1、2016-2017学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷一.选择题（每小题4分，共32分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1已知集合U=1，2，3，4，5，6，M=1，5，P=2，4，则下列结论正确的是（）A1U（MP）B2U（MP）C3U（MP）D6U（MP）2下列函数在区间（，0）上是增函数的是（）Af（x）=x24xBg（x）=3x+1Ch（x）=3xDt（x）=tanx3已知向量=（1，3），=（3，t），若，则实数t的值为（）A9B1C1D94下列函数中，对于任意的xR，满足条件f（x）+f（x）=0的函数是（）Af（x）=xBf（x）=sinxCf（x）=cosx
2、Df（x）=log2（x2+1）5代数式sin（+）+cos（）的值为（）A1B0C1D6在边长为1的正方形ABCD中，向量=， =，则向量，的夹角为（）ABCD7如果函数f（x）=3sin（2x+）的图象关于点（，0）成中心对称（|），那么函数f（x）图象的一条对称轴是（）Ax=Bx=Cx=Dx=8已知函数f（x）=其中MP=R，则下列结论中一定正确的是（）A函数f（x）一定存在最大值B函数f（x）一定存在最小值C函数f（x）一定不存在最大值D函数f（x）一定不存在最小值二.填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）9函数y=的定义域为10已知a=40.5，b=0.54，c=log0.54
3、，则a，b，c从小到大的排列为11已知角终边上有一点P（x，1），且cos=，则tan=12已知ABC中，点A（2，0），B（2，0），C（x，1）（i）若ACB是直角，则x=（ii）若ABC是锐角三角形，则x的取值范围是13燕子每年秋天都要从北方到南方过冬，鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度v与耗氧量x之间满足函数关系v=alog2若两岁燕子耗氧量达到40个单位时，其飞行速度为v=10m/s，则两岁燕子飞行速度为25m/s时，耗氧量达到单位14已知函数f（x）=|ax1|（a1）x（1）当a=时，满足不等式f（x）1的x的取值范围为；（2）若函数f（x）的图象与x轴没有交点，则实数a的取值范
4、围为三.解答题（本大题共4小题，共44分）15已知函数f（x）=x2+bx+c，其对称轴为y轴（其中b，c为常数）（）求实数b的值；（）记函数g（x）=f（x）2，若函数g（x）有两个不同的零点，求实数c的取值范围；（）求证：不等式f（c2+1）f（c）对任意cR成立16已知如表为“五点法”绘制函数f（x）=Asin（x+）图象时的五个关键点的坐标（其中A0，0，|）xf（x）02020（）请写出函数f（x）的最小正周期和解析式；（）求函数f（x）的单调递减区间；（）求函数f（x）在区间0，上的取值范围17如图，在平面直角坐标系中，点A（，0），B（，0），锐角的终边与单位圆O交于点P（）用的
5、三角函数表示点P的坐标；（）当=时，求的值；（）在x轴上是否存在定点M，使得|=|恒成立？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由18已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数T0，使得f（x）=Tf（x+T）对任意的xR成立，则称函数f（x）是函数（）判断函数f（x）=x，g（x）=sinx是否是函数；（只需写出结论）（）说明：请在（i）、（ii）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（i）计分（i）求证：若函数f（x）是函数，且f（x）是偶函数，则f（x）是周期函数；（ii）求证：若函数f（x）是函数，且f（x）是奇函数，则f（x）是周期函数；（）求证：当a1时，函数f（x）=ax一
6、定是函数选做题（本题满分10分）19记所有非零向量构成的集合为V，对于，V，定义V（，）=|xV|x=x|（1）请你任意写出两个平面向量，并写出集合V（，）中的三个元素；（2）请根据你在（1）中写出的三个元素，猜想集合V（，）中元素的关系，并试着给出证明；（3）若V（，）=V（，），其中，求证：一定存在实数1，2，且1+2=1，使得=1+22016-2017学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每小题4分，共32分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1已知集合U=1，2，3，4，5，6，M=1，5，P=2，4，则下列结论正确的是（）A1U（MP）B
7、2U（MP）C3U（MP）D6U（MP）【考点】元素与集合关系的判断【分析】首先计算MP，并求其补集，然后判断元素与集合的关系【解答】解：由已知得到MP=1，5，2，4；所以U（MP）=3，6；故A、B、D错误；故选：C2下列函数在区间（，0）上是增函数的是（）Af（x）=x24xBg（x）=3x+1Ch（x）=3xDt（x）=tanx【考点】函数单调性的判断与证明【分析】分别判断选项中的函数在区间（，0）上的单调性即可【解答】解：对于A，f（x）=x24x=（x2）24，在（，0）上是单调减函数，不满足题意；对于B，g（x）=3x+1在（，0）上是单调增函数，满足题意；对于C，h（x）=3x
