f(x)x10 等价于k0)令 g(x)x1ex1x，则 g(x)xex1ex12 1exexx2ex12.返回目录 由(1)知，函数h(x)exx2在(0，)上单调递增 而h(1)0，所以h(x)在(0，)上存在唯一的零点 设此零点为，则(1,2)当 x (0，)时 g(x)0，所以g(x)在(0，)上的最小值为g()，又由g()，返回目录 课末随堂演练返回目录 课后限时作业
