1、第二讲圆锥曲线的概念及性质一、选择题1(2010安徽)双曲线方程为x22y21，则它的右焦点坐标为 ()A. B. C. D(，0)解析：原方程可化为1，a21，b2，c2a2b2，右焦点为.答案：C2(2010天津)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程是yx，它的一个焦点在抛物线y224x的准线上，则双曲线的方程为 ()A.1 B.1C.1 D.1解析：渐近线方程是yx，.双曲线的一个焦点在y224x的准线上，c6.又c2a2b2，由知，a29，b227，此双曲线方程为1.答案：B4(2010辽宁)设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足如果直线AF的斜
2、率为，那么|PF| ()A4 B8 C8 D16解析：解法一：AF直线方程为：y(x2)，当x2时，y4，A(2,4)当y4时代入y28x中，x6，P(6,4)，|PF|PA|6(2)8.故选B.解法二：PAl，PAx轴又AFO60，FAP60，又由抛物线定义知PAPF，PAF为等边三角形又在RtAFF中，FF4，FA8，PA8.故选B.答案：B5高8 m和4 m的两根旗杆笔直竖在水平地面上，且相距10 m，则地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为 ()A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线解析：如图1，假设AB、CD分别为高4 m、8 m的旗杆，P点为地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点，由于BPA
3、DPC，则RtABPRtCDP，从而PC2PA.在平面APC上，以AC为x轴，AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(图2)，则A(5,0)，C(5,0)，设P(x，y)，得2化简得x2y2x250，显然，P点的轨迹为圆答案：A二、填空题解析：由题知，垂足的轨迹为以焦距为直径的圆，则cbc2b2a2c2e20)的焦点为F，点A(0，2)若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为_解析：F，则B，2p1，解得p.B，因此B到该抛物线的准线的距离为.答案：8(2010北京)已知双曲线1的离心率为2，焦点与椭圆1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为_；渐近线方程为_解析：椭圆1的焦点为(4
4、,0)，双曲线的焦点坐标为(4,0)，c4，2，c2a2b2，a2，b212，双曲线方程为1，渐近线方程为yxx，即xy0.答案：(4,0)xy0即xD，由椭圆的第二定义得|FD|ea.又由|BF|2|FD|，得a2a，整理得a23c2，即e2，解得e.答案：三、解答题10已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程解：解法一：设椭圆的标准方程是1(ab0)或1(ab0)，两个焦点分别为F1、F2，则由题意，知2a|PF1|PF2|2，a.在方程1中，令xc，得|y|.在方程1中，令yc，得|x|.依题意知，b2.即椭圆的
5、方程为1或1.解法二：设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，则|PF1|，|PF2|.由椭圆的定义，知2a|PF1|PF2|2，即a.由|PF1|PF2|知，PF2垂直于长轴故在RtPF2F1中，4c2|PF1|2|PF2|2，c2，于是b2a2c2.又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为1或1.11(2010湖北)已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1)求曲线C的方程；(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A、B的任一直线，都有0)，化简得y24x(x0)(2)设过点M(m,0)(m0)的直线
6、l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)设l的方程为xtym，由得y24ty4m0，16(t2m)0，于是 又(x11，y1)，(x21，y2)，0(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1y1y20. 又x，于是不等式等价于y1y210y1y2(y1y2)22y1y210， 由式，不等式等价于m26m14t2， 对任意实数t,4t2的最小值为0，所以不等式对于一切t成立等价于m26m10，即32m32.由此可知，存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有0，b0)，离心率e，顶点到渐近线的距离为.(1)求双曲线C的方程；(2)如图，P是双曲
7、线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限.若，求AOB面积的取值范围解：解法一：(1)由题意知，双曲线C的顶点(0，a)到渐近线axby0的距离为，即.由得双曲线C的方程为x21.(2)由(1)知双曲线C的两条渐近线方程为y2x.设A(m,2m)，B(n,2n)，m0，n0.由得P点的坐标为，将P点坐标代入x21，化简得mn，设AOB2，tan2，tan ，sin 2.又|OA|m，|OB|n，SAOB|OA|OB|sin 22mn1.记S()1，则S().由S()0得1，又S(1)2，S，S(2)，当1时，AOB的面积取得最小值2，当时，AOB的面积取得最大值.AOB面积的取值范围是.解法二：(1)同解法一(2)设直线AB的方程为ykxm，由题意知|k|0.由得A点的坐标为，由，得B点的坐标为.由=得P点的坐标为，将P点坐标代入x21得.设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为(0，m)SAOBSAOQSBOQ|OQ|xA|OQ|xB|m(xAxB)m1.以下同解法一