8、=是（，0）上的单调减函数，不满足题意；对于D，t（x）=tanx在区间（，0）上是周期函数，不是单调函数，不满足题意故选：B3已知向量=（1，3），=（3，t），若，则实数t的值为（）A9B1C1D9【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【分析】利用向量共线列出方程求解即可【解答】解：向量=（1，3），=（3，t），若，可得t=9故选：D4下列函数中，对于任意的xR，满足条件f（x）+f（x）=0的函数是（）Af（x）=xBf（x）=sinxCf（x）=cosxDf（x）=log2（x2+1）【考点】函数奇偶性的性质【分析】对于任意的xR，满足条件f（x）+f（x）=0的函数是奇函数，分析选
9、项，即可得出结论【解答】解：对于任意的xR，满足条件f（x）+f（x）=0的函数是奇函数A，非奇非偶函数；B奇函数，C，D是偶函数，故选B5代数式sin（+）+cos（）的值为（）A1B0C1D【考点】三角函数的化简求值【分析】原式利用诱导公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算即可得答案【解答】解：sin（+）+cos（）=故选：C6在边长为1的正方形ABCD中，向量=， =，则向量，的夹角为（）ABCD【考点】平面向量数量积的运算【分析】以A为坐标原点，以AB为x轴，以AD为x轴，建立直角坐标系，根据向量的夹角的公式计算即可【解答】解：设向量，的夹角为，以A为坐标原点，以AB为x轴，以AD为
10、x轴，建立直角坐标系，A（0，0），B（1.0），C（1，1），D（0，1），向量=， =，E（，1），F（1，），=（，1），=（1，），|=， =， =+=，cos=，=，故选：B7如果函数f（x）=3sin（2x+）的图象关于点（，0）成中心对称（|），那么函数f（x）图象的一条对称轴是（）Ax=Bx=Cx=Dx=【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】由正弦函数的对称性可得2+=k，kZ，结合范围|，可求，令2x+=k+，kZ，可求函数的对称轴方程，对比选项即可得解【解答】解：函数f（x）=3sin（2x+）的图象关于点（，0）成中心对称，2+=k，kZ，解得：=k，kZ，|
11、，=，可得：f（x）=3sin（2x+），令2x+=k+，kZ，可得：x=+，kZ，当k=0时，可得函数的对称轴为x=故选：B8已知函数f（x）=其中MP=R，则下列结论中一定正确的是（）A函数f（x）一定存在最大值B函数f（x）一定存在最小值C函数f（x）一定不存在最大值D函数f（x）一定不存在最小值【考点】函数的最值及其几何意义【分析】分别根据指数函数和二次函数的图象和性质，结合条件MP=R，讨论M，P，即可得到结论【解答】解：由函数y=2x的值域为（0，+），y=x2的值域为0，+），且MP=R，若M=（0，+），P=（，0，则f（x）的最小值为0，故D错；若M=（，2），P=2，+），
12、则f（x）无最小值为，故B错；由MP=R，可得图象无限上升，则f（x）无最大值故选：C二.填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）9函数y=的定义域为2，+）【考点】函数的定义域及其求法【分析】由根式内部的代数式大于等于0，然后求解指数不等式【解答】解：由2x40，得2x4，则x2函数y=的定义域为2，+）故答案为：2，+）10已知a=40.5，b=0.54，c=log0.54，则a，b，c从小到大的排列为cba【考点】对数值大小的比较【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解【解答】解：a=40.540=1，0b=0.540.50=1，c=log0.54log0.51=0，a，b，c从小
13、到大的排列为cba故答案为：cba11已知角终边上有一点P（x，1），且cos=，则tan=【考点】任意角的三角函数的定义【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得tan的值【解答】解：角终边上有一点P（x，1），且cos=，x=，tan=，故答案为：12已知ABC中，点A（2，0），B（2，0），C（x，1）（i）若ACB是直角，则x=（ii）若ABC是锐角三角形，则x的取值范围是（2，）（2，+）【考点】平面向量的坐标运算【分析】（i）求出=（2x，1），=（2x，1），由ACB是直角，则=0，由此能求出x（ii）分别求出，由ABC是锐角三角形，得，由此能求出x的取值范围【解答】解：（i）A
14、BC中，点A（2，0），B（2，0），C（x，1），=（2x，1），=（2x，1），ACB是直角，=（2x）（2x）+（1）（1）=x23=0，解得x=（ii）ABC中，点A（2，0），B（2，0），C（x，1），=（2x，1），=（2x，1），=（x+2，1），=（4，0），=（x2，1），=（4，0），ABC是锐角三角形，解得2x或x2x的取值范围是（2，）（2，+）故答案为：，（2，）（2，+）13燕子每年秋天都要从北方到南方过冬，鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度v与耗氧量x之间满足函数关系v=alog2若两岁燕子耗氧量达到40个单位时，其飞行速度为v=10m/s，则两岁燕子飞行速度为
15、25m/s时，耗氧量达到320单位【考点】对数函数的图象与性质【分析】由题意，令x=4，y=10代入解析式得到a；求得解析式，然后将v=25代入解析式求x【解答】解：由题意，令x=40，v=10 10=alog24；所以a=5；v=25 m/s，25=5 log，得到x=320单位故答案为：32014已知函数f（x）=|ax1|（a1）x（1）当a=时，满足不等式f（x）1的x的取值范围为（2，+）；（2）若函数f（x）的图象与x轴没有交点，则实数a的取值范围为，1）【考点】分段函数的应用【分析】（1）化为分段函数，再解不等式即可，（2）当a1当0a1当a0三种情况，画出f（x）=|ax1|与
16、g（x）=（a1）x的图象，利用图象确定有无交点【解答】解：（1）a=时，f（x）=|x1|+x=，f（x）1，解得x2，故x的取值范围为（2，+），（2）函数f（x）的图象与x轴没有交点，当a1时，f（x）=|ax1|与g（x）=（a1）x的图象：两函数的图象恒有交点，当0a1时，f（x）=|ax1|与g（x）=（a1）x的图象：要使两个图象无交点，斜率满足：a1a，a，故a1当a0时，f（x）=|ax1|与g（x）=（a1）x的图象：两函数的图象恒有交点，综上知：a1故答案为：（2，+），1）三.解答题（本大题共4小题，共44分）15已知函数f（x）=x2+bx+c，其对称轴为y轴（其中b
17、，c为常数）（）求实数b的值；（）记函数g（x）=f（x）2，若函数g（x）有两个不同的零点，求实数c的取值范围；（）求证：不等式f（c2+1）f（c）对任意cR成立【考点】二次函数的性质【分析】（）若函数f（x）=x2+bx+c，其对称轴为y轴，则=0，解得b值； （）由（I）得g（x）=f（x）2=x2+c2，若函数g（x）有两个不同的零点，则=4（c2）0，解得c的范围； （）函数f（x）=x2+c的开口朝上，证得|c2+1|2|c|20恒成立，可得不等式f（c2+1）f（c）对任意cR成立【解答】解：（）函数f（x）=x2+bx+c，其对称轴为y轴，=0，解得：b=0； （）由（I）得
18、：f（x）=x2+c，则g（x）=f（x）2=x2+c2，若函数g（x）有两个不同的零点，则=4（c2）0，解得：c2； （）证明：函数f（x）=x2+c的开口朝上，|c2+1|2|c|2=c4+c2+1=（c2+）2+0恒成立，故|c2+1|c|，故不等式f（c2+1）f（c）对任意cR成立16已知如表为“五点法”绘制函数f（x）=Asin（x+）图象时的五个关键点的坐标（其中A0，0，|）xf（x）02020（）请写出函数f（x）的最小正周期和解析式；（）求函数f（x）的单调递减区间；（）求函数f（x）在区间0，上的取值范围【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图
19、象【分析】（）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数f（x）的解析式，从而求得它的周期（）利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调递减区间（）利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在区间0，上的取值范围【解答】解：（）由表格可得A=2， =+，=2，结合五点法作图可得2+=，=，f（x）=2sin（2x+），它的最小正周期为=（）令2k2x+2k+，求得kxk+，可得函数f（x）的单调递减区间为k，k+，kZ（）在区间0，上，2x+，sin（2x+），1，f（x），2，即函数f（x）的值域为，217如图，在平面直角坐标系中，点A（，0），B（，0），
20、锐角的终边与单位圆O交于点P（）用的三角函数表示点P的坐标；（）当=时，求的值；（）在x轴上是否存在定点M，使得|=|恒成立？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由【考点】向量数乘的运算及其几何意义；任意角的三角函数的定义【分析】（）用的三角函数的坐标法定义得到P 坐标；（）首先写成两个向量的坐标根据=，得到关于的三角函数等式，求的值；（）假设存在M（x，0），进行向量的模长运算，得到三角等式，求得成立的x值【解答】解：锐角的终边与单位圆O交于点P（）用的三角函数表示点P的坐标为（cos，sin）；（）， =时，即（cos）（cos）+sin2=，整理得到cos，所以锐角=60；（）在
21、x轴上假设存在定点M，设M（x，0），则由|=|恒成立，得到=，整理得2cos（2+x）=x24，所以存在x=2时等式恒成立，所以存在M（2，0）18已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数T0，使得f（x）=Tf（x+T）对任意的xR成立，则称函数f（x）是函数（）判断函数f（x）=x，g（x）=sinx是否是函数；（只需写出结论）（）说明：请在（i）、（ii）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（i）计分（i）求证：若函数f（x）是函数，且f（x）是偶函数，则f（x）是周期函数；（ii）求证：若函数f（x）是函数，且f（x）是奇函数，则f（x）是周期函数；（）求证：当a1时，函数f（x
22、）=ax一定是函数【考点】函数与方程的综合运用【分析】（I）利用对于即可判断出函数f（x）=x不是函数对于g（x）=sinx是函数，令T=1，对任意xR，有Tf（x+T）=f（x）成立（II）（i）函数f（x）是函数，可得存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），Tf（x+T）=f（x）又f（x）是偶函数，可得Tf（x+T）=Tf（x+T），T0，化为：f（x+T）=f（x+T），通过换元进而得出：f（2T+t）=f（t），因此函数f（x）是周期为2T的周期函数（ii）同（i）可以证明（III）当a1时，假设函数f（x）=ax是函数，则存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），可得Tax+T=
23、ax，化为：TaT=1，即aT=，此方程有非0 的实数根，即可证明【解答】解：（I）对于函数f（x）=x是函数，假设存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），则T（x+T）=x，取x=0时，则T=0，与T0矛盾，因此假设不成立，即函数f（x）=x不是函数对于g（x）=sinx是函数，令T=1，则sin（x）=sin（x）=sinx即sin（x1）=sinxTsin（x+T）=sinx成立，即函数f（x）=sinx对任意xR，有Tf（x+T）=f（x）成立（II）（i）证明：函数f（x）是函数，存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），Tf（x+T）=f（x）又f（x）是偶函数，f（x）=f（x
24、），Tf（x+T）=Tf（x+T），T0，化为：f（x+T）=f（x+T），令xT=t，则x=T+t，f（2T+t）=f（t）=f（t），可得：f（2T+t）=f（t），因此函数f（x）是周期为2T的周期函数（ii）证明：函数f（x）是函数，存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），Tf（x+T）=f（x）又f（x）是奇函数，f（x）=f（x），Tf（x+T）=Tf（x+T），T0，化为：f（x+T）=f（x+T），令xT=t，则x=T+t，f（2T+t）=f（t）=f（t），可得：f（2T+t）=f（t），因此函数f（x）是周期为2T的周期函数（III）证明：当a1时，假设函数f（x）=ax
25、是函数，则存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），Tax+T=ax，化为：TaTax=ax，ax0，TaT=1，即aT=，此方程有非0 的实数根，因此T0且存在，当a1时，函数f（x）=ax一定是函数选做题（本题满分10分）19记所有非零向量构成的集合为V，对于，V，定义V（，）=|xV|x=x|（1）请你任意写出两个平面向量，并写出集合V（，）中的三个元素；（2）请根据你在（1）中写出的三个元素，猜想集合V（，）中元素的关系，并试着给出证明；（3）若V（，）=V（，），其中，求证：一定存在实数1，2，且1+2=1，使得=1+2【考点】平面向量数量积的运算【分析】（1）比如=（1，2），=（
26、3，4），设=（x，y），运用数量积的坐标表示，即可得到所求元素；（2）由（1）可得这些向量共线理由：设=（s，t），=（a，b），=（c，d），运用数量积的坐标表示，以及共线定理即可得到；（3）设=（s，t），=（a，b），=（c，d），=（u，v），=（e，f），运用新定义和数量积的坐标表示，解方程可得a，即可得证【解答】解：（1）比如=（1，2），=（3，4），设=（x，y），由=，可得x+2y=3x+4y，即为x+y=0，则集合V（，）中的三个元素为（1，1），（2，2），（3，3）；（2）由（1）可得这些向量共线理由：设=（s，t），=（a，b），=（c，d），由=，可得as+bt=cs+dt，即有s=t，即=（t，t），故集合V（，）中元素的关系为共线；（3）证明：设=（s，t），=（a，b），=（c，d），=（u，v），=（e，f），若V（，）=V（，），即有as+bt=cs+dt，au+bv=ue+fv，解得a=c+e+，可令d=f，可得1=，2=，则一定存在实数1，2，且1+2=1，使得=1+22017年2月17日
